Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno ragazzi,
leggendo su Sernesi pare che il prodotto scalare standard sullo spazio (vettoriale) euclideo $\mathbb{R}^n$ sia definito direttamente sulle $n$-uple di scalari e non sulle loro componenti rispetto a una base. Mi spiego.
Quando si pone
\[\forall x,y\in \mathbb{R}^n,\qquad g_0(x,y):=x_1y_1+\cdots +x_n+y_n\]
chi sono $(x_1,...,x_n)^t$ e $(y_1,...,y_n)^t$? Sono proprio $x$ e $y$ (oppure, che è lo stesso, le $n$-ple delle ...
L'esercizio davanti al quale mi sono arreso e che propongo a voi in cerca di aiuto è il seguente:
Sia [tex]K \subset \mathbb{R}[/tex] l'insieme formato dallo zero e dai numeri della forma [tex]1/n[/tex] con [tex]n=1,2,3,\dots[/tex] Si dimostri che [tex]K[/tex] è compatto, servendosi direttamente della definizione (senza usare il teorema di Heine-Borel).
Usando il teorema di Heine-Borel (che dice che gli insiemi chiusi e limitati in [tex]\mathbb{R}^{k}[/tex] sono compatti) l'esercizio lo riesco ...
Come in oggetto:
devo trovare le equazioni della retta r, luogo dei punti equidistanti da tre punti dati nello spazio.
Avevo pensato di scrivere una reta generica in forma parametrica e poi mettendo a sistema a due a due le varie distanzae diei punti della retta ricavarmi le equazioni da mettere a sistema per trtovare il versore.
Viene obiettivamente troppo complicato e non sono nenache sicuro di dove andrei a parare.
Come potrei fare?
Salve ragazzi,
Con Rouche-Capelli riduco la seguente matrice(sistema lineare Ax=B) per studiare per quali valori del parametro il sistema è compatibile..
( Con R1,R2,R3,R4 indico le righe)
$ ( (2,2-k,1,-1,1),(-6,k+4,4,-4,0),(2,-k,0,0,0),(-6,-4,1,-1,-5) ) $
R2-->R2+3R1
R3-->R3-R1
R4-->R4+R2
$ ( (2,2-k,1,-1,1),(0,-2k+10,7,-7,3),(0,-2,-4,4,0),(0,k,5,-5,-5) ) $
R2-->-R2
R3-->-R3
$( (2,2-k,1,-1,1),(0,2k-10,-7,7,-3),(0,2,4,-4,0),(0,k,5,-5,-5))$
R3-->(2k-10)R3-2R2
R4-->2R4-kR3
$ ( (2,2-k,1,-1,1),(0,2k-10,-7,7,-3),(0,0,8k-26,-8k+26,6),(0,0,10-4k,-10+4k,10) ) $
R4-->(8k-26)R4-(10-4k)R3
$ ((2,2-k,1,-1,1),(0,2k-10,-7,7,-3),(0,0,8k-26,-8k+26,6),(0,0,0,0,10) ) $
Cosa ho sbagliato ? (A parte , per distrazione, il segno dell'elemento in posizione (5,4) )
Come faccio a ...
Salve ragazzi,
ho un dubbio riguardo la seguente cosa:
Ho una matrice $L$ a coefficienti in $F_{q^t}$, vedendo $F_{q^t}$ come spazio vettoriale su $F_q$ ne considero una base $B$.
Adesso, tramite la base $B$, posso vedere gli elementi di $L$ come vettori di $F_{q^t}$ su $F_q$ e li scrivo per componenti in una nuova matrice $H$, che questa volta avrà coefficienti in ...
Data la matrice A=
|-5 0 0 0 |
| 3 -1 0 2|
| 2 0 1 0 |
|-1 4 0 -3|
Si scriva la matrice B della funzione lineare f : U -> U definita da f(v) = Av, rispetto alla base
{u1; u2}, con u1=(0; 1; 0;-1) e u2=(0; 3; 0; 1)
Qualcuno può dirmi come procedere? grazie!
Salve a tutti,non riesco a risolvere il seguente problema di geometria analitica:
Nel piano tridimensionale,determinare le rette che formano angoli uguali con le rette con le rette r1:$\{(x=1),(y=2):}$;
r2:$\{(y=2),(z=3):}$; incidenti r2,non incidenti r1,ortogonali alla retta r3:$\{(x=-z+1),(y=z):}$; e aventi distanza 3 dall'asse y.
Non saprei proprio come impostare la condizione che formino angoli uguali...grazie in anticipo!
http://www.math.unipd.it/~bottacin/esami/20130709A.pdf
qualcuno potrebbe aiutermi a svolgere il primo esercizio del compito?
Non è mai stato svolto un esercizio di questo tipo in classe e non so dove mettere le mani!
Grazie a tutti.
ho la retta r) z=x+2=0 e il piano a) x-y=0
Determinare il piano passante per r e perpendicolare al piano a.
Cosa intende? il piano contenente r perpendicolare ad a? se è cosi non esiste perchè r non è perpendicolare al piano a
vuole allora un qualsiasi piano che passa per r e perpendicolare ad a? se è cosi ci sono infiniti piani perpendicolari ad a e passanti per r poichè r non è ortogonale ad a e quindi incontra tutti i suoi piani ortogonali.
Ciao a tutti,
la domanda è molto veloce, giusto per vedere se ho capito bene.
Sia $ninNN$, sia $rinNN$, $r>=2$, $V_i^n$ $i=1,2..r$ spazi vettoriali reali di dimensione $n$,$V_i^(**)$ e $V_i^(****)$ i duali e i biduali di ciascuno di essi, allora:
1) $X$ è un tensore $r-covariante$ se $X\in V_1^**otimes V_2^**otimes...otimes V_r^** $.
2) $X$ è un tensore $r-controvariante$ se $X\in [V_1^(****)otimes V_2^(****)otimes...otimes V_r^(****) =V_1^n otimes V_2^n otimes...otimes V_r^n]$.
Se ...
salve,
non riesco a risolvere questo esercizio:
Fissato nello spazio un riferimento metrico, si determini la distanza della retta r dalla retta s, essendo:
r : $\{(x+y=1),(x+z=0):}$
s : $\{(x+y=2),(y-z=0):}$
grazie in anticipo
Salve a tutti, ripetendo bene le basi della geometria (spazi vettoriali e applicazioni lineari) mi è sorto un dubbio.
Premetto: dato un generico campo $\mathbb{K}$, si ha che $\mathbb{K}^n$ (con $n \in NN \setminus {0}$) è uno spazio vettoriale. In tal caso risulta evidente che ogni vettore di tale spazio è una ennupla di coordinate a elementi in $\mathbb{K}$, ovvero si ha la rappresentazione seguente:
$v= ((x_1),(\vdots),(x_n)) \forall v \in \mathbb{K}^n$ e con $x_1,...,x_n \in \mathbb{K}$.
Ora, tale notazione si può estendere a ogni ...
Salve a tutti , sono uno studente di Fisica e mi ritrovo a sbattere la testa su un problemino di algebra lineare.
Il problema riguarda l'analisi di un sistema lineare e la sua diagonalizzabilità dipendente da un parametro.
Ora il mio eserciziario , come al solito , non da spiegazioni per i suoi risultati.
Se possibile vorrei una delucidazione su questa uguaglianza:
Molteplicità geometrica= Molteplicità algebrica - rango matrice associata.
Ringrazio tutti in anticipo
Ciao ragazzi una volta che ho trovato la matrice associata devo calcolarmi per quali valori di t esso lo è:
$ ( ( 3 , 3 , 2 , 2+t),( 3 , 3 , 2 , 2+t ),( 2 , 2 , 3 , 3+t ),( 2 , 2 , 3 , 3+t ) ) $
il polinomio caratteristico che mi esce è $ [(3-x)^2-9]*[(3-x)(3+t-x)-(3+t)*3]=0 $
Il passo successivo $[x^2-6x][x^2-x(6+t)]=0$
Tuttavia ogni qualvolta arrivo a questo punto non capisco più cosa devo fare, mi potete dare una mano?
Salve ragazzi,e buone vacanze(per chi non deve studiare)...sono mesi che
sto fermo su questo esercizio,e sto letteralmente impazzendo ,
c'è qualcuno che mi potrebbe dare una mano
soprattutto dal punto di vista pratico ??
Sia data la base
B={ $((1),(0),(1))$ , $((0),(1),(1))$ , $((0),(1),(0))$ }
di R^3 e sia f:R^3--->R^3 l'applicazione lineare definita da
f$((x1),(x2),(x3))$ = $((x1+x2+x3),(x1-x2),(2x2+x3))$
1)si scriva la matrice che rappresenta l'applicazione f rispetto alla base canonica di R^3
nel ...
Salve a tutti, su i miei appunti leggo la seguente osservazione :
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ e sia $f$ un endomorfismo di $V$ allora l'insieme degli autovalori di $f$, denotato con $Sp(f)$ ,è non vuoto.
Tale affermazione non mi sembra vera in generale. Infatti se $f$ non è un automorfismo, preso $v \in Kerf , v!=0_v$ ho che $f(v)=0_V=0_{\mathbb{K}} v$ e quindi almeno $0_{\mathbb{K}} \in Sp(f)$.
E quindi la tesi ...
salve,
avendo una matrice m x n con m =3 e n = 4, il numero di minori di ordine 3 estraibili è 4?
ho applicato la formula delle combinazioni:
C(m,p)*C(n,p) dove p è l'ordine dei minori che voglio estrarre.
grazie in anticipo.
ciao,
che significato ha la seguente scrittura riferita ai sottospazi vettoriali?
U (+ cerchiato, credo sia l'operatore xor) V = R^3
grazie in anticipo.
Mi sapreste dire come si procede nel risolvere il seguente esercizio, non riesco ad arrivarci dal punto di vista logico... come devo procedere per risolvere il problema
Nel piano ́e data la retta r di equazione y = x + 2. Determinare le equazioni delle eventuali rette uscenti dal punto P ≡ (1, 0) e formanti con l’asse delle ascisse e la retta r un triangolo di area 4.
Ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio, non riesco a far venire fuori la soluzione. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Se voi aveste agito in maniera diversa, scrivetelo pure
Stabilire per quali valori del parametro $\alpha\in RR$ la matrice è diagonalizzabile $ A=( ( 1 , 1 , 0 ),( \alpha , 1 , 3 ),( 2 , 2 , 0 ) ) $
ho provato a svolgere così:
la mia idea è calcolo gli autovalori e vedo quando sono distinti tra di loro, perchè se ho autovalori distinti la matrice è ...
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