Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo problema:
Dimostrare che una curva è piana se e solo se i piani osculatori passano per uno stesso punto.
Per la prima implicazione ho dimostrato che il piano osculatore in un punto coincide con il piano in cui giace la curva (e in modo indiretto ho dimostrato che tutti i piani osculatori passano per uno stesso punto) ma non ne sono convinto al 100%.
Per la seconda implicazione ho considerato il piano passante per $p$ (il punto in ...
Buongiorno a tutti!
Mi sono imbattuto in questi due problemi:
1) Sia $ h: R^3 -> R^4 $ un omomorfismo. Stabilire (dimostrandolo) se:
a) l'immagine di h può essere una retta che non passa per l'origine
b) l'immagine di h può essere una retta che passa per l'origine
c) l'immagine di h può essere una circonferenza di raggio r>0
d) l'immagine di h può essere contenuta in una circonferenza di raggio r>0
e) il nucleo di h può essere un piano qualsiasi
2) Determinare una matrice A a coefficienti ...
Ciao a tutti ! ho delle difficoltà con questo esercizio di geometria 1
Nello spazio vettoriale $ R 3 $ si consideri l'insieme così fatto
$ S = ( ( 0,0,0) , ( 0, -1 , 1) , ( 1 , 0 , 1 ) ) $
Trovare la dimensione del sottospazio generato da S, appunto $ < S > $
Ho ragionato incolonnando i 3 vettori nella matrice
\( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Siccome la matrice ha rango 2 (prendendo il primo minore delle ultime due colonne ) la dimensione
del sottospazio è ...
Ciao a tutti,
sapete dove possa reperire la dimostrazione del risultato sopra riportato?
Ovviamente il problema sta nel dimostrare la non continuità di qualsiasi applicazione biettiva tra i due insiemi (o della sua inversa).
Grazie in anticipo
Salve a tutti, nello svolgimento di un esercizio di Algebra Lineare non ho ben chiaro come arrivare alla risoluzione del seguente quesito:
"Si consideri la proiezione p:R4->R3 data da p(x,y,z,t)=(x,y,z) e l'endomorfismo pof:R3->R3. Dato il sottospazio V={(x,y,z)|x-y+z=0} sottospazio di R3, trovare pof(v) e verificare che questo è incluso in V e per quali casi coincide con V"
- La M(f) è costituita dalle colonne (3,3-h,1-h,-h) , (-1,h-1,h-1,h), (1,1,1,0);
- Il vettore generico di V è {(x,x+z,z) ...
Buona sera a tutti spero che qualcuno mi possa aiutare sono in fase di disperazione pura questo è l'esercizio :
Date le due rette r1 : (t,t,t) e r2: (s,1,3s)
1) dire se sono sghembe ( e lo dovrebbero essere siccome non sono complanari oppure non sono ne incidenti ne parallele)
2) determinare la comune perpendicolare
e sulla seconda mi sono impantanato se qualcuno mi può fare passo a passo il secondo punto mi farebbe un enorme favore
vi dico come ho fato io
trovo un punto di r1 e lo chiamo Q : ...
Salve ragazzi.
I protagonisti sono uno spazio euclideo $(V,g)$ ($g(.,.)$ prodotto scalare) e un suo sottospazio non fesso $W$.
Nel dimostrare che
\[V=W\oplus W^\perp\]
la Prof. fornì una sorta di algoritmo per determinare esplicitamente il complemento ortogonale di $W$. Si parte dal considerare una base $(w_1,...,w_r)$ di $W$, la si completa a una base $\mathcal{B}$ di $V$ e quest'ultima si applica il procedimento ...
Se chiamo $\Omega$ l'insieme dei vettori liberi della geometria euclidea, io leggo nei libri di algebra lineare che per definire il prodotto di un vettore per uno scalare devo scegliere un punto dello spazio A, costruire un vettore applicato appartenente al vettore libero (inteso come classe di equivalenza), ottenendo quindi un vettore AB, e dopodiche scegliere B' sulla retta passante per A e per B tale che il rapporto tra AB' e AB è proprio uguale a $k$.
La mia domanda ...
L'esercizio che vi presento è questo:
Costruire un insieme compatto di numeri reali i cui punti di accumulazione formino un insieme numerabile.
Io ho pensato a questo esempio, ma non so se è corretto:
Siano [tex]E_{2} = \{1/2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} t.c. n = 1, 2, 3, \dots \}[/tex] e in generale [tex]E_{m} = \{1/m + \frac{m-1}{m} \cdot \frac{1}{n} t.c. n = 1, 2, 3, \dots \}[/tex].
Allora l'unione [tex]\bigcup E_{m}[/tex] dovrebbe essere un insieme chiuso, perché contiene tutti i suoi ...
salve,
come si risolve questo esercizio?
Fissato nello spazio un riferimento metrico, si considerino i punti P(-1,0,1), Q(0,0,2) e la retta
r : $\{(x=1+t),(y=2t),(z=1+t):}$
di determini il piano che contiene la retta PQ ed è parallelo alla retta r.
grazie mille.
Ciao!
Ho questo esercizio:
Con $t\in\mathbb{R}$, dati 3 punti in $\mathbb{R}^3$, $A(t)=(t,t^3,t), B(t)=(t,t,t), C(t)=(0,2t,t)$, considerando il triandolo $T(t)$ con quei vertici, e posto $T(t)=\emptyset$ se i punti sono allineati, trovare il volume di
$$
S=\bigcup_{t\in[0,2]} {T(t)}
$$
Io lo ho provato a svolgere, però senza curarmi assolutamente di che cosa sia S:
tramite rette, piani e segmenti ho trovato l'area di $T(t)$, e mi viene $(t^4-t^2)/2$ (ho fatto i ...
In meccanica quantistica, spesso bisogna calcolarsi gli autovalori di matrici molto grandi dove quasi tutti gli elementi di matrice sono nulli. Quindi se uno riuscisse, data una certa matrice a scriverla come se fosse una matrice a blocchi il problema si semplificherebbe enormemente dal momento che calcolare gli autovalori di una matrice a blocchi non richiede fatica.
per esempio supponiamo di avere una matrice 9x9 (P.S le matrici sono sempre simmetriche, e gli elementi sulla diagonale sono ...
Ho delle difficoltà con la comprensione di un esercizio. Ho due sottospazi precedentemente calcolati (e che so corretti):
[tex]U= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} ; W= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
Dopo aver verificato che [tex]U \oplus W = R4[/tex] , si determini la proiezione [tex]\pi_U^W[/tex] su [tex]U[/tex] parallelamente a [tex]W[/tex], esplicitandone la matrice ...
sia $f in End(R^3)$ definito da: $f ((x),(y),(z)) = ((x+2y),(2x+6z),(6y-9z))$; sia $G=((1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)) in R(3)$ e sia $g$ il prodotto scalare definito da: $g(X,Y)= (X^(T)) (G^-1) Y$;
calcolare l'operatore trasposto di f rispetto a g, (trasposto f)
qualcuno può dirmi come calcolare l'operatore trasposto?? grazie!!!!
Ho visto a lezione che una proiettività è un omeomorfismo e la dimostrazione mi torna... invece, un qualsiasi isomorfismo proiettivo è sempre un omeomorfismo?
Perchè mi è venuto il dubbio pensando a questo: $RR^2$ e $CC$ sono isomorfi come spazi vettoriali vedendo il piano complesso come $RR$-spazio... dunque l'isomorfismo si trasporta nel proiettivo, ovvero $P(CC)$ e $P(RR^2)=P^1(RR)$ sono proiettivamente isomorfi... mentre non sono omeomorfi ...
Ciao a tutti ragazzi. Sto facendo degli esercizi riguardanti le derivate applicate ai problemi economici. Ho 2 esercizi non chiari. Precisando uno non ho capito il ragionamento, mentre l'altro sono proprio in difficoltà.
1) Pietro vende 20 magliette al giorno, ma le vendite calano al ritmo di 3 al giorno. Oggi Pietro vende le magliette a 7€ l'una, ma per compensare il calo delle vendite alza il prezzo unitario di 1€ al giorno. Quanto velocemente e in quale direzione varia attualmente il suo ...
Ciao a tutti!
Vi chiedo aiuto perché ho qualche problema con l’immagine di un’applicazione lineare. Più o meno credo di aver capito il concetto teorico, ma in pratica ho qualche dubbio.
Ad esempio ho un esercizio in cui è data la matrice seguente:
$ ( ( -1 , 0 , 5 ),( 4 , 4-8x , -20 ),( -1 , 8x-4 , y+9 ) ) $
E chiede per quali valori di $x ,y$ il vettore $[1, -4, 3]$ appartiene all’insieme immagine della matrice.
Poiché l’insieme immagine è il sottospazio generato dall’applicazione/matrice (è corretto?), svolgo alcune ...
Ho una matrice A, diciamo 4x4, della quale voglio conoscere gli autovalori. So che il suo determinante non varia se sommo una riga con il prodotto scalare di un altra e so che il suo polinomio caratteristico è dato da [tex]det(A-xI)[/tex]
Diciamo che il calcolo diretto di questo determinante è molto complesso e mi interesserebbe utilizzare la proprietà del determinante sopra esposta. Posso applicare questa proprieta alla matrice PRIMA di eseguire la somma [tex]A-xI[/tex] oppure no? Insomma, in ...
Mr. Sernesi chiama paralleli due vettori non nulli $u,w$ di uno spazio vettoriale euclideo $V$ tali che $\alpha u+\beta w=0_V$ per opportuni scalari $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ non nulli; ne deduco che $u$ è parallelo a $w$ se e solo se $u\in\langle w\rangle\setminus \{0_V\}$. Inoltre afferma che la disuguaglianza triangolare
\[\|u+w\|\le \|u\|+\|w\|\]
è un'uguaglianza se e solo se $u$ e $w$ sono paralleli. Tuttavia se prendo ...
Salve a tutti, sto cercando in tutti i modi di capire un passaggio teorico riguardo a questo argomento. Si tratta di tale proposizione:
V è uno spazio vettoriale e W,Z sono sottospazi di V tali che W+Z = V e W $ nn $ Z = {0} , allora si dice che V e decomposto nella somma diretta di W e Z e scriveremo V = W $ o+ $ Z.
- ponendo p(v)= w e q(v)= z, si definiscono due applicazioni p,q : V $ rarr $ V, dette proiezioni relative alla decomposizione in somma diretta V= W ...
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