Restrizione di endomorfismi a sottospazi

[Newton_1372]

Ha senso chiedersi se la restrizione di un endomorfismo a un sottospazio non banale è diagonalizzabile? Mi sembra proprio di no...dico ciò perchè in genere la restrizione di $f$ a un endomorfismo non è neanche un endomorfismo! Per esempio

$((0,1),(1,0))$
(rispetto alla base canonica).
La restrizione a $\Span e_1$ è l'applicazione $f:\Span(e_1)\mapsto RR^2$ che manda $e_1\mapsto e_2$: esso non è neanche un endomorfismo! E' rappresentata da una matrice rettangolare, 2 righe e una colonna no?

In generale, che senso ha dire che la restrizione a un endomorfismo è diagonalizzabile? Io so che vengono considerate determinate sottomatrici principali...ma ciò non è esatto, infatti le coordinate dell'immagine di un vettore dovrebbe contenere sempre tante componenti quant'e la dimensione del dominio di f...

[ciampax]

Guarda, non voglio dire una cavalota perché l'ora è tarda, quindi prendi con le pinze questo commento, ma credo che ti serva una condizione del tipo $f(W)\subset W$, cioè che il sottospazio su cui effetti la restrizione risulti invariante, affinché tu possa ottenere una cosa del genere. Poi al momento non ricordo se ci siano altre condizioni.

[Newton_1372]

Ma anche se fosse $f(W)\subseteq W$, non è sbagliato considerare come matrice associata a $f|_W$ una sottomatrice? Il codominio di una restrizione è per definizione sempre V, quindi al limite dovrei considerare una matrice $m\cdot n$, con $m=\dim W$

[ciampax]

In realtà devi considerare una estratta della matrice di partenza, non una sottomatrice: cioè una matrice sempre di ordine $n$ ma che "funzioni" solo su un blocco di ordine "m". Questa cosa viene fuori considerando il teorema di completamento di base (da quella di $W$ a quella di $V$) e ragionando su come possa riscriversi la matrice di $f$ riadattandola a tali basi.