Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti
Non riesco a trovare un buon metodo per dimostrare il seguente enunciato:
"Sia A la matrice associata ad un'applicazione lineare $L: V -> W$ tra due spazi vettoriali di dimensione n, rispetto a basi qualsiasi. La matrice A risulta invertibile se, e solo se, L è un isomorfismo".
Quanto ho pensato io è:
Se L è un isomorfismo, L è un'applicazione iniettiva. Pertanto le immagini dei vettori della base formano una famiglia linearmente indipendente (base di W), e lo stesso ...
Buonasera a tutti, vi pongo un quesito che io faccio fatica a comprendere:
siano V, W, Z IR spazi vettoriali di dim rispettivamente 3, 4, 2. Siano fissate delle basi per V(v1, v2, v3) W(w1,..,w4) e Z(z1, z2). Supponiamo esista un'applicazione lineare $phi$:W->Z e sia definito
S ={ $psi$ $in$ Hom(V,W): $phi$ $psi$ =0}.
Supponiamo che $phi$ abbia matrice B= ${: ( 2 , 0 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , -1 ) :}$, si scriva una base di del sottospazio X di ...
Ciao a tutti,so che per stabilire se un insieme è uno spazio vettoriale devo verificare due condizioni più la condizione necessaria. Mi aiutate un po ?
Condizione necessaria: Affinche S ∈ V sia un sottospazio di V è contenere il vettore nullo
1 condizione = v1 + v2 appartiene ad S
2 condizione = K moltiplicato per v1 appartiene ad S
FINO A QUI TUTTO BENE,MI E' TUTTO CHIARO..
Ho però qualche problema con la risoluzione degli esercizi..vediamo subito un esempio,scrivo come l'avrei risolto ...
Ciao a tutti
Qual è la dimensione di una varietà lineare nella forma $ (a,b,c)+<(x,y,z)> $ ?
Posso ricondurmi ad un unico sottospazio del tipo $<(x',y',z')>$, con opportune sostituzioni, ponendo ad esempio:
$x'=x+a$
$y'=y+b$
$z'=z+c$
ed affermare che la dimensione è quindi quella di $<(x',y',z')>$? Non andrei a cambiare il sottospazio generato in questo modo? Come posso ovviare?
Grazie mille
Salve un esercizio mi dice: fissato nello spazio un riferimento c.m.o ( cartesiano monometrico ortogonale) , si considerino la retta r contenente i punti A(1,1,0) , B(3,2,1) e la retta a contenente i punti C(1,-1,0) e D(3,-1,1) .
Stabilire se le rette sono complanari e in caso lo fossero, determinare l equazione del piano che le contiene;
Determinare una rappresentazione cartesiana per la retta passante per P(-1,0,2), ortogonale e incidente r;
Determinare una rappresentazione cartesiana per la ...
Ciao a tutti
Non riesco a trovare un modo semplice per dimostrare le seguenti affermazioni:
(i) Se il polinomio caratteristico $p(x)$ è completamente riducibile, allora $trA$ è uguale alla somma degli autovalori di $A$, ciascuno contato un numero di volte pari alla sua molteplicità algebrica
(ii) Se il polinomio caratteristico $p(x)$ è completamente riducibile, allora $detA$ è uguale al prodotto degli autovalori di ...
Buon pomeriggio a tutti, volevo proporvi questo esercizio che mi ha acceso un dubbio:
"Sono dati i vettori u = (1; 3; 4) e v = (0; 4; 5); sapendo che sono soluzioni di uno stesso sistema lineare
AX = B, B diverso da 0, scrivere:
(a) una soluzione del sistema omogeneo associato AX = 0;
(b) un'altra soluzione del sistema lineare AX = B"
Allora io alla (a) avrei risposto semplicemente dicendo che una soluzione può essere (0; 0; 0), quella banale. Invece alla (b) avrei risposto tramite una ...
Ciao a tutti ho un problema con questo esercizio: Determinare, al variare di lambda appartenente ad R il seguente sistema lineare
$ { (x+y+lambdaz=1 ),( x-y-lambdaz=0),( x+lambday+z=lambda ):} $
Ho provato più volte a risolverlo con l'eliminazione gaussiana, provando più combinazioni ma niente. In particolare mi ritrovo sempre un lambda+ o - qualcosa nella terza riga, seconda colonna che mi blocca. Potreste aiutarmi? Grazie a tutti in anticipo
Siano $U$ e $W$ due sottospazi di $mathbb(R)^7 $ entrambi di dimensione $5$.
Quali valori può assumere $dim(UnnW)$?
$(1)$
Se la base di $U$ non è combinazione lineare degli elementi della base di $W$, vuol dire che la dimensione di $(U+W)$ è $7$. Ovvero affianco la base di $U$ con quella di $W$, per un totale di $7$ vettori linearmente ...
Salve, ho un problema con questo quesito che devo dimostrare:
A,B$in$$M_{n,n}$(R) non nulle, $A^2$=A e $B^2$=B $\Rightarrow$ det($A*B$)$!=$0
io ho provato in diversi modi, partendo dal fatto che det($A*B$) = det($A$)*det($B$) per Laplace, quindi devo dimostrare che det($A$)*det($B$)$!=$0 ossia det($A$)$!=$0 ...
Salve a tutti, se due matrici simili rappresentano la stessa funzione lineare, ma solo quella rispetto alla base canonica restituisce $ f(v) $ applicando $ v $ , allora quando applico $ v $ alla matrice non in base canonica ottengo un vettore, questo ha qualche relazione con $ f(v) $? C'è qualche modo per risalire a $ f(v) $ partendo dal vettore ottenuto dalla matrice non in base canonica?
Trovare una base ortogonale per $U=Span{( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) \ ,( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) \ ,( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 2 ) ) }$
Chiamo i tre vettori rispettivamente:
$U=Span(Y_1,Y_2,Y_3)$
Verifico che il sistema di generatori di $U$ sia composto da vettori linearmente indipendenti.
Mi accorgo subito che $Y_3=Y_1+Y_2$
una base di $U$ è la seguente $B_U={Y_1,Y_2}={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) \ ,( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) )}$
Procedo con l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt su questi due vettori:
$X_1=Y_1=( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$
$X_2=Y_2-(:X_1,Y_2:)/(:X_1,X_1:) \ \ X_1=( ( -1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 1/2 ) ) $
Quindi una base ortogonale $B'$ di ...
Buonasera, ho un dubbio su questo esercizio:
In R^4 sono dati i seguenti vettori
u1=(1,-1,0,1), u2=(2,1,1,0), u3=(3,0,1,1), u4=(0,1,-1,0)
1)Trovare una base e la dimensione del sottospazio di V di R^4 generato dai vettori u1,u2,u3,u4.
2)Per quali valori di t il vettore v=(1,-1,2t-8,t+1).
3)Per i valori di t trovati, determinare le componenti di v rispetto alla base di V.
Allora nel primo quesito non ho avuto problemi, ho trovato la base (u1,u2,u4) e la dimensione che è 3.
Il mio problema è sul ...
Salve a tutti, premetto che sto approcciando da poco i numeri complessi e li trovo molto eleganti, mi chiedevo:
dato un numero complesso $z=a+bi$
questo può essere espresso in forma trigonometrica richiamando i teoremi sui triangoli rettangoli
$z=\rho*(cos\theta +i*sin\theta)$
con la formula di Taylor dovrebbe dimostrarsi che
$rho*(cos\theta +i*sin\theta)=e^(\theta*i)*\rho$
da cui la celeberrima identità per $\theta=pi$
$e^(i pi)+1=0$
(tutto corretto?)
a questo punto mi chiedo, se si volesse passare al logaritmo naturale ...
salve ragazzi questo esercizio è composto da due punti:
Assegnato l'endomorfismo:
$ f_h : (x; y; z) in RR^3 ->(2x-y ; hx+(3-h)y+hz ; y+2z) in RR^3 , h in RR $
a) Determinare gli autovalori di fh e i valori di h tali che
fh sia diagonalizzabile.
RISPOSTA: Gli autovalori sono
$ k_1 = 2 $ e $ k_2 = 3 -h $.
$f_h$ è diagonalizzabile per $ h = 0 $.
b) Determinare i valori del parametro h tali che
$dim(Kerf_h) = 1 $. RISPOSTA: h = 3.
Allora io con gli autovalori mi trovo, ma col fatto che è diagonalizzabile ...
Salve a tutti, avrei il seguente esercizio:
Sia $V$ lo spazio dei vettori liberi, e siano $v_1 ; v_2 ; v_3$ vettori linearmente indipendenti. sia $f in End(V)$ definito da:
$f(v_1)=v_2 + 2v_3 ; f(v_2)= v_3 + 2v_1 ; f(v_3)=f(v_1) - f(v_2)$
descrivere $ ker(f) $ e $ Im(f) $ determinandone la dimensione e una base. E questo dovrei averlo fatto. Chiede inoltre di determinare autovalori e autovettori e discuterne la diagonalizzabilità.
Io avrei trovato gli autovalori: ${ (1-sqrt5)/2 ; 0 ; (1+sqrt5)/2 }$ , poi però sono in ...
Sia $A$ una matrice reale simmetrica $3x3$. Sapendo che gli autovalori reali di $A$ sono $lambda=3$ e $lambda=4$ e che $V_3={X in mathbb(R)| x+2y=0 }$, determinare una rappresentazione cartesiana di $V_4$.
($V_3$ e $V_4$ sono gli autospazi associati ai rispettivi autovalori 3 e 4.
Devo ricostruire la matrice A basandomi sui dati che ho a disposizione, penso.
Ma essendo una 3x3 simmetrica ed avendo solo due autovalori ...
Ciao a tutti,
Le 5 matrici da verificare le chiamo B C D E F (in ordine da sinistra a destra).
Vorrei avere una vostra opinione su questo esercizio, secondo i miei conti solamente la matrice B è simile ad A.
Saluti
un segmento orientato è un vettore applicato? mentre un vettore libero è una classe di equivalenza di vettori applicati o segmenti orientati? o sto facendo confusione?
Ciao ragazzi
ho una domanda inerente l'argomento da me posto in titolo.
Supponiamo di avere uno spazio vettoriale $ V $ in cui ho posto come base
$ A = < (1,-1,0),(0,-2,-1),(4,-1,1) > $
e un altro spazio $ W $ con base la canonica
$ C = < (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) > $
Creo ora un'applicazione lineare $ f: V -> W $ tale che $ f(a1) = a3 , f(a2) = 2a3 , f(a3) = 0 $ , con $ a1 , a2 , a3 $ vettori della base $ A $
Banalmente, la matrice di questa applicazione lineare rispetto le due basi sarà ...
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