Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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C'è qualche ragione per cui si usa questa forma plurale?
Grazie, ciao
Buon pomeriggio, qualcuno può darmi una mano con questo esercizio sulle basi?
Per quanti valori di $a$ i vettori ${(0,0,3-a^2,a^2-3);(a^2+a,a+1,1,-a^2)}$ formano una base di $W:={(x,y,z,w)inR^4$ $/z+w=x-ay=0}$ ?
Grazie
Sia $K$ un campo infinito e siano $m, n$ interi positivi.
Dovrebbe essere vero ch'esiste una matrice di tipo $(m, n)$ i cui minori massimali siano tutti diversi da zero.
Nel caso in cui uno dei due interi sia uguale a 2 è evidente: la tesi equivale all'esistenza di un numero arbitrario di coppie di elementi di $K$ a due a due non proporzionali.
Nel caso generale sono solo riuscito a riformulare il problema in modi equivalenti:
1. Esistono ...
Ciao a tutti,
Piacere di conoscervi! Ho un piccolo problema con due esercizi, li scrivo in due post differenti così da evitare confusione.
Considerare il seguente sistema lineare:
$\{(x + y - z = -1),(3x +2y - z = 0),(3x + 3y + 3z = 2):}$
a) Determinare il sottospazio affine delle soluzioni del sistema. Questo insieme è anche uno spazio vettoriale?
b) Determinare la dimensione dello spazio affine di cui al punto precedente.
Ciao a tutti,
Sto risolvendo un esercizio ma non riesco a risolvere il punto riguardante la matrice di cambiamento di base, questo è l'esercizio:
Sia $F : R^3 -> R^4$ la trasformazione lineare definita da $F(x,y,z) = (x+y+z, x+y+z, x+y, x)$.
Siano $v_1 = (1,1,0)$, $v_2 = (1,0,1)$ e $v_3 = (0,1,0)$ i vettori che compongono la base $B = (v_1,v_2,v_3)$.
Determinare la matrice di cambiamento di base $M_{\epsilon_4}^B$ e la matrice $M_B^{\epsilon_4}$.
Negli altri esercizi ho sempre calcolato matrici di ...
Salve a tutti,
Ho un piccolo esercizio riguardante le trasformazioni lineari:
Sia $F : R^3 -> R^4$ la trasformazione lineare definita da $F(x,y,z) = (x+y+z, x+y+z, x+y, x)$.
Siano $v_1 = (1,1,0)$, $v_2 = (1,0,1)$ e $v_3 = (0,1,0)$ i vettori che compongono la base $B = (v_1,v_2,v_3)$.
Determinare la matrice di F rispetto alla base B per il dominio e la base canonica per il codominio.
Qual è il procedimento migliore per risolvere questo esercizio?
Vi ringrazio!
Marco
Buongiorno,
Richiesta
Trovare l'equazione parametrica del piano $pi$ contenente i punti $A=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )$ , $ B=( ( 2 ),( 0 ),( 2 ) ) $ e parallelo al vettore $vec(v)=hat(i) +hat(j)+hat(k)$.
Soluzione
Il piano nello spazio è definito come lo $Span(vec(u_1),vec(u_2))$, dove $vec(u_1)$ e $vec(u_2)$ sono due vettori linearmente indipendenti.
Per avere un piano parallelo al vettore $vec(v)$, impongo che un vettore dei due generatori del piano sia proprio uguale a ...
come da titolo ho svolto uno dei due punti della seguente traccia:
Sia f l'unico endomorfismo dello spazio vettoriale R^3 tale che:
f(0,1,1)=(1,-2,-1)
f(1,1,0)=(1,-2,1)
f(0,0,1)=(1,0,0)
a)determinare f(1,2,-2) e f(-1,0,0) [questo qui l'ho fatto e mi trovo]
b) determinare gli autovalori di f [qui mi trovo in difficoltà :/] so che bisognerebbe usare il polinomio caratteristico ma non so come associare la matrice
Ciao,
Volevo sapere come mai per calcolare gli autovalori di un problema del tipo $ Av=lamdav $ si calcolano le soluzione dell'espressione $ det(A-Ilamda)=0 $ ??
Cioè a lezione ho ampiamente capito come procedere ma non mi è ben chiaro del perchè si giunga a quella espressione per calcolare gli autovalori !!
Grazie.
Salve, ho la seguente trasformazione lineare:
$T: R^3 --- > R^3 (x,y,z) = ( x, 2x+y, 2y+z)$
Per trovare l'inversa della trasformazione lineare posso trovare l'inversa della matrice associata a tale trasformazione lineare?
Quindi la matrice associata è:
\[\large A = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Verificato che la matrice è invertibile, visto che il determinante è diverso da 0, quindi la sua inversa è:
\[\large A^-1 = \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 ...
Buongiorno,
Non riesco a capire come risolvere il seguente esercizio di Algebra Lineare:
Si dimostri che l'insieme S\cap N è un sottospazio di P2(R), dove S={p\in P2(r): p(-1)=0} e N={p\in P2(r): p(1)=0}.
Si determini poi l'elemento di S\cap N che meglio approssima r(t)=t rispetto alla distanza indotta dal prodotto interno =\lmoustache p(t)q(t)dt (--> integrale fra -1 e 1 di p(t), q(t)).
Innanzitutto scusatemi ma è la prima volta che uso Latex.
Ho provato a risolvere l'esercizio e per il ...
Ciao ragazzi, ho 2 problemi su due esercizi sulle matrici associate. Ecco i 2 testi dei due problemi.
Sia $ f:R^3 rarr R^4 $ un'applicazione lineare così definita: $ f(x1,x2,x3)=(5x1+4x2−9x3, 4x1+5x2−9x3, −9x1−9x2+9x3, x1+x2+x3) $. Determinare la matrice associata alla $ f $ rispetto alla base canonica in $ R^4 $ e $ B={(1,1,0), (1,0,−1), (0,1,−1)} $ in $ R^3 $.
Sia $ f : R^4 rarr R^2 $ un'applicazione lineare avente matrice associata
$ ( ( 1 , 0 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , -1 ) ) $
rispetto alle basi $ B1={(1,1), (1,0)} $ di $ R^2 $ e ...
Salve, vorrei sapere se è corretto questo procedimento per trovare la dimensione dell'immagine di una trasformazione lineare e quindi una sua base:
1) Prendo la matrice della trasformazione ineare
2) Faccio la trasposta
3) Riduco a scala la trasposta
4) Il rango dela matrice che ho ottenuto mi da la dimensione dell'immagine e le righe non nulle sono i vettori che formano la base per l'immagine della trasfomazione lineare.
E' corretto?
Salve, ho problemi a risolvere il seguente esercizio!
Sia $\U = {(x,y,z) in R^3 |x + y — z = 0, x — y + z = 0} $ e sia $\F: R3=>R3 $ l'applicazione lineare avente come nucleo il sottospazio U e tale che $\lambda= 2 $ è autovalore con autospazio generato dai vettori $\(1,1,1) $ e $\(1,1,2) $.
>Provare che F non è suriettiva.
>Scegliere una base D per R^3 formata da autovettori di F e scrivere la matrice associata ad F rispetto alla base D.
Dopo aver associato una base ad U ovvero (0,1,1) non ho la ...
Salve!
Qualche anima pia potrebbe farmi un esempio esplicito di pullback di una k-forma differenziale da $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^2$ e/o $\mathbb{R}^4$? O anche solo consigliarmi un libro/sito in cui ci sia il calcolo esplicito.
Grazie
Salve,
la matrice è:
\[\large \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\]
Devo verificare se i seguenti autovettori sono autovettori della matrice A:
$v1 = ( 2, 0, -1)\<br />
v2 = ( 1, 0, -1)\<br />
v3 = ( 1, 0, 1)$
Io ho calcolato gli autovalori e mi escono
$0, 1, -1 $
Ma a me non risulta che quei vettori sono degli autovettori, invece sul libro risulta di sì, ha sbagliato il libro?
Considerata la base canonica $<e_1, e_2, e_3>$ di $R^3$, siano
$u_1 = e_1 + e_2$
$u_2 = e_1 - e_2$
$u_3 = e_3$
Domande:
a) Dimostrare che $B = <u_1, u_2, u_3>$ è una base di R^3; determinare le coordinate del vettore $(1,1,1)$ rispetto a tale base.[/list:u:odlaxr3n]
b) Determinare la matrice del cambiamento di base dalla base canonica alla base $<u_1, u_2, u_3>$ e viceversa.[/list:u:odlaxr3n]
c) Sia $F : R^3 ->R^3$ la trasformazione lineare rappresentata dalla matrice ...
Salve, ho il seguente sistema lineare:
\[\large \left\{\begin{matrix} x + y + z = 1 \\ x + y + 2z = 0 \\ 2x + 2y +3z = -1 \end{matrix}\right.\]
Lo risolvo con il metodo di Gauss ed hottengo la seguente soluzione
\[\large SOL = (-2-h,h,1) : h\in R)\] ( non mi fa mettere le graffe)
Per il teorema di R. Capelli sappiamo che lo spazio affine delle soluzione ha dimensione
$m - r$
$m$ è ilnumero di variabili
$r$ è il rango della matrice associata al ...
Buongiorno,
Testo:
Stabilire motivando la risposta, se esiste un'applicazione lineare $L:mathbb(R)^4rarr mathbb(R)^2$ tale che:
Il $KerL$ abbia le seguenti equazioni ${ ( x_1-x_3=0 ),( x_1-x_2=0 ):}$.
Che ragionamento devo seguire partendo dalle equazioni del $KerL$?
Devo ricavare la matrice di rappresentazione dell'applicazione lineare?
Saluti
Ciao a tutti,
in un esercizio mi si chiede di dire se una certa matrice è la matrice unificata di un'affinità in un piano affine standard. Non conosco (e non trovo) una definizione di matrice unificata. Se ci si riferisse semplicemente alla matrice dell'affinità? In quel caso risponderei: sì, lo è perché è invertibile. Ma non avrei considerato l'"essere standard" (intende un piano dove è stato introdotto il prodotto interno standard, giusto?) . Cosa mi son persa?
Non riesco a capire il ...
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