Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Vi espongo un ragionamento, che molto probabilmente contiene un errore ma non ne sono sicuro.
Dalle definizioni abbiamo che una varietà topologica è uno spazio topologico ricoperto di aperti (carte) omeomorfi con aperti di $RR^n$.
Una varietà topologica è una varietà differenziabile ($C^k$) se le funzioni di transizione da una carta all' altra sono $C^k$, perchè essendo da $RR^n$ a $RR^n$ posso parlare di differenziabilità.
Ora però se ...
Buongiorno a tutti...
Nel piano $RR^2$ con la topologia euclidea, si considerino i seguenti sottospazi:
$X_1={(x,y):x^2+y^2=1}$, $X_2=X_1 uu {(x,y): y=0, x in [-1,1]}$, $X_3= X_1 uu X_2 uu {(x,y) in RR^2: x=0, y in [-1,1]}$
Calcolare i gruppi fondamentali di $X_1, X_2, X_3$
Allora il gruppo fondamentale di $X_1$ sappiamo che è $ZZ$
Vediamo invece quello di $X_2$. Questo spazio sarebbe la circonfernza centrata nell'origine con raggio 1 unita al suo diametro orizzontale. Quindi, per usare Van Kampen, mi ...
Sia
$f^-1 {(-1,0,1)} = (-1,0,1) + <(1,2,1),(2,1,2)>$
Si scriva la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
potreste aiutarmi? grazie mille!
Salve a tutti. Volevo chiedervi se poteste indicarmi un metodo per la risoluzione del seguente esercizio. È da due giorni che provo a cercare metodi per la risoluzione ma ne attraverso i libri ne attraverso l'utilizzo di internet sono riuscito a trovare qualcosa.
Sia
$V ={((a, b),(b, c))| a, b, c in RR} sub M_2(RR)$.
a) Determinare la dimensione ed una base di $V$ .
b) Sia $f : V -> V$ l’applicazione definita da
$f((a, b),(b, c))=((a + hc, b),(b, a + hc))$.
Verificare che $f$ è un endomorfismo.
Vi ringrazio in anticipo ...
Salve, mi sono trovato di fronte a questo esercizio e volevo chiedervi qualche dritta circa la risoluzione di quest'ultimo.
L'esercizio è il seguente:
Sono date le applicazioni lineari
$f : R^2 -> R^2, g : R^2 -> R^2$
tali che
$f(x,y)=(x+2y,−x−y), g(1,1)=(−1,0), g(1,−1)=(0,1).$
a) Determinare la matrice di $(fog)$ rispetto alla base canonica di $R^2$.
b) Verificare che $(fog)$ è un isomorfismo, e calcolare $(fog)^-1(1,1)$.
Con $(fog)$ indico $g(f)$, purtroppo, essendo un nuovo utente, non ...
Mi potreste aiutare a risolvere questo esercizio d'esame di complementi di matematica?
non ho davvero idea di come risolverlo, ho già tentato in vari modi ma tutto inutile
Determinare una matrice A a coefficienti reali che abbia (x + 1)(x − 2)^2 come polinomio caratteristico e tale che A·V = V dove V = {(x,y,z)∈R^3 :2x−z=y}.
grazie mille
Per ogni $AinM(2,R)$ sia $phi_A$ il prodotto scalare su $M(2,RR)$ dato da: $phi_A(X,Y)=tr(A(XY+YX))$ $AAX,YinM(2,RR)$
Dimostrare che se $A$ è simile a $B$ allora $phi_A$ è congruente a $phi_B$.
I due prodotti scalari sono congruenti se e solo se esiste un'isometria f tale che: $phi_A(X,Y)=phi_B(f(X),f(Y))$
cioè: $tr(A(XY+YX))=tr(B(f(X)f(Y)+f(Y)f(X)))$
Poiché A è simile a B abbiamo che $B=M^(-1)AM$ per qualche $MinGL(2,RR)$
dunque cerco f tale che ...
Salve a tutti,
alcuni esercizi di algebra lineare richiedono di trovare la matrice associata ad un'applicazione lineare che ha il dominio espresso in una base e il codominio in un altra.
La matrice che da l'esercizio è in genere espressa rispetto ad una base diversa da quella canonica e dalle due che l'esercizio richiede di assegnare rispettivamente al domino e al codominio.
In che consiste il procedimento di questo esercizio ? Che linea logica devo seguire ?
Salve a tutti,
leggevo le definizioni e mi sono posto la domanda "ma forse è un errore di scrittura".. in sostanza leggo:
\( a \in \mathfrak{M}_{(m,n)}(k) \) è ridotta per righe se ogni colonna non nulla ha elemento speciale
\( a \in \mathfrak{M}_{(m,n)}(k) \) è ridotta per colonne se ogni riga non nulla ha elemento speciale
sono corrette? Io avrei detto "... ridotta per righe se ogni riga..." e "... ridotta per colonne se ogni colonna..."
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
Ciao a tutti ragazzi, sono tornato per chiedervi un informazione riguardante questo esercizio
$ (h^2 + h)y = h$
$ h^2x + y +z =2$
quindi la matrice è
$((0,h^2+h,0),(h^2,1,1))$
per iniziare ho calcolato il rango che dovrebbe essere 2
$((0,(h^2+h)),(h,1))$
però poi non so come continuare, negli esercizi fatti in precedenza erano tutte matrici quadrate, quindi utilizzavo Cramer, ma in questo caso non so come procedere.
Pensavo di studiare i casi quando h=0 e quando è diverso da zero, ma non essendo sicuro di ...
ciao a tutti!!
mi serviva una mano per cercare di capire come si calcola la matrice associata,
vi scrivo un esempio!
f: M2(R) $ rarr $ R2
f $ rarr ( ( a , b ),( c , d ) ) $ = $ ( ( a+c ),( b+d ) ) $
qua come si calcola la matrice associata?
Grazie mille!!
Salve, provando a risolvere questo quesito io ho risposto 36°, ma a quanto pare la risposta è 30°, come mai?
Il testo dice:
La semiretta PT è tangente alla circonferenza di raggio r nel punto T e il segmento PO misura 2r. L'angolo OPT vale?
ciao a tutti!
mi ero bloccato su un esercizio e volevo sapere se qualcuno potrebbe darmi una mano, basterebbe anche solo la prima parte!
scusate se metto il link all'immagine hostata ma non riesco a scrivere il testo
http://tinypic.com/r/11c5nnp/5
non riesco a capire in questo caso come fare la somma e l'intersezione
grazie ciao!
Salve a tutti , ho dei dubbi riguardo questo esercizi:
Date le relazioni:
x=T(1,1,1)=(-1,2) y=T(0,1,1)=(0,4) z=T(1,1,0)=(2,1)
scrivere la matrice associata rispetto alla base canonica.
Ora questi sono i miei dubbi:
so che per cambiare base ci sono due metodi : 1caso )sfruttare la formula con le matrici di passaggio , 2caso) sfruttare la linearità dell'applicazione.
Nel 1 caso vi chiedo se è possibile usare la formula cosi come se si stesse svolgendo un' applicazione lineare tra due spazi di ...
$\alpha x+(1-\alpha)y-\alpha z = 1$
$2y+3z=\alpha$
$(\alpha-1)x+(3-\alpha)y+(3+\alpha)z=\alpha+1$
Discutere l'esistenza è unicità del sistema.
Allora, facendo il determinante della matrice associata al sistema, e imponendolo diverso da 0 trovo che deve essere $\alpha\ne -1,3/4$.
Tuttavia io ho scelto un altra strada, ovvero l'algoritmo di Gauss. Vi dico in particolare le operazioni per riga che ho fatto.
PRIMO PASSAGGIO: $R_3=R_3-(\alpha-1)/\alpha R_1$ dopo aver imposto $\alpha\ne 0$. Dopo questo, la prima colonna del sistema viene a scalini. ...
Salve a tutti, sto trovando alcune difficoltà nella risoluzione di questo esercizio. Se poteste indicarmi qualche metodo risolutivo ve ne sarei grato.
Si consideri l’applicazione lineare $f:RR^3→RR^2$ tale che
$f(2,1,1)=(2,1),f(1,1,1)=(0,−1),f(1,−3,1)=(2,2)$.
a) Determinare la matrice di $f$ rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e di $RR^2$;
b) Stabilire se $f$ è surgettivo e/o ingettivo;
c) Posto $V=L{(12,1,1),(1,5,1)}$, determinare una base di $f(V)$.
Ad esempio, ...
Ciao a tutti ! Ho dei dubbi con questo esercizio.
Dallo studio di un 'applicazione lineare f che va da R2 in R2 risulta che
$ kerf = < ( -1,1,1) > $
$ Imf = <(6,1,1), ( 9,0,3) > $
L'esercizio mi chiede se il nucleo e l'Imf sono in somma diretta. Come procedere?
Due sottospazi sono in somma diretta se e solo se la loro intersezione è vuota.
Io ho determinato l'equazione cartesiana di Imf che risulta essere $ x-3y-3z=0 $
Poi ho scritto il generico elemento del kerf ---> a ( -1,1,1) = (-a,a,a)
Quindi ho ...
Ecco altri esercizi di cui mi servirebbe la risoluzione per poter capire da dove partire a fare gli altri:
1)Si consideri la famiglia di quadriche F: (x-y-z)(x-y+2z) +k(-x+y)=0 con k parametro reale.
Si studi la natura di F al variare di k e si provi che per k=1 viene un cilindro, determinandone le coordinate proiettive del vertice. Si provi che il piano x+y=1 seziona il cilindro secondo un'iperbole.
2)Si studi la quadrica Q di equazione 5x^2 + y^2 +4xy -2yz +8x +4y -4z +4 = 0.
Si provi che la ...
Dopo aver verificato che la matrice A= 3 2+i è hermitiana (questo l'ho fatto senza problemi), determina una matrice unitaria
2-i -1
M tale che Mh*A*M sia diagonale. con M hermitiana.
Devo risolvere alcuni esercizi per un esame, e non me ne vengono dei pezzi.. Spero in una risposta..
1)Si determinino le equazioni cartesiane delle sfere aventi raggio R=rad10, che sezionano il piano z=0 secondo la circonferenza di centro C=(1;1;0) e raggio 1. Tra le sfere cosi determinate si indichi con S quella il cui centro ha quota positiva (Fino qui credo di aver fatto giusto è mi è venuto (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 10). Si scriva l'equazione cartesiana del cono di vertice V=(1;1;-1/3) ...
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