Autovettori
Salve a tutti, avrei il seguente esercizio:
Sia $V$ lo spazio dei vettori liberi, e siano $v_1 ; v_2 ; v_3$ vettori linearmente indipendenti. sia $f in End(V)$ definito da:
$f(v_1)=v_2 + 2v_3 ; f(v_2)= v_3 + 2v_1 ; f(v_3)=f(v_1) - f(v_2)$
descrivere $ ker(f) $ e $ Im(f) $ determinandone la dimensione e una base. E questo dovrei averlo fatto. Chiede inoltre di determinare autovalori e autovettori e discuterne la diagonalizzabilità.
Io avrei trovato gli autovalori: ${ (1-sqrt5)/2 ; 0 ; (1+sqrt5)/2 }$ , poi però sono in difficoltà con gli autovettori perchè vengono numeracci e non so come raggrupparli.. Potete aiutarmi?
Grazie
Sia $V$ lo spazio dei vettori liberi, e siano $v_1 ; v_2 ; v_3$ vettori linearmente indipendenti. sia $f in End(V)$ definito da:
$f(v_1)=v_2 + 2v_3 ; f(v_2)= v_3 + 2v_1 ; f(v_3)=f(v_1) - f(v_2)$
descrivere $ ker(f) $ e $ Im(f) $ determinandone la dimensione e una base. E questo dovrei averlo fatto. Chiede inoltre di determinare autovalori e autovettori e discuterne la diagonalizzabilità.
Io avrei trovato gli autovalori: ${ (1-sqrt5)/2 ; 0 ; (1+sqrt5)/2 }$ , poi però sono in difficoltà con gli autovettori perchè vengono numeracci e non so come raggrupparli.. Potete aiutarmi?
Grazie
Risposte
Sicuro che gli autovalori siano giusti? Perchè a me verrebbero con valori immaginari...
A me sembrava di sì... Aspetto che risponda qualcuno di più competente per capire se ho sbagliato 
Qualcuno di competente potrebbe dirmi se ho sbagliato??
Adesso che mi ci fai pensare ho un dubbio esistenziale... Il polinomio caratteristico non dovrebbe essere:
$ det(A - \lambda I) $ ???
A volte negli esercizi però mi sono ritrovata a dover usare $ det (\lambda I - A) $ ..
Qualcuno potrebbe chiarirmi questo concetto? Probabilmente una volta chiarito questo dovremmo poter essere in grado di risolvere anche il tuo esercizio
$ det(A - \lambda I) $ ???
A volte negli esercizi però mi sono ritrovata a dover usare $ det (\lambda I - A) $ ..
Qualcuno potrebbe chiarirmi questo concetto? Probabilmente una volta chiarito questo dovremmo poter essere in grado di risolvere anche il tuo esercizio
@Selene: Non cambia nulla. Le due definizioni differiscono per un fattore $(-1)^n$ dove $n$ è la dimensione della matrice. In particolare i due polinomi hanno le stesse radici, e quindi trovano gli stessi autovalori.
hey!
Associamo prima di tutto la matrice mettendo le funzioni lungo le colonne
$F=((0,2,-2),(1,0,1),(2,1,1))$
Calcoliamo $|(0-t,2,-2),(1,0-t,1),(2,1,1-t)|=0$
Trovando gli autovalori.... e anche a me esce roba un po strana (addirittura su $CC$ o.O)
Tuttavia sono 3 autovalori distinti e questo ti basta per dire che la matrice e' diagonalizzabile e l'applicazione e' semplice!
Riguardo agli autospazi risolvi il sistema omogeneo $(F-lambdaI)X=0$ per trovare una base per gli autovettori( non ho voglia di "complicarmi la vita" sul campo $CC$)
Riguardo all'immagine per trovare una base ti basta prendere due colonne linearmente indipendenti della matrice... per esempio $f(v1),f(v2)$
Quindi $dim(im(f))=2$ e di conseguenza $dim(ker(f))=1$
Associamo prima di tutto la matrice mettendo le funzioni lungo le colonne
$F=((0,2,-2),(1,0,1),(2,1,1))$
Calcoliamo $|(0-t,2,-2),(1,0-t,1),(2,1,1-t)|=0$
Trovando gli autovalori.... e anche a me esce roba un po strana (addirittura su $CC$ o.O)
Tuttavia sono 3 autovalori distinti e questo ti basta per dire che la matrice e' diagonalizzabile e l'applicazione e' semplice!
Riguardo agli autospazi risolvi il sistema omogeneo $(F-lambdaI)X=0$ per trovare una base per gli autovettori( non ho voglia di "complicarmi la vita" sul campo $CC$)
Riguardo all'immagine per trovare una base ti basta prendere due colonne linearmente indipendenti della matrice... per esempio $f(v1),f(v2)$
Quindi $dim(im(f))=2$ e di conseguenza $dim(ker(f))=1$
Si si il mio problema erano gli autospazi relativi agli autovalori trovati!! Non saprei come esprimerli.. E' l'unica cosa antipatica che non riesco a fare.. Forse è solo un problema algebrico non so.. Ma non riesco ad esprimerli in forma accettabile ecco
Grazie comunque! Molto gentile!
Grazie comunque! Molto gentile!
"dissonance":
@Selene: Non cambia nulla. Le due definizioni differiscono per un fattore $(-1)^n$ dove $n$ è la dimensione della matrice. In particolare i due polinomi hanno le stesse radici, e quindi trovano gli stessi autovalori.
Okay, però ad esempio in questo esercizio in particolare se si usa una definizione o l'altra i risultati cambiano abbastanza.. Non vengono affatto gli stessi autovalori.. Come mai?
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