Procedimento di Gram-Schmidt
Giorno, seguendo l'esempio di alcuni esercizi già svolti provavo a fare questo: Sia $ B_1 $ una base ortonormale e sia $ B_2 = ( [+2,+1,+1]_(B_1) , [+1,-1,0]_(B_1), [+1,+1,+1]_(B_1) ) $ un'altra base ( non ortonormale ). Determinare la matrice del prodotto scalare rispetto a $ B_2 $ . Io seguendo passo per passo l'esercizio ho fatto così:
Sia $ B'= ( u_1,u_2,u_3) $ la base ortonormale che devo ottenere da $ B_2 $.
Costruisco una base $ B''= (w_1, w_2,w_3) $ di vettori a due a due ortogonali.
$ w_1=v_1=(2,1,1) $
$ w_2=v_2-pr_(w_1)*(v_2)= v_2 - (v_2,w_1)/(w_1,w_1)*w_1 = $ $ (1,-1,0)-(((1,-1,0);(2,1,1))/((2,1,1);(2,1,1))) * (2,1,1) = (0,0,0) $
$ w_3=v_3-pr_(w_1)-pr_(w_2)*(v_3)= v_3- (v_3,w_1)/(w_1,w_1)*w_1 - (v_3,w_2)/(w_2,w_2)*w_2= $ e mi viene anche $ = (0,0,0) $
Premesso che sicuramente ci saranno errori perchè non credo sia possibile che mi vengano questi valori per $ w_2 $ e $ w_3 $ , comunque poi l'esercizio dice : A questo punto per ottenere la base cercata basta prendere i vettori $ u_i $ paralleli a $ w_i $ ma di norma 1. Io non l'ho capito sto passaggio! Qualcuno sa come aiutarmi? Grazie!
Sia $ B'= ( u_1,u_2,u_3) $ la base ortonormale che devo ottenere da $ B_2 $.
Costruisco una base $ B''= (w_1, w_2,w_3) $ di vettori a due a due ortogonali.
$ w_1=v_1=(2,1,1) $
$ w_2=v_2-pr_(w_1)*(v_2)= v_2 - (v_2,w_1)/(w_1,w_1)*w_1 = $ $ (1,-1,0)-(((1,-1,0);(2,1,1))/((2,1,1);(2,1,1))) * (2,1,1) = (0,0,0) $
$ w_3=v_3-pr_(w_1)-pr_(w_2)*(v_3)= v_3- (v_3,w_1)/(w_1,w_1)*w_1 - (v_3,w_2)/(w_2,w_2)*w_2= $ e mi viene anche $ = (0,0,0) $
Premesso che sicuramente ci saranno errori perchè non credo sia possibile che mi vengano questi valori per $ w_2 $ e $ w_3 $ , comunque poi l'esercizio dice : A questo punto per ottenere la base cercata basta prendere i vettori $ u_i $ paralleli a $ w_i $ ma di norma 1. Io non l'ho capito sto passaggio! Qualcuno sa come aiutarmi? Grazie!
Risposte
"Pongo":
Giorno, seguendo l'esempio di alcuni esercizi già svolti provavo a fare questo: Sia $ B_1 $ una base ortonormale e sia $ B_2 = ( [+2,+1,+1]_(B_1) , [+1,-1,0]_(B_1), [+1,+1,+1]_(B_1) ) $ un'altra base ( non ortonormale ). Determinare la matrice del prodotto scalare rispetto a $ B_2 $ .
A me non sembra molto chiaro il quesito. Chiedono di determinare il prodotto scalare rispetta a $B_2$. Ma lo scalare con cosa ? Con un generico vettore ?
Tu parti a orogonalizzare $B_2$ ma non capisco cosa c'entri con l'esercizio. Com'è il testo completo ?
Ciao e grazie della risposta, comunque il testo dell'esercizio è proprio questo! Se vuoi posso anche linkartelo, è un mio vecchio compito d'esame.. Non so neanche se è giusto quello che ho fatto.. non ho idea di come svolgerlo! Se puo' servire il risultato è $ ( ( 6 , 1 , 4 ),( 1 , 2 , 0 ),( 4 , 0 , 3 ) ) $
Quella matrice viene fuori da
$M^t\ M$
$M$ è la matrice del cambio base
anche se secondo il libro che ho io la formula corretta sarebbe
$(M\ M^t)^(-1)$
In pratica esprime il prodotto scalare standard tenendo conto del cambio di base.
$M^t\ M$
$M$ è la matrice del cambio base
anche se secondo il libro che ho io la formula corretta sarebbe
$(M\ M^t)^(-1)$
In pratica esprime il prodotto scalare standard tenendo conto del cambio di base.
Ho capito solo che quello che stavo facendo io non c'entrava nulla, ma sinceramente non ho la minima idea di come procedere!
In sintesi è questo:
un prodotto scalare lo definisci in questo modo: $X^t Y$ dove $X, Y$ sono vettori colonna.
Con un cambio di base abbiamo che $X=MX'$ e $Y=MY'$ dove $M$ è la matrice del cambio di base.
Se sostituiamo le equazioni abbiamo $X^t Y = (MX')^t MY' = X'^t M^t MY'$. Quindi $M^t M$ rappresenta la matrice del prodotto scalare nella base $B'$.
Questo in due parole. Dovresti cercare sul tuo testo una spiegazione più dettagliata.
un prodotto scalare lo definisci in questo modo: $X^t Y$ dove $X, Y$ sono vettori colonna.
Con un cambio di base abbiamo che $X=MX'$ e $Y=MY'$ dove $M$ è la matrice del cambio di base.
Se sostituiamo le equazioni abbiamo $X^t Y = (MX')^t MY' = X'^t M^t MY'$. Quindi $M^t M$ rappresenta la matrice del prodotto scalare nella base $B'$.
Questo in due parole. Dovresti cercare sul tuo testo una spiegazione più dettagliata.
Diciamo che per quello che serve a me devo solo saper fare l'esercizio pero' ok provero' a dare un'occhiata! Grazie!
Mi son fatto prestare un libro dal mio amico, ho guardato e non c'ho capito nulla! Come accipicchia si fa sto esercizio? 
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