Geometria e Algebra Lineare

Inizio da due strane proprietà che ho trovato, di cui non ho capito il significato . A è il nome della matrice. $∣A^(−1)∣=1/|A| $ ok. Ma perché mai dovrebbe valere 1? $|A|=|−A| $(riferita ad una matrice quadrata di ordine 4). Come fa a sussistere questa uguaglianza? Poi Siano A,B,C tre matrici quadrate di ordine 3. Come posso dimostrare che la.seguente asserzione è falsa? Se $|ABC|=0$ e $C$ invertibile, allora l'inversa di $|A| $ non esiste Grazie:)

L'esercizio mi chiede di trovare il coseno delle normali di due piani e la retta parallela all'intersezione dei due piani e passante per $P(1,0,0)$: $ p_1 = 2x+y=1 $ $ p_2= x+y+z=0 $ Allora so che i due vettori direttori dei due piani sono rispettivamente $ p_1 rarr v(2,1,0) $ e $ p_2 rarr w(1,1,1) $ Calcolare il coseno dovrebbe essere semplice: $ cos(hat(vw))=(u\cdot v)/(|| v|||| w|| )=3/sqrt(15) $ A questo punto calcolo l'equazione della retta, e so che i due piani sono incidenti (proprio con l'angolo sopra ...

Vorrei proporvi il seguente esercizio, che ho svolto fino ad un certo punto, non riuscendo però a concluderlo: Si consideri la curva \(\displaystyle \mathcal{C}=\{[X,Y,Z] \in \mathbb{P^2(C)} \; : \; X^4-Y^4+Z^4=0\}\ \) e sia \(\displaystyle P=[0,i,1] \). Calcolare \(\displaystyle l(nP) \) per \(\displaystyle n \geq 0 \). Si verifica subito che \(\displaystyle \mathcal{C} \) è una curva non-singolare e, usando la formula del genere, \(\displaystyle g=g(\mathcal{C})= \frac{(4-1)(4-2)}{2}=3 ...

Salve a tutti, la prima parte di un esercizio ha questa come consegna: Sia $ R_3[x] $ lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nella variabile x, di grado minore o uguale a 3. 1) Si mostri che $ U ={p(x)in R_3[x]|p(1)=p(-1)=0} $ è un sottospazio vettoriale di $ R_3[x] $ La soluzione era questa: Per mostrare che U è un sottospazio dobbiamo mostrare che $ lambda p(x)+mu q(x)in U $ per ogni scelta di $ p(x), q(x)in U $ e per ogni $ lambda, mu in R $(fin qui ok). Ciò è immediato, ...

Salve a tutti volevo sapere soltanto perché i sistemi sovradeterminati(ovvero che hanno più incognite delle equazioni) non ammettono soluzione?

Salve a tutti, mi sto scervellando per un esercizio che non riesco proprio a capire come svolgerlo, cioè non so trovare il coefficiente angolare, non so da dove ci devo arrivare per trovarlo. Questo è il testo: Siano r ed s le rette di equazione, $y=3$ e $x =5$. Sia inoltre t la retta di equazione $y=mx+q$ passante per il punto $P=(-1/2,3)$ e tale che $m >0$. Per quale $m>0$, l'area del trapezio delimitato dalle rette, ...

Ciao a tutti ragazzi, sono nuovo nel forum e volevo chiedervi la verifica di un esercizio di algebra lineare. L'esercizio è il seguente: Data l'applicazione lineare $f:R^3 -> R^2$ tale che $f(x,y,z) = (x-2y, y-x)$, determinare una base di Ker f e una base di Im f e stabilire se f è iniettiva o suriettiva. Riduco a gradini la matrice $[[1,-2,0],[-1,1,0]]$, sommando $a_2$ con $a_1$, ottenendo la matrice $[[1,-2,0],[0,-1,0]]$, che moltiplico per il vettore colonna ed imponendo il ...

Buonasera ragazzi, mi sono imbattuto in questo esercizio (molto semplice) che mi sta creando qualche problema. Il testo è il seguente: Dati i sottospazi vettoriali di $R^4$: $W_1={(x,y,z,t) in R^4 : x=z}$ e $W_2=L((2,1,2,0),(1,1,1,1),(3,2,3,1))$. Calcolare la dimensione di $W_1 nn W_2$ Io l'ho svolto in questo modo: Ho intanto trovato il sottospazio vettoriale $W_1=L((1,0,1,0))$, successivamente mi sono calcolato la dimensione del sottospazio $W_1+W_2$ calcolando il rango della seguente ...

Salve a tutti, sto facendo degli esercizi di geometria e algebra degli esami precedenti del mio professore senza però esserci i risultati e volevo sapere se come sto procedendo è giusto. Es.1 Nel primo mi chiede di stabilire se B={x^2 - 5x+3; x; 2x^2 - 9x+7} è una base di R2[x]. Per prima cosa ho considerato B rispetto la base {x^2;x;1} e ho trovato B={(1,-5,3);(0,1,0);(2,-9,7)}, dopo di che ho considerato la matrice associata A, dove i vettori di B le colonne di A e ho trovato che il ...

Salve, non riesco a capire una cosa di questo esercizio: La matrice associata rispetto alle basi canoniche perché non è: \[ A= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ -3 & 1/3 & -1/5 \end{bmatrix} \]

Ciao a tutti sono nuova nel forum, volevo chiedervi una mano con questo esercizio di geometria analitica nel piano. Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz sono dati il punto A(1,0,3) e la retta r: $\{(x+2y = 1),(y-z=0)):}$ . 1. Scrivere la retta s passante per A e parallela a r. 2. Calcolare la distanza s tra r e s. 3. Scrivere il piano $\alpha$ contenente r e s. 4. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza ...

Salve, dopo svariati ricerche su internet e sul forum ho deciso di scrivere e chiedervi un aiutino, in prossimità dell'esame di algebra lineare. Vi posto un esercizio sul quale non riesco a muovermi e non so come risolverlo: La distanza fra le rette affini (1,2,−1)+$langle$(1,0,1)$rangle$ e $langle$(1,1,1)$rangle$ `e: A) \sqrt{2} B) \sqrt{2} / 2 C) 0 D)\sqrt{2} /3 E) N.A più che la soluzione mi servirebbe capire come muovermi difronte a un esercizio del ...

Salve ragazzi. Ho un dubbio che riguarda l'applicazione del teorema di Rouché-Capelli. Data la matrice M, con b vettore termini noti, devo trovare quando ho infinte soluzioni, una soluzione e quando non ho mai soluzioni. \[ M= \begin{bmatrix} 0 & k \\ 2k & 2 \\ -k & -1 \end{bmatrix} \] \[ b= \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix} \] Ho trovato che per k^2 !=0 ho Rk(A)=2 mentre per k!=0 ho Rk(A|b)=2. Quindi posso affermare che per k!=0 ho una soluzione, ...

Buonasera. Devo determinare per quale valore di t due vettori sono linearmente dipendenti e quando non lo sono. Dati i due vettori u={1,1,t) v={2,t,1} vado a calcolare il determinante, trovando t=2. Quindi posso dedurre che per t=2 sono linearmente dipendenti. Ora sostituisco il parametro con il valore del determinante quindi 2 e ricalcolo i determinanti per ogni minore 2x2, trovando quindi 0 e -3. Siccome ho trovato un determinante diverso da 0 allora posso affermare che il rango massimo e' ...

Salve Ho un dubbio riguardante la composizione di applicazioni lineari ; solitamente negli esercizi ho la richiesta tipo : Data $f: RR^4 \rightarrow RR^3 $ e $j: RR^3 \rightarrow RR^4$ Studiare $ \varphi = f \circ j : RR^3 \rightarrow RR^3 $ ; la richiesta di Studiare $ \varphi = f \circ j : RR^3 \rightarrow RR^3 $ è una richiesta " obbligata " da qualche regola o potevamo trovare, chessò $ \varphi = f \circ j : RR^4 \rightarrow RR^3 $ oppure $ \varphi = f \circ j : RR^4 \rightarrow RR^4 $ o altro .. ? grazie per le delucidazioni e scusate la domanda banale

Una n-pla $(v_1, ... , v_n)$ di vettori dello spazio vettoriale $V$ è linearmente dipendente se e soltanto se: [1]$dim L(v_1, ... , v_n) < n$ [2] uno dei vettori $v_i$ non e combinazione lineare dei restanti [3] uno dei vettori $v_i$ è nullo [4] i vettori $v_i$ non sono tutti distinti Qualcuno sa darmi una spiegazione sulla risposta corretta? Grazie

Ciao! Ho bisogno di un aiuto su una diagonallizzazione come da titolo credo banale. $ ( ( 6 , 0 ),( 8 , 6 ) ) $ Mi si chiede di trovare autovalori autospazi e diagonalizzabilità. $ A-lambda I= ( ( 6-lambda , 0 ),( 8 , 6-lambda ) ) $ $ det(A-lambda I)= (6-lambda)^2 $ $ lambda_0= 6 $ $ m_a(6)= m_(g)(6)=1 $ Quindi dato che la molteplicità geometrica più la molteplicità algebrica è uguale all'ordine della matrice (2) la matrice dovrebbe essere diagonalizzabile. l'autospazio per $lambda_0=6$ è $ ( ( 0 ),( 1 ) ) $ Bene a questo punto non so più che ...

ciao e grazie a te che stai per leggere la mia domanda ti prego aiutami Nello spazio euclideo E3 con un fissato riferimento ortonormale sono assegnate due rette $r$ e $s$. 1) in quali casi è unico il piano passante per $r$ e parallelo ad $s$? 2) per le rette rappresentate dai sistemi $\{(x+z-1=0),(y = 0):}$ , $\{(x=y),(z = 1):}$ rispettivamente $r$ e $s$ qual'è l'equazione del piano ? 3)cosa costituiscono le rette di ...

Ciao a tutti! Ho dei dubbi sul seguente esercizio: Nello spazio $V = Mat(2,R)$ delle matrici reali quadrate di ordine 2 si consideri la base: $ B = { ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ),( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ),( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) )} $ Sia $ F:Vrarr V $ l'operatore rappresentato rispetto alla base $B$ dalla matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 0 ),( -2 , 0, 0 , 2 ) ) $ Determinare matrici che costituiscano una base di $ker(F)$ L'ho risolto come segue: ho trasformato la matrice rappresentativa rispetto alla base $B$ nella matrice rappresentativa rispetto ...

Ciao a tutti ragazzi, sto preparando l'esame di Geometria e Algebra lineare. Spiegando l'equazione cartesiana della retta ( nulla di complicato insomma ) il mio professore imposta la matrice $((x,y,1),(x0,y0,1),(x1,y1,1))$ Con x,y coordinate di un punto qualsiasi appartenente alla retta e x0 y0 e x1 y1 coordinate di due punti noti appartenenti alle retta. Adesso calcolando il determinante secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene l'equazione cartesiana della retta. Qualcuno saprebbe dirmi il motivo ...