Matrice associata all'applicazione lineare (di derivazione)
Buona sera a tutti, mi trovo in difficoltà nel risolvere questo esercizi di algebra lineare:
Si consideri l’applicazione lineare (di derivazione) $ D : R3[x] → R3[x] $ definita da $D(ax^3 + bx^2 + cx + d) = 3ax^2 + 2bx + c$.
Determinare la matrice A rappresentativa di D rispetto alla base $ B = {1, x, x2, x3} $ in dominio e codominio.
Ho già svolto alcuni esercizi (non molti) simili a questo, tuttavia in quei casi la mia funzione era definita mediante vettori nella forma: $ T(x_1, x_2, ..., x_n) = (a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1m}x_m, ..., a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... a_{nm}x_m) $
Sono rimasto un po' spiazzato.
Qualcuno può aiutarmi?
Si consideri l’applicazione lineare (di derivazione) $ D : R3[x] → R3[x] $ definita da $D(ax^3 + bx^2 + cx + d) = 3ax^2 + 2bx + c$.
Determinare la matrice A rappresentativa di D rispetto alla base $ B = {1, x, x2, x3} $ in dominio e codominio.
Ho già svolto alcuni esercizi (non molti) simili a questo, tuttavia in quei casi la mia funzione era definita mediante vettori nella forma: $ T(x_1, x_2, ..., x_n) = (a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1m}x_m, ..., a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... a_{nm}x_m) $
Sono rimasto un po' spiazzato.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Si procede in modo analogo, fissi la base standard: $B = {1, x, x^2, x^3}$ e calcoli la matrice $M_{B}(f) = ( [f(1)]_B | [f(x)]_B | [f(x^2)]_B | [f(x^3]_B)$ dove $[f(v)]_B$ sono le coordinate del vettore $v$ rispetto a $B$
Forse sbaglio ma, secondo me, si può semplificare la cosa utilizzando l'isomorfismo tra polinomi e i vettori dei suoi coefficienti. In altre parole al polinomio $ax^3+bx^2+cx+d$ sostituiamo il vettore:
\(\displaystyle\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix} \)
In tal modo l'applicazione T, di cui si vuole la matrice nelle basi standard, risulta essere questa:
\(\displaystyle T\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\3a\\2b\\c\end{bmatrix}\)
Pertanto la matrice richiesta è:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}0&0&0&0 \\ 3&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix} \)
In tal modo l'applicazione T, di cui si vuole la matrice nelle basi standard, risulta essere questa:
\(\displaystyle T\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\3a\\2b\\c\end{bmatrix}\)
Pertanto la matrice richiesta è:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}0&0&0&0 \\ 3&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} \)
Hai fatto esattamente quello che ho suggerito nel post precedente: hai scritto le coordinate del polinomio rispetto alla base standard di $\mathbb{R_3[x]}$, poi hai calcolato le coordinate delle immagini dei vettori della base e infine le hai messe in colonna per formare la matrice associata all'applicazione lineare. 
"sandroroma":
Forse sbaglio ma, secondo me, si può semplificare la cosa utilizzando l'isomorfismo tra polinomi e i vettori dei suoi coefficienti. In altre parole al polinomio $ax^3+bx^2+cx+d$ sostituiamo il vettore:
\(\displaystyle\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix} \)
In tal modo l'applicazione T, di cui si vuole la matrice nelle basi standard, risulta essere questa:
\(\displaystyle T\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\3a\\2b\\c\end{bmatrix}\)
Pertanto la matrice richiesta è:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}0&0&0&0 \\ 3&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} \)
Grazie, l'esempio ha chiarito molti dubbi
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