Determinare Autospazio

[shiva28]

Sia $A$ una matrice reale simmetrica $3x3$. Sapendo che gli autovalori reali di $A$ sono $lambda=3$ e $lambda=4$ e che $V_3={X in mathbb(R)| x+2y=0 }$, determinare una rappresentazione cartesiana di $V_4$.
($V_3$ e $V_4$ sono gli autospazi associati ai rispettivi autovalori 3 e 4.

Devo ricostruire la matrice A basandomi sui dati che ho a disposizione, penso.
Ma essendo una 3x3 simmetrica ed avendo solo due autovalori reali, non capisco come fare.

Dall'autospazio $V_3$ deduco che la prima riga di $A-lambda I$ deve essere composta da $(4-lambda,2,0)$, giusto?

Saluti

[Pappappero1]

Non ti serve determinare l'intera matrice (in effetti immagino che non sia univocamente determinata).

Cosa ti dice la teoria a proposito degli autospazi di una matrice simmetrica? Dai dati che hai, cosa puoi dedurre sulle molteplicita' algebriche e geometriche degli autovalori?

[shiva28]

"Pappappero":Non ti serve determinare l'intera matrice (in effetti immagino che non sia univocamente determinata).

Cosa ti dice la teoria a proposito degli autospazi di una matrice simmetrica? Dai dati che hai, cosa puoi dedurre sulle molteplicita' algebriche e geometriche degli autovalori?

"Se A è simmetrica, autovettori (reali) $x_1 , . . . , x_k$ relativi ad autovalori distinti rispettivamente $λ_1,...,λ_k$ sono a due a due ortogonali."

Quindi devo trovare una base, ortogonale alla base dell'autospazio $V_3$?

[Pappappero1]

Esatto, l'idea e' quella.

Quale e' la dimensione di $V_3$? E, una volta che sappiamo la dimensione di $V_3$, quale e' la dimensione di $V_4$? Quindi come possiamo fare per trovare immediatamente una base per $V_4$? E una volta che abbiamo una base (e soprattutto in questo caso particolare), come possiamo determinare una rappresentazione cartesiana?

[shiva28]

"Pappappero":Quale e' la dimensione di $V_3$?

Una base di $V_3$ è la seguente: $B_(V_3)={( ( -2 ),( 1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) }$ quindi la dimensione di $V_3$ è 2.
La dimensione di $V_4$ deve essere 1 giusto? perchè così riesco a costruire la matrice ortogonale M composta dai vettori colonna delle basi $B_(V_3)$ e $B_(V_4)$.
Per trovare $B_(V_4)$ applico l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt ai due vettori della base $B_(V_3)$?

Una volta che ho la base, ho l'equazione parametrica e da essa ricavo l'equazione cartesiana eliminando il parametro.

[Gi81]

Anche senza Gram-Schmidt. Sia $(x,y,z)$ un vettore non nullo di $V_4$.
Allora $(x,y,z)*(-2,1,0)=0$ e $(x,y,z)*(0,0,1)=0$, da cui ${(-2x+y=0),(z=0):}=> {(y=2x),(z=0):}$

Dunque il vettore è $(1,2,0)$

[shiva28]

Grazie Gi8 e grazie Pappappero per avermi fatto ragionare

[shiva28]

"Gi8":Anche senza Gram-Schmidt.$

Una curiosità Gi8, Gram-Schmidt non avrei potuto applicarlo in questo caso, giusto?
Perchè mi manca il terzo vettore della base di partenza.

[Gi81]

"Polar28":Gram-Schmidt non avrei potuto applicarlo in questo caso, giusto?
Perchè mi manca il terzo vettore della base di partenza.

Beh, come terzo vettore prendi un qualsiasi vettore che sia linearmente indipendente da $(-2,1,0)$ e $(0,0,1)$ e poi puoi applicare Gram-Schmidt

[shiva28]

Giusto grazie