Quesito sul determinante del prodotto di matrici
Salve, ho un problema con questo quesito che devo dimostrare:
A,B$in$$M_{n,n}$(R) non nulle, $A^2$=A e $B^2$=B $\Rightarrow$ det($A*B$)$!=$0
io ho provato in diversi modi, partendo dal fatto che det($A*B$) = det($A$)*det($B$) per Laplace, quindi devo dimostrare che det($A$)*det($B$)$!=$0 ossia det($A$)$!=$0 e det($B$)$!=$0
il problema principale consiste che non riesco a tradurre le informazioni $A^2$=A e $B^2$=B in modo da fare ragionamenti sul determinante; qualcuno può aiutarmi? Grazie
A,B$in$$M_{n,n}$(R) non nulle, $A^2$=A e $B^2$=B $\Rightarrow$ det($A*B$)$!=$0
io ho provato in diversi modi, partendo dal fatto che det($A*B$) = det($A$)*det($B$) per Laplace, quindi devo dimostrare che det($A$)*det($B$)$!=$0 ossia det($A$)$!=$0 e det($B$)$!=$0
il problema principale consiste che non riesco a tradurre le informazioni $A^2$=A e $B^2$=B in modo da fare ragionamenti sul determinante; qualcuno può aiutarmi? Grazie
Risposte
Ciao
Per scrivere bene le formule, non mischiare il modo matematico e il modo testo. Esempio: invece di scrivere
det($A$)*det($B$)
scrivi
$det(A)*det(B).$
In pratica, racchiudi l'intera formula tra i due dollari e non solo parti di essa.
Quanto alla domanda, prendi il determinante membro a membro in $A^2=A$ e $B^2=B$ e usa la moltiplicatività del determinante (formula che tu hai chiamato "di Laplace").
Per scrivere bene le formule, non mischiare il modo matematico e il modo testo. Esempio: invece di scrivere
det($A$)*det($B$)
scrivi
$det(A)*det(B).$
In pratica, racchiudi l'intera formula tra i due dollari e non solo parti di essa.
Quanto alla domanda, prendi il determinante membro a membro in $A^2=A$ e $B^2=B$ e usa la moltiplicatività del determinante (formula che tu hai chiamato "di Laplace").
Ciao, non capisco come possa aiutarmi la moltiplicatività del determinante partendo dal fatto che $A^2=A$ e $ B^2=B $ potrei usarla per il prodotto per scalari ma in questo caso non capisco come possa essermi utile
$det A^2 = (det A)^2$
Ok, quindi da $A^2=A$ ottengo $ det(A) * det(A) = det(A) $ quindi semplificando $ det(A)=1 $ ; poi faccio la stessa cosa per $ B $ e ottengo $ det(B)=1 $ , quindi $ det(A*B) = det(A) * det(B) =1*1=1$ quindi $ det(A*B) !=0 $ quindi l'implicazione è vera, giusto?
Risolvi bene le equazioni quadratiche. Potresti pure avere $det A= -1$, per esempio.
non mi torna il -1.... da $A^2 =A$ ottengo che $det(A^2)=det(A)$ quindi $(det(A))^2 =det(A)$ da cui $(det(A))^2 -det(A) =0$ quindi $det(A) *(det(A) -1) =0$ quindi $det(A)=0 o det(A)=1$ . Faccio la stessa cosa per B e ottengo $det(B)=0 o det(B)=1$ quindi $det(A)*det(B)=0 o 1$ in questo caso però l'implicazione non sarebbe sempre vera e quindi è falsa
Giusto, $-1$ non è soluzione, ma $0$ si. Quindi si, l'implicazione è falsa se uno permette ad $A$ o a $B$ di avere determinante nullo. (Ma immagino che la traccia escludesse questa possibilità, perché in effetti è il caso banale.)
Ok grazie dell'aiuto e della disponibilità 
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