Distanza rette sghembe. piano parallelo.. mi perdo in un punto..
Ciao a tutti, sto rifancendo esercizi su rette e piani. Riguardando i miei appunti che ho preso ad esercitazione, c'è un esercizio che è calcolare la distanza tra 2 rette sghembe, però mi perdo in un punto. Aiutatemi a capire.
L'esercitatore per calcolare la distanza tra 2 rette sghembe ha usato la seguente affermazione
Date 2 rette sghembe $r_1, r_2$ si può trovare un piano $\pi$ che contine $r_1$ e parallelo a $r_2$. Ebbene possiamo calcolare la distanza fra $r_1$ ed $r_2$ come la distanza fra $\pi$ e un qualsiasi punto dell'altra retta.
Detto in simboli $d(r_1,r_2)=d(\pi, P_2), \forall P_2\in r_2$
ed ecco l'esercizio.
$ r_1: ( ( x ),( y ),( z ) )=( ( -1 ),( 0 ),( 0 ) )+t( ( -2 ),( 1 ),( 1 ) ) $
$ r_2: ( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )+s( ( 1 ),( 2 ),( -1 ) ) $
dice piano $\pi: ( ( -1 ),( 0 ),( 0 ) )+t( ( -2 ),( 1 ),( 1 ) ) +s( ( 1 ),( 2 ),( -1 ) )$, poi $P=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )\in r_2$
Troviamo il piano $\pi$ in un altro modo, $r_1 :{(x=-1+2y),(y-z=0):}$
$\lambda(x-2y+1)+\nu(y-z)=0$ con $\lambda, \nu\in P_1$
$\pi : \lambda x+(\nu-2\lambda)y-\nu z+\lambda=0$
(Ora arriva il punto in cui mi perdo, l'esercitatore continua l'esercizio dicendo)
$ \pi //// r_2rArr <( ( 1 ),( 2 ),( -1 ) )\cdot( ( \lambda ),( \nu-2\lambda ),( -\nu ) )> $ $=0$
quindi $\lambda+2\nu-4\lambda+\nu=0\to 3(\nu-\lambda)=0$.. prendo $\nu=1=\lambda$
il piano cercato è $\pi: x-y-z+1=0$
quindi la distanza è $d(P,\pi)=(|0\cdot 1-1\cdot 1-1\cdot1+1|)/(\sqrt{1^2+1^2+1^2})=(\sqrt{3})/(3)$
Ecco come mai per trovare il piano, ha fatto il prodotto scalare? Non riesco a capire :(
L'esercitatore per calcolare la distanza tra 2 rette sghembe ha usato la seguente affermazione
Date 2 rette sghembe $r_1, r_2$ si può trovare un piano $\pi$ che contine $r_1$ e parallelo a $r_2$. Ebbene possiamo calcolare la distanza fra $r_1$ ed $r_2$ come la distanza fra $\pi$ e un qualsiasi punto dell'altra retta.
Detto in simboli $d(r_1,r_2)=d(\pi, P_2), \forall P_2\in r_2$
ed ecco l'esercizio.
$ r_1: ( ( x ),( y ),( z ) )=( ( -1 ),( 0 ),( 0 ) )+t( ( -2 ),( 1 ),( 1 ) ) $
$ r_2: ( ( x ),( y ),( z ) )=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )+s( ( 1 ),( 2 ),( -1 ) ) $
dice piano $\pi: ( ( -1 ),( 0 ),( 0 ) )+t( ( -2 ),( 1 ),( 1 ) ) +s( ( 1 ),( 2 ),( -1 ) )$, poi $P=( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) )\in r_2$
Troviamo il piano $\pi$ in un altro modo, $r_1 :{(x=-1+2y),(y-z=0):}$
$\lambda(x-2y+1)+\nu(y-z)=0$ con $\lambda, \nu\in P_1$
$\pi : \lambda x+(\nu-2\lambda)y-\nu z+\lambda=0$
(Ora arriva il punto in cui mi perdo, l'esercitatore continua l'esercizio dicendo)
$ \pi //// r_2rArr <( ( 1 ),( 2 ),( -1 ) )\cdot( ( \lambda ),( \nu-2\lambda ),( -\nu ) )> $ $=0$
quindi $\lambda+2\nu-4\lambda+\nu=0\to 3(\nu-\lambda)=0$.. prendo $\nu=1=\lambda$
il piano cercato è $\pi: x-y-z+1=0$
quindi la distanza è $d(P,\pi)=(|0\cdot 1-1\cdot 1-1\cdot1+1|)/(\sqrt{1^2+1^2+1^2})=(\sqrt{3})/(3)$
Ecco come mai per trovare il piano, ha fatto il prodotto scalare? Non riesco a capire :(
Risposte
"21zuclo":
(Ora arriva il punto in cui mi perdo, l'esercitatore continua l'esercizio dicendo)
$ \pi //// r_2rArr <( ( 1 ),( 2 ),( -1 ) )\cdot( ( \lambda ),( \nu-2\lambda ),( -\nu ) )> $ $=0$
...
Ecco come mai per trovare il piano, ha fatto il prodotto scalare? Non riesco a capire :(
Il prodotto scalare nullo, $<\mathbf{u},\mathbf{v}> = 0$, implica che $\mathbf{u}$ è ortogonale a $\mathbf{v}$.
Nel tuo esercizio si trova il piano $\pi$ che contiene la retta $r_1$. Ma esso non è un piano ma l'insieme dei piani che contengono la retta $r_1$! Tra questi devi individuare il piano che è parallelo alla retta $r_2$, $\pi_{////}$.
Come puoi esprimere la condizione di parallelismo?
Ricordiamo che un piano si può identificare, dato un vettore $\mathbf{n}$, come lo spazio ortogonale al vettore $\mathbf{n}$. Ovvero deve soddisfare la seguente equazione: \[<\mathbf{n},\mathbf{v}> = <\mathbf{n},\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\\\end{array}\right]> = 0\]
Ovvero, esplicitando:
\[n_1 x + n_2 y + n_3 z = 0\]
Quindi i coefficienti nell'equazione di un piano sono le componenti di un vettore ortogonale al piano stesso.
Tornando al parallelismo tra retta e piano possiamo dire, alla luce di quanto visto, che dire che $r_2$ è parallela a $\pi$ equivale a dire che il vettore direttore della retta sia ortogonale al vettore normale al piano:
\[r_2 // \pi \Leftrightarrow \mathbf{v}_{r_2} \perp \mathbf{n}_{\pi} \]
Ovvero:
\[ \pi_{//} := <\left[\begin{array}{c}1\\2\\-1\\\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} \lambda\\ \nu-2\lambda\\-\nu\\\end{array}\right]> = 0\]
Scusandomi per la prolissità
, spero di averti chiarito le idee 
Ho rifatto l'esercizio poiché il metodo complessivo non mi convinceva del tutto (plottando anche il tutto con Mathematica) e mi sembra sia errato.
A me il piano risulta $3x + y +5z +1 = 0$, come si può verificare anche convertendo da parametriche a cartesiane l'equazione del piano che ti da all'inizio.
Sinceramente lui fa un passaggio per me non molto chiaro e non saprei dire esattamente quale sia l'errore! Se però ti interessa lo svolgimento corretto posso scrivertelo come l'ho svolto io
EDIT: Ciò non toglie che quello che ho detto nel messaggio precedente è corretto!
EDIT 2: L'errore dovrebbe essere da qualche parte quando scrive il piano come sistema di 2 equazioni e poi lo scrive come combinazione lineare di $\lambda$ e $\nu$. Io sui miei calcoli ho ragionato in maniera meno geometrica e non ho fatto così.
A me il piano risulta $3x + y +5z +1 = 0$, come si può verificare anche convertendo da parametriche a cartesiane l'equazione del piano che ti da all'inizio.
Sinceramente lui fa un passaggio per me non molto chiaro e non saprei dire esattamente quale sia l'errore! Se però ti interessa lo svolgimento corretto posso scrivertelo come l'ho svolto io
EDIT: Ciò non toglie che quello che ho detto nel messaggio precedente è corretto!
EDIT 2: L'errore dovrebbe essere da qualche parte quando scrive il piano come sistema di 2 equazioni e poi lo scrive come combinazione lineare di $\lambda$ e $\nu$. Io sui miei calcoli ho ragionato in maniera meno geometrica e non ho fatto così.
intanto grazie per l'ottima spiegazione alla tua prima risposta 
sì mi hai chiarito le idee
mi faresti un grosso favore.. almeno ho la soluzione corretta, dell'esercizio.. sì dai prova a postare la tua soluzione.
Pure io ci stavo pensando di svolgere i calcoli in maniera diversa, sai questa materia Algebra Lineare, al primo semestre l'ho solamente seguita, perchè mi ero dedicato di più ad Analisi 1, lasciando indietro questa materia..
Comunque sì posta la tua soluzione.. grazie!
sì mi hai chiarito le idee "Emar":
Sinceramente lui fa un passaggio per me non molto chiaro e non saprei dire esattamente quale sia l'errore! Se però ti interessa lo svolgimento corretto posso scrivertelo come l'ho svolto io
mi faresti un grosso favore.. almeno ho la soluzione corretta, dell'esercizio.. sì dai prova a postare la tua soluzione.
"Emar":
. Io sui miei calcoli ho ragionato in maniera meno geometrica e non ho fatto così.
Pure io ci stavo pensando di svolgere i calcoli in maniera diversa, sai questa materia Algebra Lineare, al primo semestre l'ho solamente seguita, perchè mi ero dedicato di più ad Analisi 1, lasciando indietro questa materia..
Comunque sì posta la tua soluzione..
grazie!
Come dicevo prima il procedimento non è brillante è ci sono un po' di passaggi macchinosi (mi arrangio con quello che ho 
). Spero di riuscire a spiegarmi.
Cominciamo :
Abbiamo la retta $r_1$:
\[r_1: \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right] = \mathbf{p}_1 + t\mathbf{v}_1\]
Dove $\mathbf{p}_1 = [-1, 0, 0]^T$ e $\mathbf{v}_1 = [-2, 1, 1]^T$ (i vettori riga trasposti sono vettori colonna).
Ragioniamo con la retta $r$ generata dal solo vettore $\mathbf{v}_1$, ovvero la retta parallela a $r_1$ ma passante per l'origine, ovvero:
\[\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right] = t\mathbf{v}_1\]
(Questo passaggio è bruttino. In pratica facciamo il ragionamento sulla retta traslata nell'origine per poi ritraslare il risultato nel punto $\mathbf{p}_1$. Probabilmente conoscendo la geometria affine si potrebbe procedere in modo più elegante)
Tenendo presente che un piano (che include l'origine) è univocamente identificato dal suo vettore normale, per trovare l'insieme dei piani che contengono la retta $r$ troviamo l'insieme dei vettori ortogonali ad essa:
\[<\mathbf{n},\mathbf{v}_1> = <\left[ \begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ n_3\end{array}\right],\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]> = -2n_1 + n_2 + n_3 = 0 \]
Da cui si ricava $n_3 = 2n_1 - n_2$.
Un generico vettore ortogonale a $\mathbf{v}_1$ sarà dunque: $\mathbf{n} = [u, w, (2u - w)]^T$ dove $u$ e $w$ sono 2 parametri.
Un generico piano contenente la retta $r$ (generata da $\mathbf{v}_1$) sarà quindi:\[ux + wy + (2u - w)z = 0\]
Per ottenere ora il generico piano che contiene la retta di partenza $r_1$ dobbiamo traslare tale piano del vettore $\mathbf{p}_1 = [-1,0,0]^T$. In questo modo otteniamo il generico piano passante per la retta $r_1$:\[u(x-(-1)) + w(y-0) + (2u - w)(z - 0) = 0 \\ ux + wy + (2u - w)z + u=0\]
A questo punto scegliamo, tra tutti i piani passanti per $r_1$, quello parallelo a $r_2$, ovvero imponiamo che $v_2$ (vettore direttore della retta $r_2$) sia ortogonale al versore normale del generico piano:\[<\mathbf{n},\mathbf{v}_2> = <\left[ \begin{array}{c} u \\ w \\ 2u - w\end{array}\right],\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right]> = 0 \\ \rightarrow u + 2w-2u+w = u-3w = 0\]
Da cui ad esempio $w = 1$ e quindi $u = 3$.
Sostituendo:\[3x + y +(2(3) - 1)z + 3 = 0 \\ \rightarrow 3x + y +5z +3 = 0\]
Volendo la ri-traslazione che abbiamo fatto prima potevamo farla anche qui e si sarebbe ottenuto ugualmente:
\[3(x+1) + y +5z = 0 \\ \rightarrow 3x + y +5z +3 = 0\]
Inoltre, come dicevo prima, convertendo l'equazione parametrica: \[\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] + t\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] + s\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right] \]
Si ottiene lo stesso risultato.
La distanza piano-retta non l'ho calcolata.
Spero di non aver commesso errori!
). Spero di riuscire a spiegarmi.Cominciamo
:Abbiamo la retta $r_1$:
\[r_1: \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right] = \mathbf{p}_1 + t\mathbf{v}_1\]
Dove $\mathbf{p}_1 = [-1, 0, 0]^T$ e $\mathbf{v}_1 = [-2, 1, 1]^T$ (i vettori riga trasposti sono vettori colonna).
Ragioniamo con la retta $r$ generata dal solo vettore $\mathbf{v}_1$, ovvero la retta parallela a $r_1$ ma passante per l'origine, ovvero:
\[\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right] = t\mathbf{v}_1\]
(Questo passaggio è bruttino. In pratica facciamo il ragionamento sulla retta traslata nell'origine per poi ritraslare il risultato nel punto $\mathbf{p}_1$. Probabilmente conoscendo la geometria affine si potrebbe procedere in modo più elegante)
Tenendo presente che un piano (che include l'origine) è univocamente identificato dal suo vettore normale, per trovare l'insieme dei piani che contengono la retta $r$ troviamo l'insieme dei vettori ortogonali ad essa:
\[<\mathbf{n},\mathbf{v}_1> = <\left[ \begin{array}{c} n_1 \\ n_2 \\ n_3\end{array}\right],\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]> = -2n_1 + n_2 + n_3 = 0 \]
Da cui si ricava $n_3 = 2n_1 - n_2$.
Un generico vettore ortogonale a $\mathbf{v}_1$ sarà dunque: $\mathbf{n} = [u, w, (2u - w)]^T$ dove $u$ e $w$ sono 2 parametri.
Un generico piano contenente la retta $r$ (generata da $\mathbf{v}_1$) sarà quindi:\[ux + wy + (2u - w)z = 0\]
Per ottenere ora il generico piano che contiene la retta di partenza $r_1$ dobbiamo traslare tale piano del vettore $\mathbf{p}_1 = [-1,0,0]^T$. In questo modo otteniamo il generico piano passante per la retta $r_1$:\[u(x-(-1)) + w(y-0) + (2u - w)(z - 0) = 0 \\ ux + wy + (2u - w)z + u=0\]
A questo punto scegliamo, tra tutti i piani passanti per $r_1$, quello parallelo a $r_2$, ovvero imponiamo che $v_2$ (vettore direttore della retta $r_2$) sia ortogonale al versore normale del generico piano:\[<\mathbf{n},\mathbf{v}_2> = <\left[ \begin{array}{c} u \\ w \\ 2u - w\end{array}\right],\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right]> = 0 \\ \rightarrow u + 2w-2u+w = u-3w = 0\]
Da cui ad esempio $w = 1$ e quindi $u = 3$.
Sostituendo:\[3x + y +(2(3) - 1)z + 3 = 0 \\ \rightarrow 3x + y +5z +3 = 0\]
Volendo la ri-traslazione che abbiamo fatto prima potevamo farla anche qui e si sarebbe ottenuto ugualmente:
\[3(x+1) + y +5z = 0 \\ \rightarrow 3x + y +5z +3 = 0\]
Inoltre, come dicevo prima, convertendo l'equazione parametrica: \[\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] + t\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] + s\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right] \]
Si ottiene lo stesso risultato.
La distanza piano-retta non l'ho calcolata.
Spero di non aver commesso errori!
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