Base di un sottospazio vettoriale?

[Aron80]

Ciao a tutti, spero di essere al posto giusto
Avrei un dubbio su un esercizio:
Devo fare in modo che
$((-a-b-c),(2a+b+2c),(2a+b+2c))$
Appartenga all'immagine di
Imm {$((0),(0),(1))$, $((0),(1),(1))$}
E ricavarne una base.
Io ho fatto così
Ho costruito la seguente matrice
$((0,0,-a-b-c),(0,1,2a+b+2c),(1,1,2a+b+2c))$
E ho imposto che abbia rango pari a 2. Quindi per a+b+c=0
A questo punto é corretto dire che una possibile base é
Span{[1,0,-1][0,1,-1]????
Grazie

[Peter Pan1]

Ciao Aron80
Scusa ma non ho capito molto bene cosa chieda l'esercizio che hai riportato. Potresti scrivere il testo intero ? Forse riesco a darti una mano .
Ciao!

[Aron80]

Ciao, grazie per l'aiuto. Allora l'esercizio é tutt'altro che di geometria ma la cosa che devo fare é fare in modo che
$ ((-a-b-c),(2a+b+2c),(2a+b+2c)) $
Appartenga all'immagine di
Imm $ ((0),(0),(1)), $$ ((0),(1),(1)) $
E ricavarne una base.
Tu come faresti?

[Peter Pan1]

Ciao Aron
Del tuo esercizio continuo a non capire una cosa. Tu hai questo vettore di $ R^3 $ composto da $ a,b,c $. L'esercizio ti chiede di trovare le condizioni per cui questo appartiene all'immagine di $ ( 0, 0, 1 ), ( 0, 1, 1 ) $. Qua ho il mio dubbio. Cosa intendi per immagine di $ ( 0, 0, 1 ), ( 0, 1, 1 ) $? L'insieme delle combinazioni lineari di quei due vettori? Perchè se si parla di immagine ci dovrebbe essere un'applicazione dietro a tutto questo.
Scusa se continuo a non capire ma per aiutarti (spero ) mi servirebbero questi chiarimenti.
Ciao!

[Aron80]

Grazie mille Peter Pan! É difficile esprimersi in termini matematici hehe!
Comunque si...per immagine intendo una combinazione lineare di quei due vettori.
Vediamo se riesco a spiegarmi meglio. Devo trovare il seguente insieme:
X={[a,b,c] : $ ((-a-b-c),(2a+b+2c),(2a+b+2c)) $ ͼ span$((0),(0),(1))$, $((0),(1),(1))$}

Grazie per la tua infinita pazienza!

[Newton_1372]

Intanto occorre che sia $-a-b-c=0$. Poi che $2a+b+2c=\lambda$ per un qualche $\lambda$ e infine che $2a+b+2c=\delta+\gamma$.
Se vuoi la terza condizione è anche inutile...

[Aron80]

Potresti spiegarmi perche? Io avrei messo solo la 1º condizione (sbagliando evidentemente!)

[Newton_1372]

voglio che quel vettore al primo membro sia combinazione lineare dei due vettori a secondo membro, ovvero che esistano $\alpha_1,\alpha_2$ tali che
$((-a-b-c),(2a+b+2c),(2a+b+2c)) = \alpha_1((0),(0),(1))+\alpha_2 ((0),(1),(1))=((0),(\alpha_2),(\alpha_1+\alpha_2))$. A questo punto non ti rimane che imporre che il sistema in $\alpha_1,\alpha_2$ abbia soluzione: prova a una riduzione a scalini, ovviamente dovrai studiare gli opportuni casi in cui qualcuno di quei coefficienti faccia 0, ogni volta che lo scegli come pivot).

[Newton_1372]

Forse non sono stato chiaro. Considera la matrice associata al sistema lineare scritto sopra
$((0,0,a-b-c),(0,1,2a+b+2c),(1,1,2a+b+2c))$

In realtà esso è già a scala, a meno di qualche scambio di riga...devi imporre che il numero di pivot della matrice incompleta sia uguale a quello della matrice completa

[Peter Pan1]

Ciao Aron
Grazie per aver riscritto il testo. Ora ho capito. La mia risposta è simile a quella di newton nel senso che devi far si che il tuo vettore risulti una combinazione dei due vettori di base che ti vengono assegnati. Questo significa che, se fai una generica combinazione dei due vettori $ delta({: ( 0 ),( 0 ),( 1 ) :})+lambda({: ( 0 ),( 1 ),( 1 ) :}) $, allora devi risolvere il sistema:
$ { ( -a-b-c=0 ),( 2a+b+2c=lambda ),( 2a+b+2c=delta+lambda ):} $.

[Aron80]

Perfetto, grazie mille peterpan! Newton....ciò che mi hai detto equivale a imporre che il rango della matrice associata al sistema sia pari a 2?