Geometria e Algebra Lineare

Domende di teoria 1) Quanti tipi di dimensione esistono? (Dimensione della matrice? Dimensione dello spazio vettoriale? Dimensione del sottospazio vettoriale? Dimensione del nucleo? Dimensione dell'immagine? Dimensione per lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo?) 2) Quali di queste dimensioni coincidono con il rango della matrice corrispondente? ho notato che in alcuni esercizi rango e dimensione sono uguali, in altri no. Chi può spiegarmi tutto nei dettagli?

Ciao, ho questo esercizio: Considerato il sottoinsieme di \(\displaystyle M_2(R) \) \(\displaystyle W \)=${A in M_2(R) | a-2b=0; b-1/2d=0}$ dire se W è sottospazio di \(\displaystyle M_2(R) \) ed in caso affermativo se ne calcoli la dimensione. Ora, svolgendo il sistema dato dalle due equazioni so che W è definito da tutte le matrici della forma $ ((d,1/2d), (c,d))$ Per trovare la dimensione cosa faccio? Posso concludere che è di dimensione 2 in quanto la matrice è definita da due "parametri liberi", cioè c e ...

Ciao a tutti, Ho una domanda molto semplice su un punto di un esercizio che sto svolgendo. Il testo è il seguente: Sia $W$ e $U$ sottospazio di $RR^4$. Sia $W$ definito da $W= {(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 : x_1+x_2-x_3=0}$ e sia $dimU=2$ -Calcolare dimensione $W$ -Può essere $RR^4=U o+ W$ Tentativo di risoluzione: Ho già eliminato tutte le richieste dell'esercizio di cui sono sicuro del risultato e che ho già svolto. Non sono sicuro se la ...

questa è la matrice $ ( ( 1 , 3 , 1 ),( 3 , 9 , 3 ),( 1 , 3 , 1 ) ) $ calcolare la molteplicità geometrica per $\lambda=1 $ molteplicità geometrica$(1)= n - rango(A-\lambdaId)$

in pratica ho U=L(-1,-1,3,0),(0,0,1,-1),(1,1,-2,-1) W={(x,y,z,t) €R^4 : 3x+z+t=0,x+y+z=0} determinare una rappresentazione cartesiana di U+W Ho svolto così: Base di U=[(-1,-1,3,0)] W:{3x+z+t=0 x+y+z=0} x,z parametri {t=-3x-z y=-x-z (x,-x-z,z,-3x-z) per x=1 e z=0 (1,-1,0,-3) per x=0 e z=1 (0,-1,1,-1) Base di W=[(1,-1,0,-3),(0,-1,1,-1)] Bu+W= $ | ( -1 , -1 , 3 , 0 ),( 1 , -1 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ) | $ dim(U+W)=3 B(U+W)=[(-1,-1,3,0),(1,-1,0,-3),(0,-1,1,-1)] poi per trovare la rappresentazione cartesiana come devo fare? cioè ...

Sia data la curva $\gamma (t) = (t+1, 2pi+t,t^2-3)$ trovare il piano che la contiene e dire se è parallelo all'asse $z$ Potete spiegare passo passo come si procede? Grazie in anticipo.

Ciao a tutti! Mi sono appena iscritto, ma seguo questo forum da un po' e devo dire di aver trovato più di qualche aiuto in altri post Allora, questo è l'esercizio: Sia V lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali. Sia \( U\subset V \) il sottospazio formato dalle matrici A tali che il vettore $(1, -2)$ appartenga al nucleo di A. Sia \( W\subset V \) il sottospazio formato dalle matrici B tali che l'immagine di B sia contenuta nella retta ...

Sia $A$ una matrice $nxn$ tale che $A^2 + I = 0$. Provare che $n$ è pari Ho provato a risolvere così: Per avere come risultato la matrice nulla, $A^2$ dovrà essere necessariamente $((-1,0),(0,-1))$ quindi impongo che: $A$ $((a,b),(c,d))$ * $A$ $((a,b),(c,d))$ = $((-1,0),(0,-1))$ quindi ottengo il seguente sistema ...

$f(1,2,-1)=\lambda(2,4,-2)$ qual è l'autovalore associato al vettore $ (1,2,-1) $ ? è $1/2$ ?

Ho il piano $pi: y-z=0$ dunque so che $\vec v=(0,1,-1)$ è il vettore perpendicolare al piano, inoltre so che il punto $P_0=(0,1,1) in pi$ Avevo pensato che la parametrica sarebbe potuta essere la retta passante per $P_0$ e avente come vettore parallelo $\vec c$ ottenendo così: $r:{(x=0), (y=1+t), (z=1-t):}$ Invece la soluzione non coincide con quella del libro che tira fuori, non so da dove, un secondo punto $P_1=(1,0,0)$ non fornito dai dati e quindi calcolato in qualche ...

per λ=0 ho : $ { ( x+3y+z=0 ),( 3x+9y+3z=0 ),( x+3y+z=0 ):} $ quindi ho la stessa equazione in tutte e tre le equazioni, cioè $ x+3y+z=0 $ come procedo? quali sono gli autovettori? e gli autospazi?

Ciao a tutti, mi sono bloccata su questo esercizio, qualcuno può aiutarmi per favore? grazie "Sia $<,> : RR^3->RR^3$ il prodotto scalare (definito positivo) definito da: $ <((x_1),(x_2),(x_3)) , ((y_1),(y_2),(y_3))> = (x_1, x_2, x_3) ((2,0,-2),(0,2,0),(-2,0,4)) ((y_1),(y_2),(y_3)) $ 1) determinare una base del complemento ortogonale del sottospazio S di $(RR^3, <,>)$ generato da $((1),(0),(-1))$ 2) Sia $f$ l'endomorfismo di $RR^3$ definito da $ f((x_1),(x_2),(x_3)) = ((x_1 +x_2),(x_1+2x_2),(x_3))$ stabilire se $f$ è un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare sopra ...

Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate aventi lo stesso rango. E' vero che $rank(A^2) = rank(B^2)$? Per risolvere un esercizio del genere ho bisogno di conoscere determinate proprietà o posso arrivarci con semplici passaggi? Sicuramente sarà semplice, ma non so proprio come ragionare. Io ho iniziato a svolgere l'esercizio in questo modo: Sia $A= ((a,b),(c,d))$ quindi $A^2= ((a^2+bc,ab+bd),(ac+cd,bc+d^2))$ e sia $B= ((x,y),(z,t))$ quindi $B^2= ((x^2+yz,xy+yt),(xz+zt,zy+t^2))$ Però arrivato a questo punto, non ...

Salve a tutti, ho una matrice $ 3x3 $ e ho calcolato gli autovalori tramite il metodo di Sarrus. $ - \lambda^3 + \lambda^2 = 0 $ cioè $ \lambda^3 - \lambda^2 = 0 $ cioè $ \lambda^2 (\lambda -1) = 0 $ i due autovalori trovati sono: $ \lambda = 0 $ e $\lambda = 1 $ ora come si calcola la molteplicità algebrica?

Ciao a tutti, qualcuno per caso può chiarirmi un dubbio su questo esercizio, per favore? " Discutere l’esistenza e unicità di applicazioni lineari $f_h: RR^2->RR^3$ tali che: $f_h ((1),(1)) = ((1),(0),(0))$ $f_h ((h),(1)) = ((0),(1),(2))$ $f_h ((h-1),(0)) = ((-1),(1),(h))$ con $h$ parametro reale". __ Solitamente per discutere l'esistenza ed unicità calcolo il determinante per verificare che i vettori siano linearmente indipendenti, ma dato che mi verrebbe una matrice 2x3 non posso farlo; quindi devo accoppiarli due a ...

Un esercizio chiede di trovare gli autovalori di $ f $ dati vettori $ v_1=(1,1,1) $ , $ v_2=(2,0,1) $, $ v_3=(1,1,3) $, e con $ f(v_1)=3v_1 $, $ f(v_2)=2v_2 $, e $ f(v_3)=2v_3+2v_2 $. Ora la matrice rispetto alla base $ {v_1,v_2,v_3} $ è $D= ((3,0,0),(0,2,2),(0,0,2)) $ E l'esercizio conclude dicendo che poiché D é triangolare superiore gli autovalori sono quelli della diagonale. Ma è stato detto nella consegna che $ f(v_3)=2v_3+2v_2 $ ma allora come fa 2 a essere autovalore di ...

Ciao ragazzi,sto cercando di risolvere degli esercizi relativi agli autovalori ma mi sono bloccato quasi alla fine dell'esercizio..Chi mi aiuta? Allora,ho la matrice: A= [ 0 1 1 ] 1 0 1 1 1 0 - Il primo passaggio che faccio è quello di sottrarre λ alla diagonale principale della matrice A..Pertanto: Aλ = [ 0-λ 1 1 ] 1 0-λ 1 1 1 0-λ - Poi,calcolo il determinante della matrice Aλ. |Aλ| = - λ^3 + 3λ + 2 Ed ecco il ...

Ciao ragazzi..ho due domande da porvi che non mi sono molto chiare. 1) Dati i tre vettori di R^3 descrivere quando è possibile - v1 come combinazione lineare di v2 e v3 - v2 come combinazione lineare di v1 e v3 v1 ≡ (1, −3, 7), v2 ≡ (2, −1, −1), v3 ≡ (0, 0, 0) Ho verificato che i tre vettori risultano linearmente dipendenti ma ora come procedo ? 2) Come capire se i vettori sono o meno un sistema di generatori? Mi serve qualche input per la risoluzione..chi è così gentile da aiutarmi?

Ho trovato un esercizio in cui si pone la seguente uguaglianza: $ | ( 2-x , 3 , 1 , 2 ),( 3 , 2-x , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 3-x , 2 ),( 0 , 0 , 2 , 3-x ) | = |(2-x , 3),(3, 2-x)|*|(3-x,2),(2,3-x)| $ Come e a quali condizioni si può scomporre in questo modo un determinante in un prodotto di determinanti?

Allego la foto dell'esercizio in questione con anche la risoluzione del primo punto cui riguarda la mia domanda: Chiarissimo perchè si possa risolvere così, ma non capisco perché sia sbagliato il seguente metodo che ho usato io: come si vede dalla foto ho calcolato il polinomio caratteristico tenendo il parametro t e imponendo che uno degli autovalori $ lambda $ fosse uguale a -7. In tal caso come si vede in figura risulta $ t=9/2 $ e però così effettivamente l'autospazio ...