Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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in pratica ho U=L(-1,-1,3,0),(0,0,1,-1),(1,1,-2,-1)
W={(x,y,z,t) €R^4 : 3x+z+t=0,x+y+z=0} determinare una rappresentazione cartesiana di U+W
Ho svolto così:
Base di U=[(-1,-1,3,0)]
W:{3x+z+t=0
x+y+z=0} x,z parametri
{t=-3x-z
y=-x-z
(x,-x-z,z,-3x-z)
per x=1 e z=0
(1,-1,0,-3)
per x=0 e z=1
(0,-1,1,-1)
Base di W=[(1,-1,0,-3),(0,-1,1,-1)]
Bu+W= $ | ( -1 , -1 , 3 , 0 ),( 1 , -1 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ) | $
dim(U+W)=3
B(U+W)=[(-1,-1,3,0),(1,-1,0,-3),(0,-1,1,-1)]
poi per trovare la rappresentazione cartesiana come devo fare? cioè ...
Sia data la curva $\gamma (t) = (t+1, 2pi+t,t^2-3)$ trovare il piano che la contiene e dire se è parallelo all'asse $z$
Potete spiegare passo passo come si procede?
Grazie in anticipo.
Ciao a tutti! Mi sono appena iscritto, ma seguo questo forum da un po' e devo dire di aver trovato più di qualche aiuto in altri post
Allora, questo è l'esercizio:
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali.
Sia \( U\subset V \) il sottospazio formato dalle matrici A tali che il vettore $(1, -2)$ appartenga al nucleo di A.
Sia \( W\subset V \) il sottospazio formato dalle matrici B tali che l'immagine di B sia contenuta nella retta ...
Sia $A$ una matrice $nxn$ tale che $A^2 + I = 0$. Provare che $n$ è pari
Ho provato a risolvere così:
Per avere come risultato la matrice nulla, $A^2$ dovrà essere necessariamente $((-1,0),(0,-1))$
quindi impongo che: $A$ $((a,b),(c,d))$ * $A$ $((a,b),(c,d))$ = $((-1,0),(0,-1))$
quindi ottengo il seguente sistema ...
$f(1,2,-1)=\lambda(2,4,-2)$
qual è l'autovalore associato al vettore $ (1,2,-1) $ ?
è $1/2$ ?
Ho il piano $pi: y-z=0$ dunque so che $\vec v=(0,1,-1)$ è il vettore perpendicolare al piano, inoltre so che il punto $P_0=(0,1,1) in pi$
Avevo pensato che la parametrica sarebbe potuta essere la retta passante per $P_0$ e avente come vettore parallelo $\vec c$
ottenendo così:
$r:{(x=0), (y=1+t), (z=1-t):}$
Invece la soluzione non coincide con quella del libro che tira fuori, non so da dove, un secondo punto $P_1=(1,0,0)$ non fornito dai dati e quindi calcolato in qualche ...
per λ=0
ho : $ { ( x+3y+z=0 ),( 3x+9y+3z=0 ),( x+3y+z=0 ):} $
quindi ho la stessa equazione in tutte e tre le equazioni, cioè $ x+3y+z=0 $
come procedo? quali sono gli autovettori? e gli autospazi?
Ciao a tutti, mi sono bloccata su questo esercizio, qualcuno può aiutarmi per favore? grazie
"Sia $<,> : RR^3->RR^3$ il prodotto scalare (definito positivo) definito da:
$ <((x_1),(x_2),(x_3)) , ((y_1),(y_2),(y_3))> = (x_1, x_2, x_3) ((2,0,-2),(0,2,0),(-2,0,4)) ((y_1),(y_2),(y_3)) $
1) determinare una base del complemento ortogonale del sottospazio S di $(RR^3, <,>)$ generato da $((1),(0),(-1))$
2) Sia $f$ l'endomorfismo di $RR^3$ definito da
$ f((x_1),(x_2),(x_3)) = ((x_1 +x_2),(x_1+2x_2),(x_3))$
stabilire se $f$ è un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare sopra ...
Siano $A$ e $B$ due matrici quadrate aventi lo stesso rango. E' vero che $rank(A^2) = rank(B^2)$?
Per risolvere un esercizio del genere ho bisogno di conoscere determinate proprietà o posso arrivarci con semplici passaggi?
Sicuramente sarà semplice, ma non so proprio come ragionare.
Io ho iniziato a svolgere l'esercizio in questo modo:
Sia $A= ((a,b),(c,d))$ quindi $A^2= ((a^2+bc,ab+bd),(ac+cd,bc+d^2))$
e sia $B= ((x,y),(z,t))$ quindi $B^2= ((x^2+yz,xy+yt),(xz+zt,zy+t^2))$
Però arrivato a questo punto, non ...
Salve a tutti,
ho una matrice $ 3x3 $ e ho calcolato gli autovalori tramite il metodo di Sarrus.
$ - \lambda^3 + \lambda^2 = 0 $
cioè
$ \lambda^3 - \lambda^2 = 0 $
cioè
$ \lambda^2 (\lambda -1) = 0 $
i due autovalori trovati sono:
$ \lambda = 0 $
e
$\lambda = 1 $
ora come si calcola la molteplicità algebrica?
Ciao a tutti, qualcuno per caso può chiarirmi un dubbio su questo esercizio, per favore?
" Discutere l’esistenza e unicità di applicazioni lineari $f_h: RR^2->RR^3$ tali che:
$f_h ((1),(1)) = ((1),(0),(0))$
$f_h ((h),(1)) = ((0),(1),(2))$
$f_h ((h-1),(0)) = ((-1),(1),(h))$
con $h$ parametro reale".
__
Solitamente per discutere l'esistenza ed unicità calcolo il determinante per verificare che i vettori siano linearmente indipendenti, ma dato che mi verrebbe una matrice 2x3 non posso farlo; quindi devo accoppiarli due a ...
Un esercizio chiede di trovare gli autovalori di $ f $ dati vettori $ v_1=(1,1,1) $ , $ v_2=(2,0,1) $, $ v_3=(1,1,3) $, e con $ f(v_1)=3v_1 $, $ f(v_2)=2v_2 $, e $ f(v_3)=2v_3+2v_2 $.
Ora la matrice rispetto alla base $ {v_1,v_2,v_3} $ è $D= ((3,0,0),(0,2,2),(0,0,2)) $
E l'esercizio conclude dicendo che poiché D é triangolare superiore gli autovalori sono quelli della diagonale.
Ma è stato detto nella consegna che $ f(v_3)=2v_3+2v_2 $ ma allora come fa 2 a essere autovalore di ...
Ciao ragazzi,sto cercando di risolvere degli esercizi relativi agli autovalori ma mi sono bloccato quasi alla fine dell'esercizio..Chi mi aiuta?
Allora,ho la matrice:
A= [ 0 1 1 ]
1 0 1
1 1 0
- Il primo passaggio che faccio è quello di sottrarre λ alla diagonale principale della matrice A..Pertanto:
Aλ = [ 0-λ 1 1 ]
1 0-λ 1
1 1 0-λ
- Poi,calcolo il determinante della matrice Aλ.
|Aλ| = - λ^3 + 3λ + 2
Ed ecco il ...
Ciao ragazzi..ho due domande da porvi che non mi sono molto chiare.
1) Dati i tre vettori di R^3 descrivere quando è possibile
- v1 come combinazione lineare di v2 e v3
- v2 come combinazione lineare di v1 e v3
v1 ≡ (1, −3, 7), v2 ≡ (2, −1, −1), v3 ≡ (0, 0, 0)
Ho verificato che i tre vettori risultano linearmente dipendenti ma ora come procedo ?
2) Come capire se i vettori sono o meno un sistema di generatori?
Mi serve qualche input per la risoluzione..chi è così gentile da aiutarmi?
Ho trovato un esercizio in cui si pone la seguente uguaglianza:
$ | ( 2-x , 3 , 1 , 2 ),( 3 , 2-x , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 3-x , 2 ),( 0 , 0 , 2 , 3-x ) | = |(2-x , 3),(3, 2-x)|*|(3-x,2),(2,3-x)| $
Come e a quali condizioni si può scomporre in questo modo un determinante in un prodotto di determinanti?
Allego la foto dell'esercizio in questione con anche la risoluzione del primo punto cui riguarda la mia domanda:
Chiarissimo perchè si possa risolvere così, ma non capisco perché sia sbagliato il seguente metodo che ho usato io:
come si vede dalla foto ho calcolato il polinomio caratteristico tenendo il parametro t e imponendo che uno degli autovalori $ lambda $ fosse uguale a -7. In tal caso come si vede in figura risulta $ t=9/2 $ e però così effettivamente l'autospazio ...
Salve a tutti, sto preparando l'esame di geometria analitica e vorrei chiedervi come non andare nel pallone da un certo punto in poi. La traccia del problema è la seguente:
Nel piano cartesiano sono dati i due punti A(2;1) e B(-2;0). Torva le coordinate di altri due punti: C e D, appartenenti alla retta AB.
Ecco il mio svolgimento:
A(2 x1; 1 y1) B(-2 x2; 0 y2) C? D?
y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1
y-1/0-1=x-2/-2-2
y-1/-1=x-2/-4= ... Da qui in poi non riesco ad andare avanti.
Vi ringrazio tanto ...
salve, esercitandomi in algebra lineare e geometria mi sono imbattuto in un esercizio in cui:
dato i sottospazi U={(x,y,z,t) €R^4 : -3x+4z+t=0,y=0}
Wh={(h,1,-h,-2),(-1,0,0,h)}
V={(1,3,,8,11),(11,13,2,6)} trovare a) una base e una dimensione di U ( e credo di averlo sbagliato);
b) trovare i valori di h per cui Wh=V ( mi trovo h=3 ma non sono sicuro sia fatto bene);
c) trovare i valori di h per cui ( 1,4,9) appartenga a 2 ( mi trovavo 2)
Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere ? grazie mille
Ciao a tutti,mi sono imbattuto in questo esercizio che penso sia proprio stupido eppure non ho capito il procedimento..Chi mi da una mano?
Scrivere un vettore w ∈ R linearmente dipendente dal vettore v ≡ (1, 3, −4, 2).
So che per essere linearmente dipendente deve avere altre soluzioni a quella nulla..Ma non so come procedere,grazie
Ciao ragazzi,avrei un dubbio per quanto riguarda un esercizio sulla dimensione dell'intersezione di due sottospazi affini.
Ho infatti questi due sottospazi affini:
\(\displaystyle M = (0,3,-2,-1) + L[ (1,2,-1,-2) ] \)
\(\displaystyle F= (-1,4,-3,0) + L[ (1,2,-1,-2) ] \)
Questi due sottospazi hanno la stessa direzione,quindi sono paralleli.
Per questo quindi
\(\displaystyle M \)$nn$\(\displaystyle F = 0 \)
Giusto?
Però non ho capito perchè, se si seguisse il procedimento ...
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