Stabilire se un insieme è uno spazio vettoriale?
Ciao a tutti,so che per stabilire se un insieme è uno spazio vettoriale devo verificare due condizioni più la condizione necessaria. Mi aiutate un po ?
Condizione necessaria: Affinche S ∈ V sia un sottospazio di V è contenere il vettore nullo
1 condizione = v1 + v2 appartiene ad S
2 condizione = K moltiplicato per v1 appartiene ad S
FINO A QUI TUTTO BENE,MI E' TUTTO CHIARO..
Ho però qualche problema con la risoluzione degli esercizi..vediamo subito un esempio,scrivo come l'avrei risolto io..
S= { v = ( x1 ; x2 ; x3 ) ∈ R^3 |x1 + x2 + x3 = 0| }
Condizione necessaria soddisfatta: 0(0;0;0) = 0
1) assegno dei valori numerici a piacere a v1 e v2 ---> v=(1;0;0;) v2=(0;0;1)
v+v2 = (1+0; 0+0; 0+1) = 0 ----> ( 1 + 0+ 1) = 0
Quindi
x1 +x2 +x3 = 0 ---> 1 +0 +1 = 0 ---> 2 = 0 Condizione non soddisfatta. Quindi S non è uno spazio vettoriale di R^3
Il problema è che io so che la mia risposta è sbagliata...Dove sbaglio? Grazie..
Condizione necessaria: Affinche S ∈ V sia un sottospazio di V è contenere il vettore nullo
1 condizione = v1 + v2 appartiene ad S
2 condizione = K moltiplicato per v1 appartiene ad S
FINO A QUI TUTTO BENE,MI E' TUTTO CHIARO..
Ho però qualche problema con la risoluzione degli esercizi..vediamo subito un esempio,scrivo come l'avrei risolto io..
S= { v = ( x1 ; x2 ; x3 ) ∈ R^3 |x1 + x2 + x3 = 0| }
Condizione necessaria soddisfatta: 0(0;0;0) = 0
1) assegno dei valori numerici a piacere a v1 e v2 ---> v=(1;0;0;) v2=(0;0;1)
v+v2 = (1+0; 0+0; 0+1) = 0 ----> ( 1 + 0+ 1) = 0
Quindi
x1 +x2 +x3 = 0 ---> 1 +0 +1 = 0 ---> 2 = 0 Condizione non soddisfatta. Quindi S non è uno spazio vettoriale di R^3
Il problema è che io so che la mia risposta è sbagliata...Dove sbaglio? Grazie..
Risposte
Ciao,
la teoria è corretta. Per gli esercizi bisogna fare così:
Dato $S= { v = ( x_1 , x_2 , x_3 ) ∈ R^3 |x_1 + x_2 + x_3 = 0}$ bisogna verificare:
1. Preso $v=(0,0,0)$ e sostituendo questi tre valori nell'equazione $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ devo ottenere $0=0$ ed è presto detto dato che la somma dei 3 vettori nulli è nulla.
2. Presi due vettori $v = ( x_1 , x_2 , x_3 )$ e $v' = ( x'_1 , x'_2 , x'_3 )$ bisogna provare che $v + v' in V$.
3. Preso un $k in RR$ bisogna provare che $k v in V$.
Come hai notato non si sono scritti valori per v. Prova a fare i calcoli e dimmi cosa ti risulta.
la teoria è corretta. Per gli esercizi bisogna fare così:
Dato $S= { v = ( x_1 , x_2 , x_3 ) ∈ R^3 |x_1 + x_2 + x_3 = 0}$ bisogna verificare:
1. Preso $v=(0,0,0)$ e sostituendo questi tre valori nell'equazione $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ devo ottenere $0=0$ ed è presto detto dato che la somma dei 3 vettori nulli è nulla.
2. Presi due vettori $v = ( x_1 , x_2 , x_3 )$ e $v' = ( x'_1 , x'_2 , x'_3 )$ bisogna provare che $v + v' in V$.
3. Preso un $k in RR$ bisogna provare che $k v in V$.
Come hai notato non si sono scritti valori per v. Prova a fare i calcoli e dimmi cosa ti risulta.
Ciao 
Io farei cosi!
intanto definiamo le componenti che sono $(x1,x2,-x1-x2)$ infatti $x3=-x1-x2$
presi due elementi $(xA,xB,-xA-xB)$ ed $(xC,xD,-xC-xD)$
bisogna verificare che la loro somma $(xA+xC,xB+xD,-xA-xB-xC-xD)$ appartiene sempre all'insieme
verifica tu con dei valori e vedi se appartiene ancora all'insieme fatto in questo modo $(x1,x2,-x1-x2)$
(la condizione e' verificata)
Io farei cosi!
intanto definiamo le componenti che sono $(x1,x2,-x1-x2)$ infatti $x3=-x1-x2$
presi due elementi $(xA,xB,-xA-xB)$ ed $(xC,xD,-xC-xD)$
bisogna verificare che la loro somma $(xA+xC,xB+xD,-xA-xB-xC-xD)$ appartiene sempre all'insieme
verifica tu con dei valori e vedi se appartiene ancora all'insieme fatto in questo modo $(x1,x2,-x1-x2)$
(la condizione e' verificata)
"Samy21":
Ciao,
la teoria è corretta. Per gli esercizi bisogna fare così:
Dato $S= { v = ( x_1 , x_2 , x_3 ) ∈ R^3 |x_1 + x_2 + x_3 = 0}$ bisogna verificare:
1. Preso $v=(0,0,0)$ e sostituendo questi tre valori nell'equazione $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ devo ottenere $0=0$ ed è presto detto dato che la somma dei 3 vettori nulli è nulla.
2. Presi due vettori $v = ( x_1 , x_2 , x_3 )$ e $v' = ( x'_1 , x'_2 , x'_3 )$ bisogna provare che $v + v' in V$.
3. Preso un $k in RR$ bisogna provare che $k v in V$.
Come hai notato non si sono scritti valori per v. Prova a fare i calcoli e dimmi cosa ti risulta.
Ciao..Grazie per la risposta.
Dunque:
1) v1= ( x1 , x2 , x3 ) e v2 = ( x'1 , x'2 , x'3 )
v+v2 = ( x1+x'1 ; x2+x'2 ; x3+x'3 ) = 0 ---> (x1+x'1) + (x2+x'2) + (x3+x'3) = (x1+x2+x3) + (x'1+x'2+x'3) = 0
2) k(x; x2 ; x3) = 0 -----> (kx ; kx2 ; kx3) = 0
Ora come faccio a capire se le condizioni sono verificate? e perchè la scelta di usare lettere invece di numeri per quanto riguarda v e v2 ?
NB:
Ciao giampazero grazie anche a te per la risposta ma preferisco continuare sul ragionamento dell'altro utente in quanto è proprio il tipo di soluzione che sta scritta e non l'ho capita..
"Samy21":Se dici cosi' sembra che tu stia prendendo dei vettori qualsiasi. Devi prendere $v$ e $v'$ in $V$.
2. Presi due vettori $v = ( x_1 , x_2 , x_3 )$ e $v' = ( x'_1 , x'_2 , x'_3 )$ bisogna provare che $v + v' in V$.
"dissonance":Se dici cosi' sembra che tu stia prendendo dei vettori qualsiasi. Devi prendere $v$ e $v'$ in $V$.[/quote]
[quote="Samy21"]
2. Presi due vettori $v = ( x_1 , x_2 , x_3 )$ e $v' = ( x'_1 , x'_2 , x'_3 )$ bisogna provare che $v + v' in V$.
Si certo, scusa la svista
"darakum":
Ora come faccio a capire se le condizioni sono verificate?
Abbiamo scritto che bisogna verificare, per il punto 2, che presi due vettori in V $ v = ( x_1 , x_2 , x_3 ) $ e $ v' = ( x'_1 , x'_2 , x'_3 ) $ la loro somma è ancora in V.
Questo significa che $v+v'=0$ perchè questa è la condizione che ci viene data dalla definizione dello spazio vettoriale V.
Facciamo quindi i conti:
$v+v'=0 => ( x_1 , x_2 , x_3 ) + ( x'_1 , x'_2 , x'_3 ) =0 => (x_1 + x'_1) + (x_2 + x'_2) + (x_3 + x'_3)=0$
[attenzione alla disposizione dei passaggi!]
Avendo scritto così si capisce che la condizione è verificata perchè l'equazione che definisce V è rimasta simile a quella di partenza. (Stiamo facendo la somma di due elementi che stanno nello stesso spazio vettoriale, la somma mantiene le stesse 'sembianze' e quindi le stesse proprietà di quella di partenza quindi otterremo un valore che sarà ancora in V).
Stesso discorso per il prodotto, cioè il punto 3.
Stiamo considerando un $k in RR$ e $v in V$. Da $ kx_1 + kx_2+ kx_3=0$ segue che $k(x_1 + x_2 + x_3)=0$ e quindi anche in questo caso noti che l'equazione rimane invariata eccetto per il fatto che viene moltiplicata per un parametro reale k.
Quindi,il calcolo come l'hai inteso è giusto, devi prestare attenzione ai passaggi, quelli che tu hai scritto alla fine vengono prima.
e perchè la scelta di usare lettere invece di numeri per quanto riguarda v e v2 ?
Perchè così rimaniamo nel caso più generale possibile. Se diamo dei valori specifici a v e v' dovremmo fare molte verifiche per poter concludere che è un sottospazio.
Detto questo ho cercato di essere più chiara possibile, purtroppo è un pò difficile spiegare 'semplicemente' questi argomenti, vedrai che con gli esercizi ti rimarranno ben in mente
Tutto chiaro..grazie per l'aiuto!
"darakum":
Tutto chiaro..grazie per l'aiuto!
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