Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
vi posto il quesito di un compito d'esame che mi ha messo in difficoltà..
Siano assegnati i vettori:
$w_1$ = (2,1,0,0), $w_2$ = (-1,0,1,0), $w_3$ = (0,0,0,1) $in$ $RR^4$
e il sottospazio V = L($w_1,w_2,w_3$) e l'applicazione lineare f : V $rarr$ $RR^4$ definita mediante le seguenti relazioni:
f (2,1,0,0) = (h,1,0,5);
f (-1,0,1,0) = (-h,0,h,0);
f (0,0,0,1) = (4,h,0,h-1).
Determinare se ...
Ciao a tutti, ho questo esercizio:
Sia $T:R^5->R^4$ definita da ...(ometto perchè inutile ai fini della domanda)...e sia E il sottospazio di $R^5$ generato dai vettori {v1,v2,v3,v4}, calcolare una base per il sottospazio T(E) di $R^4$
Come lo svolgerei:
Trovo $T(E)=T(<v1,v2,v3,v4>)=$per la linearità$=<T(v1),T(v2),T(v3),T(v4)>$ ed "estraggo" quelli linearmente indipendenti.
E' corretto?
Se trovassi i vettori linearmente indipendenti nell'insieme generatore per E(e quindi una base) e ...
Img Non non posso però verificare la continuità attraverso il limite nei punti isolati. Comunque, se \(a\) è isolato mi sembra che segua direttamente la continuità: se \(a \in O \in \tau_{X}\) e \((O\backslash \{a\} )\cap A=\emptyset\) allora \(\{a\}=O\cap A \in \tau_{A}\) e per ogni intorno \(f(a)\in V\in \tau_{Y}\) vale \(\{a\}\subset f^{-1}(V)\) verificando la continuità. Anche 1-3 Heine-Borel mi sembra un po' sintetico.
Ho i punti$ A(1,2,0)$ e $B(1,0,2)$, ora mi calcolo $v(0,-2,2)$ ed ottengo la seguente rappresentazione parametrica:
$x=1$
$y=2-2t$
$z=2t$
ora come faccio a ricavarmi una rappresentazione cartesiana? io ho posto t=z ottenendo:
$x-1=0$
$y-2+2z=0$
$z=0$
$t=z$
qual'è la rappresentazione cartesiana? dove sbaglio?
dati i punti B1 (1,1,0) , B2 (2,0,3) , B3 (2,1,1) e V (3,-1,5) € P2 come faccio a vedere che i loro rappresentanti sono linearmente indipendenti ?
so che non devono essere combinazione lineare gli uni degli altri, ma com'è il procedimento da seguire ?
Sia
\[ \mathcal{S} := \{ A^1, \ldots, A^n\} \]
un set di vettori linearmente indipendenti di \( \mathbb{R}^m \) --spazio vettoriale sul campo dei reali. Allora se invece di prendere scalari reali li prendessi complessi, cioe' se \( \mathbb{R}^m \) fosse in verita' uno spazio vettoriale sul campo dei numeri complessi, allora i vettori in \( \mathcal{S} \) sarebbero ancora linearmente indipendenti?
Credo di si, ma non vorrei farla troppo semplice. D'altro canto se i vettori in \( \mathcal{S} ...
Come da titolo, mi sono andato a cercare un esercizietto carino sull'indipendenza lineare di piu' di due funzioni:
Sia \( V \) lo spazio vettoriale delle funzioni reali continue definite su \( [-\pi, \pi] \). Si definisca il prodotto scalare di \( f, g \in V \) nel modo seguente
\[ \langle f, g \rangle := \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, g(t) \operatorname{d}t \]
Dimostrare che le funzioni
\[ \sin t, \sin 2t, \sin 3t, \ldots, \sin nt \]
sono linearmente indipendenti su \( \mathbb{R} \) ...
Salve a tutti. Ho questo dubbio che mi sta facendo impazzire.
Come da titolo:
Se ho due applicazioni lineari f,g :R3->R3 con uguali immagini (Imf=Img), hanno lo stesso nucleo?
A me verrebbe da dire di no,ma come posso dimostrare la risposta?
Grazie! Illuminatemi
Buongiorno a tutti!
Risolvendo un esercizio sui sistemi lineari mi sono imbattutto in un sistema a 2 equazioni e 3 incognite.
$-x+3y+3z=1$
$3x-9y-9z=-3$
Come cavolo si risolve???
Sinceramente ne ho provata di ogni, alla fine seguendo un esercizio svolto su internet ho provato anche a mettere z uguale ad un parametro t e a calcolare la x e la y in funzione del parametro, ma la soluzione viene diversa da quella del libro!
Il libro da come soluzione $(x,y,1+x-3y)$.
Mi spiegate il ...
Ciao a tutti, riguardando i miei appunti di esercitazione, vi è un metodo usato dal mio esercitatore, che faccio fatica a capire, io avrei fatto un'altro modo, ma vorrei capire il mio esercitatore cosa ha fatto. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Allora il mio esercitatore, prima ce l'ha detto in generale, successivamente ci ha fatto un esempio. Dico quello che ci ha detto in generale
sia
$ V=span\{ul(u_1)=( ( a_1 ),( b_1 ),( c_1 ),(d_1) ), ul(u_2)=( ( a_2 ),( b_2 ),( c_2 ),(d_2) ), ul(u_3)=( ( a_3 ),( b_3 ),( c_3 ) ,(d_4)),ul(u_4)=((a_4),(b_4),(c_4),(d_4))\}\subseteq RR^4 $
Ed ammettiamo che $dim V=2$ (ossia possiamo pensare che solamente i 2 ...
Sto cercando di dimostrare il fatterello seguente, ma ho paura di fare qualche errore di logica.
Siano
\[ \mathbf{v} := \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \, , \mathbf{w} := \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2\]
Se
\[ ad - bc = 0 \]
i vettori \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \) sono linearmente dipendenti.
Mi chiedo se posso sbrigarmela cosi' velocemente:
[list=1]
[*:qnqf0yw3]Se \( a \neq 0 \), scrivo
\[ d = \frac{bc}{a} \]
quindi
\[ \mathbf{w} = ...
Siano dati i due piani in \( \mathbb{R}^3 \):
\[ 2x -y + z = 1 \quad 3x + y + z = 2 \]
Trovare un vettore parallelo all'intersezione dei due piani.
Qualche perplessita': piu' che altro non mi e' chiaro come possa controllare che il risultato trovato sia corretto --non mi viene in mente nessuna prova del nove.
Ad ogni modo: posso vedere il primo piano, per esempio, come
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \; \text{con} \; 2x - y + z = 1\]
cioe', l'insieme di ...
Ragazzi, ho bisogno di un chiarimento,
su "algebra lineare for dummies"
ho trovato questo
" se due vettori v1,v2 costituiscono una base, cambiando il loro ordine si ottiene una base diversa (ricordiamolo: una base è un insieme ordinato di vettori)."
cambiando l'ordine dei vettori della base,lo spazio generato non rimane lo stesso?
Salve a tutti,
perdonatemi per il titolo ma non saprei come/cosa scrivere.. in sostanza ho il seguente teorema :
"Siano dati \(E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), \( F \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_F \) e \( \cdot_F \), \( \{e_1,e_2,...,e_n \} \) una base di \( E \), ed \( \{f_1,f_2,...,f_n \} \) una base di \( F \), ove \( |\{e_1,e_2,...,e_n \} |= k \), allora \( |\{f_1,f_2,...,f_m \}|=k \) implica \( \exists ! f \in ...
Ciao a tutti, ho qualche problema nella risoluzione di una parte di un esercizio di esame...ho già verificato i risultati intermedi quindi passo direttamente alla parte problematica.
In $E^3$ ho la sfera $\Omega) x^2+y^2+z^2+y-z=0$ ed il punto $P(1,0,0)$ che ha rispetto alla sfera potenza 1, quindi è esterno. Devo trovare il cono tangente alla sfera avente per vertice il punto $P$.
Ho considerato la stella di rette per tale punto; una generica retta di ...
Piccolo esercizio disturbante. Trovare il piano passante per
\[ \mathbf{p}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\, \mathbf{p}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\,\, \mathbf{p}_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \]
Un'idea che dovrebbe funzionare e' la seguente: cerco i valori di \( a \), \( b \) e \( c \) tali che valga
\[ ax + by + cz = d \]
e lo faccio andando a risolvere il sistema la cui matrice relativa e'
\[ \left[ \begin{array}{c | c} \mathbf{p}_1^T ...
Ragazzi, avrei bisogno di una mano teorica.
Avrei bisogno di sapere la definizione di determinante in rapporto alle permutazioni su una matrice quadrata di ordine n.
So che il determinante è individuabile in una serie a segni alterni con esponente che è il numero di scambi effettuati, ma sinceramente non capisco la serie da che elementi è formata.
Grazie per le risposte!
B uongiorno a tutti stavo facendo un esercizio su una conica ma credo di sbagliare una cosa allora :
determinare il valore di k per cui ∂ è una parabola degenere. Trovare le equazioni delle rette che compongono ∂
∂ $ x^2+2ky^2+4xy+2x+2ky=0 $
Come prima cosa per avere una parabolo degenere devo avere det(A)=0 e per essere una parabola det(Q)=0
A = $ | ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 2k , k ),( 1 , k , 0 ) | $ per k = 0 e K=2
Q = $ | ( 1 , 2 ),( 2 , 2k ) | $ per K=2
quindi in conclusione per essere una parabola degenere sarà ∂ = ...
Chi mi può aiutare grazie mille
Data la conica ∂ = 4x^2+7y^2+4xy-2√(6)y+1 chi mi aiuta ad portarla alla forma canonica, vi sarei molto grato se allegaste i passaggi
Ho questo problema.
in $RR^3$ si consideri il PS definito come
$x * y = x_2*y_2 + x_3*y_1 + x_1*y_3 AA x,y in RR^3$
determinare la matrice simmetrica $A in RR^(3*3)$ t.c. si abbia
$x*y = x^T A y$
Mi scuso se sto per scrivere delle castronerie.
io so che se hai un prodotto scalare P, definito sullo spazio V e una base di questo $B=(b1,…,bn)$,
la matrice associata a P rispetto a B e' la matrice simmetrica M, di componenti $Mij=P(bi,bj)$.
Quindi devo prendere una base di $RR^3$ e la matrice ...
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