Geometria e Algebra Lineare

Salve sono nuovo del forum, vi allego tre esercizi di geometria, potete gentilmene spiegarmi passo per passo come risolverli? grazie mille 1) Determinare per quali valori del parametro reale t la matrice (3x3) A(t) = $((t-2,2,2),(0,t+2,0),(0,2,t^2 -4))$ non ha tre autovalori reali a due a due distinti tra loro. Inoltre, per ognuno di tali valori, scrivere gli autovalori distinti di A(t). 2) Trovare una base per lo spazio U(w, x, y, z) delle soluzioni del sistema lineare omogeneo: w – 2y = w – x + 2y + 3z ...

ciao a tutti, il mio problema è, credo, semplice, ma non riesco a capire comunque come fare. Come posso, data l'equazione di un piano con relativi parametri a,b,c,d, individuare il verso della normale uscente dal piano stesso? Come capire se ho a che fare con n1 o con n2? Grazie

Salve, ho una situazione in cui devo capire per quali valori del parametro $k$ il seguente sistema di equazioni lineari ammette una unica soluzione: $ { ( kx + 5y = 4 ),( 4x + (k+1)y = -1 ):} $ E' possibile trovare la soluzione senza ricorrere al teorema di Rouchè-Capelli? Se si come si può fare? Ho provato a ridurre in scala con Gauss la matrice associata completa e mi viene (salvo errori di calcolo): $ { ( x = - k/4 ),( y = (16 + k) / (20 - k^2 - k) ):} $ però a questo punto non so che fare. Grazie

Devo trovare l'equazione della retta incidente l'asse $z$ e la retta $r:{(x+y-z+2=0),(2x-3z+1=0)}$ e passante per il punto $A(1,-2,3)$

Ciao ragazzi,mi sono imbattuto in due esercizi e non so se la procedura che ho adottato è corretta...Qualcuno mi aiuta? 1) Dati 3 vettori determinare la dimensione copertura lineare. Io ho pensato di agire in questo modo: ho i tre vettori li dispongo per riga o per colonna e successivamente calcolo il rango. Il risultato è la mia dimensione ? 2) Data una base di B e di uno spazio vettoriale V determinare le coordinate di un particolare vettore o del generico vettori di V rispetto alla base ...

Ciao a tutti, volevo chiedere un aiuto per risolvere questo esercizio. Data la forma quadratica g:$RR$ $rarr$ $RR^3$ definita da g($x_1$ , $x_2$ , $x_3$)=3$x_1^2$ +2$x_1$ $x_2$ -10$x_1$ $x_3$ -4$x_2$ $x_3$+ 8$x_3^2$ : 1. Si scriva la matrice simmetrica A che rappresenta g rispetto alla base canonica di $RR^3$ . 2. Si ...

Ciao Ho un dubbio sulla dimostrazione di due enunciati, in particolare sul secondo: (i) Siano $u1$ e $W$ rispettivamente un vettore e un sottospazio di uno spazio vettoriale $V$. Se il vettore nullo è contenuto nella varietà lineare $u+W$, allora $u+W$ è un sottospazio. (ii) Siano $u1$ e $u2$ vettori di $V$ e $W$ un sottospazio di $V$. Se $u1+W=u2+W$, ...

Buongiorno a tutti. Vorrei una mano con il seguente esercizio, per capire se ho ragionato in modo corretto oppure no. Discutere, al variare del parametro k, il seguente sistema lineare di 4 equazioni in 3 incognite, determinandone le soluzione nei casi in cui è compatibile. $ { ( a-4b+(2k-1)c=2k-1 ),( a+b-c=1 ),( 2a-3b+2c=0 ),( 3a-2b+(2k-1)c=2k-1 ):} $ $ A=( ( 1 , -4 , 2k-1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , -3 , 2 ),( 3 , -2 , 2k-1 ) ) $ Allora, per prima cosa devo capire quando è compatibile. La matrice incompleta A associata ha, al più, rango uguale a 3, dunque, per qualsiasi valore di k, il sistema è non ...

Ci sono un paio di esercizi che non mi riescono, uno di algebra lineare e uno di geometria. Quello di algebra è: Sia V lo spazio dei vettori liberi e siano v1, v2, v3 appartenenti a V linearmente indipendenti; sia f appartenente a End(V) definito da: $f(v1)= v2 + v3 ; f(v2)= v3 + 2v1 ; f(v3)= f(v1) - f(v2) $ Descrivere ker f e Im f determinandone una dimensione e una base. Determinare inoltre autovalori e autovettori di f e discuterne la diagonalizzabilità. Allora il ker f penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi ...

Salve a tutti ragazzi non riesco a capire come svolgere la seguente tipologia di esercizio.. Sia S lo spazio delle soluzioni dell'equazione : x-y-z=0 e T lo spazio delle soluzioni dell'equazione : 2x+y-2z=0 Determinare la dimensone e una base di S, di S intersecato T , e di S+T, stabilire se S e T sono supplementari e/o complementari Ragazzi il concetto di sommma e di intersezione di sottospazi praticamente come avviene? E poi ancora non riesco a trovare niente su internet che mi aiuti ...

Salve Non ho ben afferrato questa frase: " Un qualunque operatore lineare,rappresentabile attraverso un opportuna matrice dopo aver scelto una base, può essere rappresentato nella notazione di Dirac come: $ A=sum_(i,j)|e_i>A_(ij)<e_j| $ Cioè come può un operatore e quindi una matrice essere equivalente alla precedente espressione?? Alla destra ho uno scalare $ A_(ij) $ e due vettori base....ora come può la somma per tutti gli $ i,j $ di tali membri darmi una matrice? a me pare ...

Ciao Spesso mi capita un esercizio dove mi viene data una matrice $A$ reale simmetrica e mi viene detto di trovare una matrice ortogonale tale che $H^TAH$ sia diagonale. La risoluzione di quest'esercizio (semplice e meccanica) fa riferimento al teorema spettrale ("Sia $A$ una matrice reale e simmetrica d'ordine n, allora esiste una base ortogonale di $V$, $dimV=n$, di autovettori di $A$"). Nel caso non venga data da ...

In $E^3$ mi vengono assegnati un piano $\pi:x-2y-2z+3=0$ e una retta $r:\{(2x-y+z-1=0),(y+z+1=0)}$ devo determinare: 1) le equazioni della proiezione ortogonale della retta $r$ sul piano $\pi$ 2)le equazioni delle sfere di raggio $R=3$ tangenti il piano $\pi$ aventi il centro sulla retta $r$ é da un po che non guardo queste cose quindi non saprei come fare.

Ciao a tutti! Mi sapreste aiutare con un esercizio del genere? Il problema è che l'esercizio è troppo generico e non capisco proprio da dove prendere.. Sia c ∈ R e sia Vc l'insieme definito come Vc= {[x1,x2,x3,x4] in R4 | x1-x2-x4= c } (a) Si determino i valori di c per i quali Vc è sottospazio vettoriale di R4 (b) Per c = 0 si trovi una base di V0 (c) Per c = 0 si trovi una base ortogonale di V0 Grazie infinite.

Richiesta: Determinare una matrice ortogonale M tale che il cambio di coordinate $X = MX'$ porta Q a forma canonica. Ho calcolato gli autovalori di $A$, che sono $lambda_0=2$ $lambda_1=-2$ entrambi con molteplicità algebrica 1. Dopo aver calcolato gli autospazi, ho determinato le loro basi. $B_(V_2)={( ( sqrt(3) ),( 1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) }$ base dell'autospazio $V_2={X in mathbb(R) | x-sqrt(3)y=0}$ $B_(V_-2)={( ( -sqrt(3)/3 ),( 1 ),( 0 ) ) }$ base dell'autospazio $V_(-2)={X in mathbb(R) |x+sqrt(3)/3 y=0, z=0}$ La matrice $M$ richiesta, è ...

Salve La mia domanda riguarda la diagonalizzazione di una matrice, in particolare il punto dove si ha $ P^-1 A P = B $ Non capisco quale è l' ordine in cui devo mettere gli autovettori nella matrice $ P $. Ho infatti provato con un esercizio e mettendo gli autovettori invertiti il risultato non è corretto. Per esempio considerando $ [ ( 10 , -6 ),( -6 , 10 ) ] $ ha autovalori $ lambda1=4 $ e $ lambda2=16 $ Gli autovettori sono per $ Vlambda1 $ $ (1,1) $ e per ...

Salve, svolgendo un esercizio ho dovuto trovare il vettore parallelo alla retta $ r: { ( x - y + z ),( y + 2z = 3 ):} $. Per trovarlo so che ci sono due modi: 1) Fare il prodotto vettoriale dei due vettori ortogonali ai due piani formanti la retta $r$ quindi: $ { ( vec ( m ) = (1, -1, 1 ) ), (vec ( n ) = (0, 1, 2 )):} $ e da $ vec m x vec n $ ottengo $ (-3, -2, 1) $ 2) Portare la retta $r$ in forma parametrica: $ r: { ( x = y -t ),( y = 2t + 3 ),( z = t ):} $ così trovo subito il vettore parallelo: $ (-1, 2, 1) $ Ora è normale che questi due siano ...

salve ragazzi mi aiutate a svolgere questo quesito, non so come iniziare Siano assegnati i seguenti sottospazi dello spazio vettoriale $ RR^4 $ : $ W_1 =L((0,0,1,0);(-1,1,0,0);(-1,0,01)) $ $ W_2 =L((1,1,0,0);(-1,0,1,0);(0,0,0,1)) $ $ W_h =L((h,1,-h+1,-h-1);(h,0,2,2)) $ Il quesito chiede " Determinare i valori del parametro reale h tali che $W_1∩ W_2 =W_h $ " Se volete saperlo, il primo quesito chiede la dimensione e una base di $ W_1 ∩ W_2 $ che viene (ed è corretto) $ [(1,0,-1,-1);(0,1,1,-1)]$ Grazie mille ragazzi, qualsiasi forma d'aiuto è sempre bene ...

Ciao a tutti ho un dubbio su come procedere per questo esercizio: data l'equazione: (a + 2)x²+ 2y² + 4x + ay = 0 con a in R Studiare il carattere delle curve al variare del parametro reale a. Per quali valori di a dovrei studiare la curva? A naso -2 e 0 ma non so se è corretto e in che modo essere sicuro di studiare tutti i casi richiesti. grazie mille per qualsiasi aiuto

Salve a tutti. Posto il testo dell'esercizio: Sia $A\in GL_n(\mathbb{R})$. Discutere se la seguente condizione (*) è necessaria o rispettivamente sufficiente affinchè $A$ ed $A^-1$ siano simili: (*) Esiste $r$ con $0\le r \le n$ tale che il polinomio caratteristico di $A$ è: $$p_A(t)=(-1)^n(t-1)^r(t+1)^{n-r}$$. Mio tentativo: Condizione necessaria e sufficiente per la similitudine tra $A$ ed ...