1-forma

[merdino]

E' data da \(\omega(x):\mathbb{R}^{n}\rightarrow (\mathbb{R}^{n})^{*}\) e
\[
\omega(x)=\omega_{1}(x)\mbox{d}x_{1}+...+\omega_{n}(x)\mbox{d}x_{n}
\]
Vorrei una spiegazione diretta sul perché i coefficienti sono funzioni delle \(x\). Intuitivamente è molto chiaro dato che gli spazi sono isomorfi e specificare \((\omega_{1}(x),...,\omega_{n}(x))\) equivale a specificare l'elemento del duale. Il punto è che lo voglio vedere scritto in modo ancora più semplice, posto \(\omega(x)=f_{x}\)
\[
\begin{split}
f_{x}(y)
&=f_{x}(y_{1}e_{1}+....+y_{n}e_{n}) \\
&=y_{1}f_{x}(e_{1})+...+y_{n}f_{x}(e_{n}) \\
&=y_{1}k_{x}^{1}+...+y_{n}k_{x}^{n} \\
&=k_{x}^{1}\mbox{d}y_{1}(y)+...+k_{x}^{n}\mbox{d}y_{n}(y) \\
&=(k_{x}^{1}\mbox{d}y_{1}+...+k_{x}^{n}\mbox{d}y_{n})(y) \\
\end{split}
\]
Ora, \(k_{x}^{i}\) viene da una corrispondenza ben definita \(x\mapsto k_{x}^{i}=k^{i}(x)\) e quindi è lecito scrivere i coefficienti in quel modo. Voi come lo spieghereste con le vostre parole?

[vict85]

Puoi anche usare il fatto che \(\displaystyle \omega_n = \langle \omega, \mathrm{d}x_n \rangle \mathrm{d}x_n \)

[4mrkv]

Scrivi direttamente \(f_{x}(y)=\omega(x)(y)\) quindi espliciti \(\omega(x)(y)\) e poni \(\omega_{i}(x):=\omega(x)(e_{i})\) osservando che sono ben definite come funzioni di \(x\), se deve essere ancora più semplice