Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dopo le trasformazioni affini, eccomi qui con un esercizio sulle trasformazioni lineari.
Ho la trasformazione lineare $ varphi :V_3(R)rarr V_3(R) $ rappresentata dalla seguente matrice
$ ( ( 2 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $
e sia $S$ l'iperpiano $x_1-x_2+2x_3=1$
Sia $S_0$ la direzione di $S$
Come prima domanda mi chiede di trovare la dimensione di vari sottospazi
$dim(Im(varphi)nnS)=2$
$dim(Ker(varphi)nnS_0)=0$
$dim(varphi(S))=3$
$dim(varphi^-1(S))=2$
Poi mi chiede se $varphi^-1(S)=V_3(R)$ e se ...
Enunciato : la curvatura Gaussiana $K$ è invariante per isometrie locali.
Vediamo se ho capito questo teorema.
La dimostrazione consiste nell'arrivare ad esprimere la curvatura Gaussiana in termini della prima forma fondamentale, usando i simboli di Christoffel, e l'asserto segue dal fatto che la prima forma è invariante per isometrie locali.
Quindi abbiamo che sei due superfici hanno curvature distinte non sono isometriche.
In generale due superfici che hanno la stessa ...
Ciao a tutti. Vi scrivo perchè ho qualche dubbio riguardo la mia preparazione di geometria analitica e analisi matematica. Nella fattispecie, ho studiato le coniche, le quadriche e infine le funzioni di due variabili ma non ho ben capito il legame che ci fosse tra queste ultime.
Prendiamo in esempio un iperboloide o una sfera. Perchè quando si parla di quadriche non si parla di funzioni? Non dovrebbero esserlo?. Se si, che tipo di funzioni sono? Io per semplicità le penserei come funzioni di ...
MI potreste dire come si calcolano la curvatura normale e quella geodetica di una curva su una superficie??? per la curvatura normale di solito mi calcolo le due forme fondamentali e faccio la seconda diviso la prima, ma per la curvatura geodetica non ho molto capito come si calcola operativamente .. vi ringrazio molto...ciao a tutti
Ciao a tutti,
qualche giorno fa ho sostenuto l'esame di matematica del discreto e ora mi sto preparando in vista dell'orale (che se ci sarà, sarà a giorni ). Sto pertanto dedicandomi alla correzione del compito. Ma un esercizio, che non ho fatto durante l'esame, mi lascia perplesso e con tantissimi dubbi... Mi potreste dare una mano? Ve lo chiedo gentilmente in quanto non ho nessuno in famiglia o amici bravi in questo ambito.
L'esercizio (che con molta probabilità mi sarà chiesto in sede ...
Ciao, qualcuno può aiutarmi a capire questo esercizio per favore?
$L: Mat_(2x2) (CC) -> Mat_(2x2) (CC)$ applicazione lineare t.c. $L ((x,y),(z,w)) = ((x-y, y+z),(z-w,x+w))$
Si dimostri che $L(W) sube W$ dove
$W = {((x,y),(z,w)) in Mat_(2x2) (CC) | ix+y+iz+w=0}$
___
In poche parole mi sta chiedendo di dimostrare che W è un sottospazio invariante, giusto?
Come faccio ad applicare L a W? devo riscrivere W in termini di matrice?
Grazie
Buonasera ragà, ho svariati problemi con un esercizio di algebra lineare.
Ho una trasformazione affine $ varphi : V_3(R)rarr V_4(R) $ definita in questo modo:
$ varphi ((x_1,x_2,x_3))=(y_1,y_2,y_3,y_4) $ dove
$ ( ( y_1 ),( y_2 ),( y_3 ),( y_4 ) ) = ( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) +( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Le coordinate $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3,y_4$ sono date rispetto ai versori.
1- Calcolare la $dim(Im(varphi))$
Per calcolarmi questa dimensione mi sono andato a calcolare il rango della matrice
$( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )$
il quale risulta uguale a 3. $ rArr rank(Im(varphi))=3=dim(Im(varphi)) $
Giusto?
2- È vero che $ (4,3,0,4) in Im(varphi)$ ? Se si calcolate ...
Salve a tutti, vi chiedo aiuto poiché, nonostante numerosissime ricerche su google, non ho trovato nulla che mi potesse dare una spiegazione soddisfacente. Allora ho il seguente esercizio:
Tralasciando il punto d che non mi interessa, mi sapresti dire come si risolve? Vi giuro mi sembra assurdo di non essere riuscito a trovare niente e nessuno che mi sappia spiegare come si calcola la dim V (in questo caso) e una base.
Vi ringrazio in anticipo!
Se questo è vero,e sa la funzione distanza è indotta da una norma,non dovremmo fare una distinzione tra lunghezza,intesa come classe di equivalenza dei vettori geometrici sovrapponibili e norma stessa?
Buongiorno. Volevo chiedervi una cosa riguardo a un esercizio che ho trovato in rete.
Dato un campo \(\displaystyle A \) e l'usuale spazio vettoriale \(\displaystyle A^4 \), dati i due sottospazi \(\displaystyle B = \) e \(\displaystyle C = \), si deve determinare la dimensione di \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \) in funzione della caratteristica di \(\displaystyle A \).
Siccome un campo ha caratteristica ...
Ciao a tutti,
avrei il seguente problema di geometria che, a prima vista, mi è sembrato semplice, rivelandosi poi più complicato del previsto.
Il mio approccio è per assurdo: ipotizzando che le diagonali $AC$ e $BD$ non si intersechino cerco di giungere alla conclusione in contraddizione con la definizione di convesso (ad esempio che nel segmento/lato $AB$ i ...
ragazzi, nel compito non sono riuscito a fare questi 2 esercizi, mi potete spiegare come fare?
data la conica di equazione
$2x^2+2xy+ky^2+2x-2y=0$
-per orgni valore k per cui la conica è a centro, se ne determini il entro
-posto k=0 si determinino gli asintoti
Avendo la metrica di una superficie definita come $ds^2=lambda(u,v)*(du^2+dv^2)$ come trovo la curvatura di Gauss?
Io ho provato a trovare le forme fondamentali per poter trovare la curvatura come $K=(eg-f^2)/(EG-F^2)$ in cui e,f,g è la seconda forma fondamentale mentre E,F,G è la prima.
Per quanto riguarda la prima, a partire dalla definizione di metrica $ds^2=Edu^2+2Fdu*dv+Gdv^2)$ ho supposto che $E=G=lambda(u,v)$ e $F=0$ però non riesco a trovare la seconda forma.
Ho provato a derivare il prodotto scalare ...
Salve, ho un problema che non che mi sembra logicamente impossibile, forse sbaglio qualcosa, ve lo scrivo:
Si considerino in $R^3$ i punti
$p=(sqrt(2)/2,0,sqrt(2)/2)$ $q=(0,sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$
Si spieghi perché per essi passano un parallelo $alpha$ e una sola circonferenza massima $beta$ della sfera $S_0^2$(1)
I punti $p$ e $q$ stanno sulla sfera di raggio 1 centrata nell'origine, sono a 45° con $y=0$ in ...
Ciao a tutti! Sono alle prese con un esercizio di Geometria 2 in cui mi viene richiesto di determinare i punti singolari della curva C: $x_0^2x_1^2-x_0^2x_2^2+x_1^2x_2^2=0$. Comincio quindi con il calcolare le derivate parziali rispetto a $x_0, x_1, x_2$ per poi uguagliarle a 0 e metterle a sistema. Ottengo le equazioni
$2x_0x_1^2-2x_0x_2^2=0$
$2x_0^2x_1+2x_1x_2^2=0$
$-2x_0^2x_2+2x_1^2x_2=0$
Dalla prima equazione ottengo $x_0(x_1^2-x_2^2)=0 $ e dunque le soluzioni $x_0=0, x_1=\pmx_2$. Sostituisco nella prima e nella seconda equazione, ...
Salve a tutti
Mi presento, mi chiamo Alessio e sono un dottorando in ingegneria elettronica. Sto attualmente scrivendo la mia tesi e vorrei inserire alcune linee spiegando un concetto che non ho ben chiaro io stesso, quindi volevo chiedere aiuto a qualche matematico con un background migliore del mio nell´argomento.
Premetto che ho cercato prima su internet, ma non ho trovato la risposta alla mia domanda.
Dunque, ho un set di misure riassunte in due vettori x and y e affette da rumore.
Con ...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pa ... t%29%29%29
E' sicuramente una curva piana, la torsione è nulla e la curvatura è uguale a $1/cosh(t)^2$
Ciao a tutti! Ho dei dubbi sulla risoluzione di un esercizio su una quartica piana affine razionale di equazione $C: y^4+(y^2-2)x^2$. La traccia richiede:
1. Trova i suoi punti singolari indica il loro tipo, e scrivi le tangenti principali in ciascuno di essi.
2. Individua i suoi asintoti reali e non.
3. Ricava il numero di flessi che essa possiede, e specifica le loro coordinate.
4. Determina sue equazioni parametriche.
Allora:
1. Per trovare i punti singolari ho calcolato prima le derivate ...
Ciao ragazzi, mi sto preparando per l'esame di giometria ma non so come risolvere questi due esercizi:
data la circongerenza \(\displaystyle x^2 + y^2 + kx - 3ky-1 = 0 \) determinare per quali valori di k la circonferenza intersechi gli assi nei punti \(\displaystyle P_1 \) e \(\displaystyle P_2 \) tali che \(\displaystyle d(P_1,P_2)=3 \)
non so come impostare il sistema di questo esercizio dato che devo trovare 4 soluzioni.
il secondo esecizio chiede
Nello spazio \(\displaystyle E^3 \) ...
Ho la curva
$alpha(t)=((2cost+1)cost,(2cost+1)sint))$
$t$ deve essere compreso tra $-pi$ e +$pi$ (anche uguale)
dovrei trovare l'equazione cartesiana. Sembra essere una specie di circonferenza con raggio variabile. Ho provato a mettere $x=(2cost+1)cost$ e $y=(2cost+1)sint$, poi sommare i quadrati ma non mi porta a nulla, qualcuno ha qualche idea?
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