Posizione reciproca di due rette nello spazio al variare di un parametro
Ciao a tutti ! Ho dei dubbi su questo esercizio.
Discutere al variare dei parametri \( \lambda \mu \) \( \lambda , \mu \) reali la posizione reciproca
di queste due rette nello spazio.
\( r) \begin{cases} 2x-y+z-4=0 \\ y + z -2=0 \end{cases} \)
\( s) \begin{cases} x+ \lambda y - 1= 0 \\ x + z - \mu -1 = 0 \end{cases} \)
Ho calcolato i parametri direttori di r --> $ (2,2,-2) $ e di s : $ \( (\lambda,-1, -\lambda) \)
e poichè per \( \lambda \) = 1 i p direttori sono uguali ho detto che le rette sono parallele.
Poi ho calcolato il det di questa matrice
\( \lambda\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & \lambda & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & (\mu-1) \end{pmatrix} \)
che viene \( (\mu+2)(-2\lambda-2) \)
Quindi ho detto che per \( \mu \neq -2, \lambda \neq -1 \) le rette sono sgembe.
Volevo sapere se devo studiare altri casi, per es per \( \mu = -2 \) cosa succede?
E in quale caso le rette sarebbero eventualmente incidenti? Come faccio a capirlo?
Discutere al variare dei parametri \( \lambda \mu \) \( \lambda , \mu \) reali la posizione reciproca
di queste due rette nello spazio.
\( r) \begin{cases} 2x-y+z-4=0 \\ y + z -2=0 \end{cases} \)
\( s) \begin{cases} x+ \lambda y - 1= 0 \\ x + z - \mu -1 = 0 \end{cases} \)
Ho calcolato i parametri direttori di r --> $ (2,2,-2) $ e di s : $ \( (\lambda,-1, -\lambda) \)
e poichè per \( \lambda \) = 1 i p direttori sono uguali ho detto che le rette sono parallele.
Poi ho calcolato il det di questa matrice
\( \lambda\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & \lambda & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & (\mu-1) \end{pmatrix} \)
che viene \( (\mu+2)(-2\lambda-2) \)
Quindi ho detto che per \( \mu \neq -2, \lambda \neq -1 \) le rette sono sgembe.
Volevo sapere se devo studiare altri casi, per es per \( \mu = -2 \) cosa succede?
E in quale caso le rette sarebbero eventualmente incidenti? Come faccio a capirlo?
Risposte
Inoltre ci sono casi che non ho studiato?
Ciao Marthy,
le due rette possono essere:
1. incidenti (e in questo caso sono anche complanari)
2. parallele (anche in questo caso sono complanari)
3. sghembe ( se non sono incidenti né parallele, allora sono sghembe)
Le soluzioni del sistema a cui è associata la matrice che hai scritto sono i punti di intersezione (beh, uno o tutti...) tra le due rette. La matrice ti dice quindu se le due rette sono incidenti oppure no.
Quindi ridurrei la matrice con gauss per trovare le eventuali soluzioni del sistema.
1. Se il sistema ha una soluzione, le rette sono incidenti
2. Se il sistema non ha soluzioni e i vettori di direzione sono diversi, le rette sono sghembe
3. se il sistema non ha soluzioni e i vettori di direzione sono uguali, le rette sono parallele (come hai detto)
4. se il sistema ha infinite soluzioni (det della matrice nullo) le rette coincidono
Non mi sembra che il calcolo del determinante, da solo, fornisca la posizione reciproca, ma indica solo se le due rette coincidono o no.
spero di non aver sbagliato, ciao
le due rette possono essere:
1. incidenti (e in questo caso sono anche complanari)
2. parallele (anche in questo caso sono complanari)
3. sghembe ( se non sono incidenti né parallele, allora sono sghembe)
Le soluzioni del sistema a cui è associata la matrice che hai scritto sono i punti di intersezione (beh, uno o tutti...) tra le due rette. La matrice ti dice quindu se le due rette sono incidenti oppure no.
Quindi ridurrei la matrice con gauss per trovare le eventuali soluzioni del sistema.
1. Se il sistema ha una soluzione, le rette sono incidenti
2. Se il sistema non ha soluzioni e i vettori di direzione sono diversi, le rette sono sghembe
3. se il sistema non ha soluzioni e i vettori di direzione sono uguali, le rette sono parallele (come hai detto)
4. se il sistema ha infinite soluzioni (det della matrice nullo) le rette coincidono
Non mi sembra che il calcolo del determinante, da solo, fornisca la posizione reciproca, ma indica solo se le due rette coincidono o no.
spero di non aver sbagliato, ciao
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