Esercizio su Prodotto Scalare

[Sk_Anonymous]

Buongiorno a tutti, qualche giorno fa il Prof. in classe ha assegnato questo esercizio:

Sia (V,g) uno spazio euclideo e siano:
$G$ una matrice simmetrica invertibile,
$A$$in$R(n),
f$in$End(R(n)) definito da f($X$)=[$A$,$X$]=$A$$X$-$X$$A$,
g($X$,$Y$)= tr$X^t$$G$$Y$ un prodotto scalare. (trasposta di X per G per Y)

Determinare il trasposto di f rispetto a g.

Vorrei sapere come si imposta questo esercizio visto che non ho capito neanche cosa si chiede e come si inizia.
Grazie a tutti quelli che risponderanno!!

[Sk_Anonymous]

Scrivo una possibile soluzione ma non so se ho fatto degli errori nel procedimento.

Poichè $G$=$G^t$ ($G$ è simmetrico) si avrà che g(f($X$),$Y$) = g($X$,f($Y$)).

g(f($X$),$Y$) = g([$A$,$X$],$Y$) = g($A$$X$-$X$$A$,$Y$) = tr $^t$($A$$X$-$X$$A$)$G$$Y$ = tr ($X^t$$A^t$-$A^t$$X^t$)$G$$Y$ = tr $X^t$$A^t$$G$$Y$ -tr $A^t$$X^t$$G$$Y$
e
g($X$,f($Y$)) = tr $X^t$$G$f($Y$)

Per la simmetria di g queste due scritture devono essere uguali e quindi devo determinare f($Y$) tale che:
tr $X^t$$A^t$$G$$Y$ - tr $A^t$$X^t$$G$$Y$ = tr $X^t$$G$f($Y$)

Pongo f($Y$)=$G^-1$$A^t$$G$$Y$ - $Y$$A^t$

Verifico che l'uguaglianza sia rispettata:
tr $X^t$$G$($G^-1$$A^t$$G$$Y$ - $Y$$A^t$) = tr $X^t$$G$$G^-1$$A^t$$G$$Y$ - tr $X^t$$G$$Y$$A^t$ = tr $X^t$$A^t$$G$$Y$ - tr $A^t$$X^t$$G$$Y$

La f($Y$) così determinata è la trasposta di f rispetto a g cercata.

Errori??

[Sk_Anonymous]

Nessuna conferma???