Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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sia R2[x] lo spazio costituito dai polinomi di grado al più 2 e dal polinomio nullo. sia L: R2[x] -> R2[x] l'applicazione lineare tale che L(p(x))= xp'(x)-p(x), dove p' è la derivata del polinomio p(x).Trovare la matrice che rappresenta L rispetto alla base canonica R2[x] e dire se L è iniettiva o suriettiva.
Ragazzi vi prego è urgente,non so proprio che cosa fare!!
Ciao a tutti! Ho a che fare con il seguente esercizio diviso in due punti:
In $R^4$ si considderi la forma bilineare $ b: R^4 xx R^4 rarr R $ definita da:
$ b((x_1, x_2, x_3, x_4)^t,(y_1, y_2, y_3, y_4)^t) = 2x_1y_1 + x_2y_2 + 2x_3y_3 + x_3y_4 + x_4y_3 +x_4y_4 $
e il sottospazio: $ S = {(x_1, x_2, x_3, x_4)^t|x_1=x_2, x_3=x_4} $
1) Si dimostri che b è un prodotto scalare definito positivo;
2) nello spazio euclideo $(R^4,b)$, si determini una base ortonormale per S;
Di seguito posto la risoluzione:
1) scrivo la matrice associata alla forma bilineare $b$
$ ( ( 2 , 0 , 0, 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0, 0 , 2 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 2 ) ) $
essa è ...
Buonasera,
non riesco proprio a capire come applicare il teorema di Clairaut[nota][/nota] in quest'esercizio.
Si consideri la superficie $f$ (ellissoide di rotazione): $x^2/a^2+y^2/a^2+z^2/c^2=1$, ottenuto ruotando l'ellisse di equazione $x^2/a^2+z^2/c^2=1$ intorno all'asse $z$. Sia $gamma_1=f nn {z=0}$ la geodetica ottenuta come intersezione di $f$ con il piano $xy$. Sia $x=((a),(0),(0))$ un punto di $gamma_1$, e sia $alpha$ la ...
Ciao a tutti! Sto avendo difficoltà a risolvere un problema riguardante gli autovalori e gli autovettori di una matrice. Vi propongo l'esercizio e la mia (parziale soluzione).
Si consideri la matrice quadrata di ordine 3, $A=((1,-1,1),(1,-1,1),(1,-1,1))$
Si determino gli autovalori di A.
Si determino gli autovettori di A e si stabilisca, se esiste, una base di $R^3$ costituita da autovettori di A.
Il calcolo degli autovalori dovrei averlo capito, per prima cosa imposto e risolvo ...
Buon pomeriggio a tutti, tra poco dovrò sostenere lo scritto di Algebra lineare e mi servirebbe una mano per alcuni esercizi.
Dire se la matrice $ A=( ( 1 , -1 ),( 1 , 1 ) ) $ è definita o semidefinita in R. Dire se è definita o semidefinita in C. In caso affermativo calcolarne la radice quadrata.
Il mio dubbio è: la matrice può essere definita o semidefinita nonostante non sia simmetrica?
L'altro esercizio invece è: Sia $ \mathcal(M2)(H) $ lo spazio delle matrici 2x2 Hermitiane. Dire se ...
Ho questo esercizio:
$w_1=e1-e3$ e $w_2=2e1+e2$ dove la base è $B^3$
trovare una base di W generata da w1 e w2
il mio dubbio è che non capisco come verificare che w1 e w2 formino un sistema di generatori
fatta l'uguaglianza $(a,b) = (h_1+2h_2,h_2,-h_1)$ ho ottenuto questo sistema
${ (a=h_1+2h_2) , (b=h_2) , (c=-h_1) }$
quello che chiedo è ,più in generale, come capisco che i vettori sono un sistema di generatori dal sistema ottenuto facendo la combinazione lineare ?
Ciao, sto cercando di risolvere quest'esercizio sulle coniche. In particolare recita:
Nel piano euclideo, si determini la conica che sia tangente alla retta $ x-y+1=0 $ nel punto $ (0,1) $, tangente alla retta $ x+y+2=0 $ nel punto $ (-1,-1) $ e passante per il punto $ (2,1) $. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie!
Ciao a tutti.
Volevo chiedervi una mano con questo esercizio:
"Si consideri la retta $ r: x+y=0 $ . Siano $ R $ il punto generico di $ r $ ; $ p $ la polare di $ R $ rispetto a alla conica $ C: y^2 − 3x + 2 = 0 $. $ p' $ la polare di R rispetto alla conica $ C: x^2 + y^2 = 4 $ . Infine $ Q: pnn p' $
Determinare l'equazione del luogo descritto da $ Q $ al variare di $ R $ su $ r $ ."
Io ...
Salve ragazzi, avrei un problema a capire come trovare la matrice associata a questo isomorfismo.
Di solito trovavo qualcosa del tipo f(x,y,z) ma ora non riesco a capire come considerare quello che c'è tra parentesi. Ora vi posto la parte dell'esercizio che mi crea problemi.
Nello spazio vettoriale R2[x] si consideri l'endomorfismo fk ottenuto estendendo per
linearità le posizioni
fk(x + x^2)= k(1 + x) + (k + 1)(x + x^2) + (1)3
fk(1 + x) = 2(1 + x) + k(x + x^2) + (k-2)3
fk(3) = ...
Salve ragazzi, da poco ho iniziato a studiare per l'esame di geometria e algebra e mi è sorto un dubbio relativo alla matrice associata di un'applicazione lineare.
Per esempio se io avessi un'applicazione del tipo:
f_t (x,y,z)= (tx+tz, y+z, tx+y+(t-1)z)
Se mi viene chiesto di scrivere la matrice A_t associata a f_t ( senza specificare una base), devo sempre considerarla rispetto al riferimento canonico oppure devo considerare le componenti x,y,z che presentano come "valore" la t ?
Spero di ...
Ciao mi aiutereste per favore con questo esercizio:
Discutere e se esistono, determinare le soluzioni al variare del parametro a€R del seguente sistema:
Kx+2y+(k-1)z=k
2x+ky+z=2
Grazieee
Perché se si dispone di 3 vettori qualsiasi di R^3, per concludere che essi costituiscano una base è sufficiente verificare solo che siano linearmente indipendenti e non è invece necessario provare che sono anche generatori?
Salve ragazzi. Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questo esercizio...non so proprio da dove iniziare !
GRAZIE MILLE
p.s mi scuso per la forma ma è la mia prima domanda nel forum
Si considerino l'endomorfi
smo' :
\gamma : (x1; x2; x3) \in R3 ---> (x1 - x2 + x3; - x1 + x2; x1) \in R3
e l'endomorfsimo \eta di R3 defi
nito, rispetto al riferimento canonico R = (e1; e2; e3), dalle posizioni
(e1) = 7e1 + 7e2 + 3e3; (e2) = 2e2 + 2e3; (e3) = -5e1 - 5e2 - e3
(i) Scrivere la ...
Sia V il sottospazio diR4 generato da{(1,2,−2,0),(0,0,−3,1)}e sia W = {(x1,x2,x3,x4) ∈ R4|−x2 + 2x3 = 0}. Determinare la dimensione e una base per: V ∩W,V + W.
Help
Stabilire se il seguente sistema linerare a coefficienti in Z11 ammette soluzioni e in caso affermativo determinarle:
$ 4x + 279y + 254z = 340$
$ 56y -1 = 10$
$ x +6y -121z =0$
Allora,per verificare se il sistema ammette soluzioni devo verificare che il determinante della matrice incompleta
data dal sistema deve essere diverso da 0.Attraverso dei calcoli mi esce il seguente valore $-(56*424)-(56*2549$
e affermo,senza svolgere altri calcoli,che è diverso da zero.
Ora,voglio trovare la soluzione data ...
Perché il nucleo di una funzione lineare si studia attraverso il sistema omogeneo AX= 0 dove A è la matrice associata alla funzione nelle basi ordinate fissate per dominio e codominio? Il libro mi dice che il sistema e la condizione di appartenenza al nucleo sono scritture algebriche equivalenti, ma non riesco capire perché
Ciao a tutti
Ho un problema di geometria... Per introdurlo, devo fare un picco preambolo fisico, ovvero:
In un problema di fisica, mi è stato chiesto di calcolare l'energia magnetica $ U_m $ immagazzinata in un solenoide toroidale
Dunque, so che per calcolare $ U_m=int_V umdV dx $ in cui
$ um=\frac{B^2}{2\mu} $ dunque.. ecco cosa ottengo
$ \frac{B^2}{2\mu}int \pir^2 dl $ conosco ovviamente B, $ \mu $ e r è il raggio della sezione del toro
quindi procedo così
$ \frac{B^2}{2\mu) \pir^2 int_(0)^(2\pi) Rd\phi $ (R è ...
Buongiorno a tutti!
Ho un problema con un esercizio di geometria analitica, il cui testo è:
"Si consideri la circonferenza $ K $ : $ x^2+y^2-1=0 $ e la retta $ r:x=2 $ . Sia $ H $ un punto di $ r $, $ h $ la polare di
$ H $ rispetto a $ K $, $ P $ la proiezione ortogonale di $ O=(0,0) $ su $ h $ .
Determinare il luogo geometrico descritto da $ P $ al ...
è vero che i due sottospazi $W={A\in M_(2,2)(R):3a_(11)-a_(12)=0}$ e $U={p(t)\in R_3[t]:p(0)=0,p'(0)=p''(0)}$
hanno la stessa dimensione?
Vediamo di trovare $W$ e $U$
$W=((a_(11),a_(21)),(3a_(11),a_(22)))$
La dimensione di $W$ è data dal calcolo del rango.
Se il $Rg(W)=2->dim(W)=0$
Il determinante di $W$ è: $det(W)=a_(11)a_(22)-3a_(11)a_(21)$
Se tale determinante è uguale a zero allora il ranfo è 1 altrimenti è 2.
$p(t)=at^3+bt^2+ct+d$
$p(0)=d=0$
$p'(0)=c$
$p''(0)=2b$
quindi $c=2b$
Qui mi ...
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