Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dati i vettori $v1 = (1, 0, 0)$, $v2 = (1, 1, 2)$, $v3 = (0, 1, 1)$ $∈ R^3$, sia $f$ un
endomorfismo di $R^3$ avente 1 come unico autovalore, con molteplicità algebrica 3, e tale
che $f(v1) = v2$,$f(v2) = v3$.
ho trovato la matrice associata rispetto a base (v1,v2,v3) e alla base canonica e, sono rispettivamente:
v $((0, 0, 1),(1,0,-3),(0,1,3))$
c $((1,-3, 1),(1,0,0),(2,-5,2))$
Si trovi una base di $R^3$ rispetto alla quale la matrice di ...
Traccia d'esame
Sia $\phi$ prodotto scalare non degenere.
Esiste un sottospazio W tale che $\phi|_W$ è il prodotto scalare nullo e $\dim W\geq min(i_+(\phi),i_-(\phi))$?
tentativo:
Sono a un punto morto. Riesco solo a osservare che, essendo $\phi$ non degenere, vale
$\dim V=\dim W+\dim W^{\perp}$.
Inoltre ho provato a scrivere la seguente
$\dim W=\rk \phi|_W-\dim \Rad(\phi|_W)$ III)
Essendo la restrizione a W il prodotto scalare nullo, otterrei una cosa del tipo
$\dim W = -\dim \Rad(\phi|_W)$
Identificando il radicale di ...
Ciao a tutti, sto rifancendo esercizi su rette e piani. Riguardando i miei appunti che ho preso ad esercitazione, c'è un esercizio che è calcolare la distanza tra 2 rette sghembe, però mi perdo in un punto. Aiutatemi a capire.
L'esercitatore per calcolare la distanza tra 2 rette sghembe ha usato la seguente affermazione
Date 2 rette sghembe $r_1, r_2$ si può trovare un piano $\pi$ che contine $r_1$ e parallelo a $r_2$. Ebbene possiamo calcolare la ...
E' data da \(\omega(x):\mathbb{R}^{n}\rightarrow (\mathbb{R}^{n})^{*}\) e
\[
\omega(x)=\omega_{1}(x)\mbox{d}x_{1}+...+\omega_{n}(x)\mbox{d}x_{n}
\]
Vorrei una spiegazione diretta sul perché i coefficienti sono funzioni delle \(x\). Intuitivamente è molto chiaro dato che gli spazi sono isomorfi e specificare \((\omega_{1}(x),...,\omega_{n}(x))\) equivale a specificare l'elemento del duale. Il punto è che lo voglio vedere scritto in modo ancora più semplice, posto ...
Salve ragazzi!
Sto leggendo alcuni appunti di un mio prof riguardanti la topologia algebrica. Il suo approccio è molto interessante, perché presenta e sviluppa alcuni cenni di questa teoria mediante la teoria delle categorie. Mi chiedevo se esistesse un qualche altro approccio, che magari non faccia uso della tdc.
Qualcuno di voi ne sa qualcosa?
Hi guys!
Salve ragazzi!
In questi giorni sto scrivendo una dispensina di esercizi svolti di Geometria I tratti dal corso della mia facoltà. Vi chiedo gentilmente di darmi un parere sulla risoluzione di questo quesito dato che non ne sono sicuro al 100% .
Si tratta i in Vero/Falso, cioè dire se la seguente proposizione è vera o falsa, giustificandone la risposta.
Siano $\Phi_A$ e $\Phi_b$ i prodotti scalari su $\mathbb{R}^3$ associati rispettivamente alle matrici: ...
ciao a tutti!!
volevo sapere se qualcuno può spiegarmi un po come si fa a verificare se un applicazione lineare sia suriettiva o meno.
grazie per l'aiuto!!
Data una applicazione lineare del tipo $f:RR^n -> RR^m$
Dalla teoria so che un'applicazione è iniettiva se e solo se la $dimkerf = 0$, ovvero il sistema omogeneo associato alla applicazione ha come soluzione solo quella banale fatta da una n-upla di zeri.
So che un'applicazione è suriettiva se se solo se $dimImf=m$ perchè in questo caso $Imf$ e $RR^m$ coincidono.
Inoltre so che $n=dimImf + dimkerf$, quindi per applicazioni $m=n$ se è iniettiva è ...
Ciao a tutti ! Ho dei dubbi su questo esercizio.
Discutere al variare dei parametri \( \lambda \mu \) \( \lambda , \mu \) reali la posizione reciproca
di queste due rette nello spazio.
\( r) \begin{cases} 2x-y+z-4=0 \\ y + z -2=0 \end{cases} \)
\( s) \begin{cases} x+ \lambda y - 1= 0 \\ x + z - \mu -1 = 0 \end{cases} \)
Ho calcolato i parametri direttori di r --> $ (2,2,-2) $ e di s : $ \( (\lambda,-1, -\lambda) \)
e poichè per \( \lambda \) = 1 i p direttori sono uguali ...
Salve a tutti, volevo chiedervi in che maniera potrei risolvere questo esercizio:
Si consideri la matrice
$A =((1, 0 ,k),(0 ,1, 0))$
Stabilire per quali valori di k l’applicazione lineare $f : R^3 -> R^2$ tale che
$f(1, 1, 0) = (1, 1), f(0, 1, 0) = (0, 1), f(0, 0,−1) = (−1, 0)$
ammette la matrice A come matrice associata rispetto alle basi canoniche.
Salve a tutti!
Ho il seguente esercizio da risolvere:
Nello spazio sono dati il piano α) x-2y-z+2=0, la retta r) x=y+z=0 ed il punto A(1,0,0). Trovare:
b) La proiezione ortogonale di r) su α.
Mi servirebbe tale esercizio svolto, in modo da comprenderne i vari passaggi. Inoltre (se possibile chiedere senza aprire un altro topic) vorrei sapere come trovare la retta passante per due punti del tipo (x,y,z).
Grazie in anticipo!
Salve, a breve dovrei fare lo scritto di Geometria 1 e volevo chiedervi un metodo di risoluzione per il seguente esercizio. Soprattutto per il punti b) e c).
Si consideri l’endomorfismo f : R4 ! R4 definito da
f(x, y, z, t) = (t, 0, t + z − x, t).
a) Stabilire se f `e diagonalizzabile;
b) Dire quali delle seguenti matrici sono associate ad f rispetto ad un’opportuna
base di R4, specificando di quale base si tratta:
A1 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A2 =
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 ...
Salve a tutti, a breve ho l'esame di Geometria 1. Purtroppo non ho tempo per studiare a fondo la teoria ma ho un estremo bisogno di passare almeno lo scritto dell'esame. Così ho deciso di chiedere aiuto a voi. In quanto gli esercizi sono più o meno tutti dello stesso tipo, spero di riuscire a capire come si svolge un esercizio senza dover fare troppo affidamento alla teoria.
L'esercizio che vi propongo e che dovrei saper fare è il seguente:
Si consideri l’applicazione lineare ...
Siano $W_1$ e $W_2$ sottospazi vettoriali di $V$ $RR$-spazio vettoriale dotato di prodotto scalare $Phi$. Se $V=W_1⊕W_2$ e le restrizioni del prodotto scalare a entrambi i sottospazi sono definite positive, allora $Phi$ è definito positivo. Vero o falso?
Per via della scomposizione in somma diretta, $AA v in V$ $v=w_1+w_2$ con $w_1inW_1$ e $w_2inW_2$
Allora $AAvinV$ con ...
Qual'è il gruppo fondamentale di un toro pieno meno un punto interno? (cioè che nn giace sul bordo del toro)
Grazie.
Salve a tutti.
Vorrei porre la seguente domanda.
Ho un'applicazione lineare di cui ho calcolato la matrice associata A.
Per calcolare una base di Imf so che è sufficiente prendere n colonne linearmente indipendenti di A (con n=dim Imf)
Se ha ha m colonne linearmente indipendenti, sono tutte da prendere come base di Imf? Ossia il numero di colonne linearmente indipendenti di A mi dà la dimensione di Imf.
Inoltre so che è possibile calcolare Base di Imf prendendo n righe linearmente ...
Ciao a tutti, chiedo cortesemente a qualcuno se può spiegarmi in maniera comprensibile e "facile" le permutazioni, ma in particolar modo la segnatura, la trasposizione, ma soprattutto vorrei capire come questo argomento c'entri col determinante di una matrice..vorrei avere le idee più chiare, non tanto su come si calcola il determinante, ma proprio su questa parte che ho citato, che mi risulta evidentemente ostica.
Ciao a tutti, spero di essere al posto giusto
Avrei un dubbio su un esercizio:
Devo fare in modo che
$((-a-b-c),(2a+b+2c),(2a+b+2c))$
Appartenga all'immagine di
Imm {$((0),(0),(1))$, $((0),(1),(1))$}
E ricavarne una base.
Io ho fatto così
Ho costruito la seguente matrice
$((0,0,-a-b-c),(0,1,2a+b+2c),(1,1,2a+b+2c))$
E ho imposto che abbia rango pari a 2. Quindi per a+b+c=0
A questo punto é corretto dire che una possibile base é
Span{[1,0,-1][0,1,-1]????
Grazie
Ha senso chiedersi se la restrizione di un endomorfismo a un sottospazio non banale è diagonalizzabile? Mi sembra proprio di no...dico ciò perchè in genere la restrizione di $f$ a un endomorfismo non è neanche un endomorfismo! Per esempio
$((0,1),(1,0))$
(rispetto alla base canonica).
La restrizione a $\Span e_1$ è l'applicazione $f:\Span(e_1)\mapsto RR^2$ che manda $e_1\mapsto e_2$: esso non è neanche un endomorfismo! E' rappresentata da una matrice rettangolare, 2 righe e una ...
Ciao ragazzi vorrei sapere se risolvendo questo esercizio l'ho svolto nel modo giusto:
Calcolare la distanza tra la Sfera S ela retta s passante per i punti $T_1$ e $T_2$.
Scrivo solo i passaggi logici che ho eseguito risparmiando i calcoli.
Mi trovo l'eq. parametrica della retta s, la lascio nella forma parametrica e mi cerco un terzo punto sostituento $t=1$, fatto ciò ho 3 punti quindi mi sono calcolato il piano passante per 3 punti, infine ho fatto la ...
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