Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Scrivere l'equazione parametrica del piano passante per l'asse z e parallelo alla retta
{x+2y-z =1 }
{2x-y+4z =2 }
salve, un esercizio mi dice che data la retta r contenente i punti A(4,0,0) e B(4,1,-1) e la retta s contenente C(3,2,-1) e D(3,1,0) :
a) verificare che le rette r e s sono complanari e determinare l'equazione del piano che le contiene;
b) determinare l'equazione del piano contenete la retta r ortogonale al piano alfa trovato al punto a;
c) determinare una rappresentazione cartesiana per la retta passante per il punto P(0,0,4) ortogonale e incidente la retta r.
Bene io ho iniziato a svolgere ...
Ciao ragazzi,avrei un dubbio!
Dati 4 punti:
\(\displaystyle A = 1,1,1,0 \)
\(\displaystyle B= 0,1,1,1 \)
\(\displaystyle C= 1,0,0,-1 \)
\(\displaystyle D= 1,2,2,1 \)
Come si calcola la dimensione di \(\displaystyle Af( A,B,C,D) \)?
Io ho proceduto cosi:
Innanzitutto \(\displaystyle rank(A,B,C,D) = 2 \)
Sappiamo inoltre che \(\displaystyle Af(A,B,C,D) = A+L(B-A,C-A,D-A) \)
Dopo di che ho messo a matrice i 3 vettori della direzione e ho ridotto a scala:
$((-1, 0, 0, 1), ( 0,-1,-1,-1), ( 0 ,1, 1, 1))$ \(\displaystyle ---> ...
Ciao, ho questo esercizio:
Sia data l'applicazione \(\displaystyle F: R^2 -> R^2 \) definita da: \(\displaystyle F(x,y)=(x+2ky, x-y). \)
Si determinino i valori di k per i quali l'applicazione è lineare.
A me sembra una domanda a trabocchetto. La risposta è che è lineare per qualsiasi valore di k, o no?
Fondamentalmente perché non ci sono esponenti diversi da 1, ed inoltre essendo k un semplice coefficiente di y, il suo valore è ininfluente ai fini della questione.
Ma se davvero dovessi fare ...
Buongiorno popolo, vorrei sottoporvi ad un piccolo dubbio: come determinare la proiezione ortogonale di una retta su un piano? Ho trovato nei miei appunti un qualcosa del tipo: "intersezione tra il piano $alpha$ che ti viene fornito nell'esercizio e il piano $beta$ perpendicolare a $alpha$ e contenente la retta... Vi posto un piccolo esercizio, spero che qualcuno possa chiarirmi come trovare questo fantomatico piano $beta$. Vi ringrazio anticipatamente ...
Questo esercizio mi manda in crisi perchè non riesco a scrivere la matrice associata... Qualcuno può aiutarmi?
Sia $f$un'applicazione lineare di $R^3$ in $R^4$ definita da:
$f( (1) , (0) , (0) ) = ( (1) , (2) , (1) , (0) )$
$f( (0) , (1) , (0) ) = ( (2) , (4) , (2) , (0) )$
$f( (0) , (0) , (1) ) = ( (0) , (3) , (6) , (3) )$
L'esercizio è diviso in tre punti.. Li scrivo per completezza, però fondamentalmente mi interessa capire come scrivere la matrice associata
a) descrivere ker e Im determinandone dimensione e una base
b) determinare ...
Assegnato l'endomorfismo dello spazio vettoriale R^3: fh(x,y,z)=(x+y+z,y,-4hy) con h€R
a) determinare gli autovalori di fh e i valori di h tali che fh sia diagonalizzabile;
b) determinare i valori del parametro h per cui il vettore (1,1,1) appartenga a Imf.
Io ho eseguito così:
f(1,0,0)=(1,0,0) c1
f(0,1,0)=(1,1,-4h)c2
f(0,0,1)=(1,0,0) c3 con $ [ ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0),( 0 , -4h , 0 ) ] $
e sviluppato così :
$ [ ( 1-t , 1 , 1 ),( 0 , 1-t , 0),( 0 , -4h , 0-t ) ] $ dopodichè mi trovo (1-t)(1-t)(-t)=(1-t)^2 (-t)
t=0; ma1
t=1 ma 2
per t=0
V= ...
salve, ho un esercizio con due sottospazi U {(x+y+z+t=0,-x-y+2t=0,x+y+z=0)} e W {(y=0,x+z=0)} con entrambi (x,y,z,t) € R^4
Mi chiede di determinare una base e dimensione di U il problema è che non riesco a ricavare le basi dalle equazioni che mi vengono date. Ho provato a seguire una lezione su youtube ma pur credendo di aver capito all'atto pratico mi trovo in enorme difficoltà. Ho provato a isolare z e t come parametri assegnando rispettivamente s e v ma non so continuare. Qualcuno mi ...
Buon pomeriggio, vorrei chiedervi come mai in questo quiz la risposta corretta è la B:
Data questa matrice A: $( ( 2 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 0 ) ) $
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) det(3A) = 12.
(b) Esiste B 2 $R^(3;3)$ tale che AB = 8I (I denota la matrice identità).
(c) det$A^2$ = 2 det(A).
(d) det($A^t*A$) = 0.
Avevo pensato di vedere se 8 è autovalore per la matrice A, però come strategia si è rivelata fallimentare perché il polinomio caratteristico non mi ...
Salve, ho dei dubbi nella risoluzione del seguente problema:
Per ciascuna delle seguenti matrici $ A $ simmetriche $ n × n $, si determini una base $ O $ ortonormale (rispetto al prodotto scalare standard) di autovettori dell’endomorfismo \( L_A: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^n} | L_A(v):=Av \) .
Quindi si verifichi esplicitamente che $ O $ è una base $ b_A $ ortogonale, dove \( b_A:\mathbb{R^n} \times \mathbb{R^n} ...
Devo svolgere due problemi sulla trasformazione di un sistema in forma canonica, ho dei dubbi riguardo questi due esercizi.
Li metto sotto Spoiler così da non rendere enorme il primo post.
Trasformare in forma canonica il seguente sistema:
$\{(x + y + 2z = 2),(2x + 3y + z = -5),(- x - 2y + z = -1):}$
Utilizzando le tre trasformazioni elementari, mi trovo che le ultime due equazioni non sono linearmente indipendenti. Ergo non posso trasformarlo in forma canonica, giusto?
Trasformare in forma canonica rispetto alle prime 4 variabili il ...
Ciao a tutti,sto studiando come calcolare il rango di una matrice ma ho purtroppo ancora qualche dubbio..
Io ho questa matrice:
A= ( 1 2 4
2 4 1 )
E so che il rango può essere o 2 o 1..Dove il rango massimo è 2 se il det A è diverso da 0 e quello minimo è 1. Giusta come cosa?
In più non ho capito qual'è il vero metodo per riuscire a capire il rango che numero può essere..
Semplicemente faccio una cosa meccanica,ovvero sottraggo 1 al numero delle colonne (3 colonne --> 3-1 = 2 ...
Ciao ragazzi, come da titolo vorrei capire la differenza tra indipendenza lineare e indipendenza geometrica.
In particolare, quando un insieme di punti \(\displaystyle (A,B,C,D) \) sono geometricamente indipendenti?
È vero inoltre che i punti \(\displaystyle (A,B,C,D) \) sono geometricamente indipendenti se
\(\displaystyle Dim( Af (A,B,C,D)) \) è uguale a \(\displaystyle rank(A,B,C,D) \)?
Grazie mille!
Ciao a tutti!
Sono alle prese con questo sistema lineare in un libro di quantistica. Il testo suggerisce di usare Cramer ma ho provato a ragionarci su e mi viene un disastro.
Alla fine della fiera ricava il valore per T e per R.
Sapete come posso fare?
Grazie mille.
\( Ae^{-iqa}+Be^{iqa}-Re^{ika}-e^{-ika}=0 \)
\( Ae^{iqa}+Be^{-iqa}-Te^{ika}=0 \)
\( Aqe^{-iqa}-Bqe^{iqa}+Re^{ika}-ke^{-ika}=0 \)
\( Aqe^{iqa}-Bqe^{-iqa}-Tqe^{ika}=0 \)
Salve, vorrei solo un' informazione su come risolvere questo esercizio.
Ho una forma quadratica $q: M2(R)-> R$
cosi definita $ q(x1 x2 x3 x4)=(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+(x3-x4)^2$
(La prima parte è una matrice 2x2 scusate ma non riesco a scriverla)
devo trovare la base di $M2(R)$ che la diagonalizza. Io l'ho risolto con la matrice associata 4x4.. ma secondo me non è giusto. Anche perchè così la base trovata è un insieme di vettori di $R^4$.. mi potete dare solo un input. grazie =)
Salve a tutti è un paio di giorni che cerco di fare un esercizio ma non ne vengo a galla..
L'esercizio è: Siano
A=(0 0 sotto 1 1 ) B=( 1 2 sotto 2 4 ) delle matrici
Risolvere le seguenti equazioni matriciali
a) AX + $B^{2}$ = B - AX
b) AX + $B^{2}$ = A - BX
con X appartenente ai numeri reali 2 x 2
scusate per la scrittura, ma sto imparando ad usare il latex ancora.. grazie mille per l'attenzione
e grazie davvero molto a chi mi sarà d'aiuto..ne ho ...
Salve a tutti ragazzi,
ho un problema con la ricerca delle basi. Spero possiate gentilmente aiutarmi!
Dati i seguenti sottospazi di R(2X2),
W= (LINEAR SPAN) ( $((1,2),(-1,4))$ , $((0.1),(2,0))$ , $((1,0),(h,4))$ , $((2,3),(-4,8))$ ))
determinare una base di W per ogni valore di h.
Sono riuscito a trovare la dim=2 per h=5. La base è data dalle prime due matrici.
Per h $!=$5 invece la dim=3. data da (linear span)(( $((1,2),(-1,4))$ , $((0.1),(2,0))$ ...
Salve,
Qualcuno può aiutarmi a capire la strategia per trovare l'equazione del piano passante per A (0, 1, 0) e che forma un angolo di 45° gradi con la retta di equazione: $r: { ( x - y + z = 0 ),( y - 2z = 3 ):} $ ?
Conosco anche un vettore parallelo alla retta $r$ che è $v = (-3,-2,1)$.
Ho avuto una idea, ma non funziona direi:
Applicare la regola: $ sin (hat(r, pi )) = {al + bm + cn} / {sqrt{a^2 + b^2 + c^2} cdot sqrt{l^2 + m^2 + n^2}} $ sapendo che $(a,b,c)$ è un vettore ortogonale al piano e $(l,m,n)$ è un vettore parallelo alla retta $r$. ...
Salve sono nuovo del forum, vi allego tre esercizi di geometria, potete gentilmene spiegarmi passo per passo come risolverli? grazie mille
1) Determinare per quali valori del parametro reale t la matrice (3x3) A(t) = $((t-2,2,2),(0,t+2,0),(0,2,t^2 -4))$
non ha tre autovalori reali a due a due distinti tra loro. Inoltre, per ognuno di tali valori, scrivere gli
autovalori distinti di A(t).
2) Trovare una base per lo spazio U(w, x, y, z) delle soluzioni del sistema lineare omogeneo:
w – 2y = w – x + 2y + 3z ...
ciao a tutti,
il mio problema è, credo, semplice, ma non riesco a capire comunque come fare. Come posso, data l'equazione di un piano con relativi parametri a,b,c,d, individuare il verso della normale uscente dal piano stesso?
Come capire se ho a che fare con n1 o con n2? Grazie
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