Consiglio su ortogonalizzazione-simultanea
Salve ragazzi!
In questi giorni sto scrivendo una dispensina di esercizi svolti di Geometria I tratti dal corso della mia facoltà. Vi chiedo gentilmente di darmi un parere sulla risoluzione di questo quesito dato che non ne sono sicuro al 100% .
Si tratta i in Vero/Falso, cioè dire se la seguente proposizione è vera o falsa, giustificandone la risposta.
Siano $\Phi_A$ e $\Phi_b$ i prodotti scalari su $\mathbb{R}^3$ associati rispettivamente alle matrici:
$ A=((1,1,0),(1,1,0),(0,0,1))\qquad B=((0,1,1),(1,2,1),(1,1,0)) $
Esiste una base di $\mathbb{R}^3$ ortogonale sia per $\Phi_A$ che per $\Phi_B$.
Ritengo che la proposizione sia falsa e ragiono come segue.
Supponiamo per assurdo vera la proposizione. Consideriamo le due matrici come matrici associate ai rispettivi prodotti scalari nella base canonica $C$ di $\mathbb{R}^3$. Entrambe hanno 3 autovalori distinti.
Questo ci dice che una base $B$ simultaneamente ortogonale contiene vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare standard $\phi$ di $\mathbb{R}^3$.
Possiamo dunque normalizzare questi vettori rispetto a $\phi$ e ottenere una base $S$, ancora simultaneamente ortogonale. La matrice $P$ che opera il cambiamento di base da $C$ a $S$ è ortogonale, dal momento che le due basi sono ortonormali rispetto a $\phi$.In definitiva ho fatto vedere che esiste una matrice $P\in O(n,\mathbb{R})$ tale che $$^tPAP=D_A$$ e $$^{t}PBP=D_B$$ con $D_A$ e $D_B$ diagonali. E' noto che due matrici diagonali commutano, quindi $D_AD_B=D_BD_A$. Da questo deriva che:
\begin{eqnarray}
\left(^{t}PAP\right)\left(^{t}PBP\right)&=&\left(^{t}PBP\right)\left(^{t}PAP\right) \nonumber \\
^{t}PABP&=&^{t}PBAP \nonumber \\
AB&=&BA \nonumber
\end{eqnarray}
ovvero che $A$ e $B$ commutano. Tuttavia questo non è vero e si arriva così ad una contraddizione.
Vi domando se vedete degli errori o se magari avete un metodo risolutivo più semplice ( al momento non ho molte idee ).
Grazie.
In questi giorni sto scrivendo una dispensina di esercizi svolti di Geometria I tratti dal corso della mia facoltà. Vi chiedo gentilmente di darmi un parere sulla risoluzione di questo quesito dato che non ne sono sicuro al 100% .
Si tratta i in Vero/Falso, cioè dire se la seguente proposizione è vera o falsa, giustificandone la risposta.
Siano $\Phi_A$ e $\Phi_b$ i prodotti scalari su $\mathbb{R}^3$ associati rispettivamente alle matrici:
$ A=((1,1,0),(1,1,0),(0,0,1))\qquad B=((0,1,1),(1,2,1),(1,1,0)) $
Esiste una base di $\mathbb{R}^3$ ortogonale sia per $\Phi_A$ che per $\Phi_B$.
Ritengo che la proposizione sia falsa e ragiono come segue.
Supponiamo per assurdo vera la proposizione. Consideriamo le due matrici come matrici associate ai rispettivi prodotti scalari nella base canonica $C$ di $\mathbb{R}^3$. Entrambe hanno 3 autovalori distinti.
Questo ci dice che una base $B$ simultaneamente ortogonale contiene vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare standard $\phi$ di $\mathbb{R}^3$.
Possiamo dunque normalizzare questi vettori rispetto a $\phi$ e ottenere una base $S$, ancora simultaneamente ortogonale. La matrice $P$ che opera il cambiamento di base da $C$ a $S$ è ortogonale, dal momento che le due basi sono ortonormali rispetto a $\phi$.In definitiva ho fatto vedere che esiste una matrice $P\in O(n,\mathbb{R})$ tale che $$^tPAP=D_A$$ e $$^{t}PBP=D_B$$ con $D_A$ e $D_B$ diagonali. E' noto che due matrici diagonali commutano, quindi $D_AD_B=D_BD_A$. Da questo deriva che:
\begin{eqnarray}
\left(^{t}PAP\right)\left(^{t}PBP\right)&=&\left(^{t}PBP\right)\left(^{t}PAP\right) \nonumber \\
^{t}PABP&=&^{t}PBAP \nonumber \\
AB&=&BA \nonumber
\end{eqnarray}
ovvero che $A$ e $B$ commutano. Tuttavia questo non è vero e si arriva così ad una contraddizione.
Vi domando se vedete degli errori o se magari avete un metodo risolutivo più semplice ( al momento non ho molte idee ).
Grazie.
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