Geometria e Algebra Lineare

Salve a tutti, apro il post piú per raccogliere delle chiare e precise definizioni di alcuni concetti, affrontati in un primo corso di algebra lineare, visti peró nel caso "infinito"... Ritrovandomi a studiare questa parte di matematica con gli strumenti di algebra lineare, mi ritrovo una marea di definizioni, per non parlare di certi modi di dire, che mi stanno mandando nel pallone piú totale. Veniamo al dunque, spero tutti hanno almeno studiato algebra lineare nel caso di spazi vettoriali ...

Inizio da due strane proprietà che ho trovato, di cui non ho capito il significato . A è il nome della matrice. $∣A^(−1)∣=1/|A| $ ok. Ma perché mai dovrebbe valere 1? $|A|=|−A| $(riferita ad una matrice quadrata di ordine 4). Come fa a sussistere questa uguaglianza? Poi Siano A,B,C tre matrici quadrate di ordine 3. Come posso dimostrare che la.seguente asserzione è falsa? Se $|ABC|=0$ e $C$ invertibile, allora l'inversa di $|A| $ non esiste Grazie:)

L'esercizio mi chiede di trovare il coseno delle normali di due piani e la retta parallela all'intersezione dei due piani e passante per $P(1,0,0)$: $ p_1 = 2x+y=1 $ $ p_2= x+y+z=0 $ Allora so che i due vettori direttori dei due piani sono rispettivamente $ p_1 rarr v(2,1,0) $ e $ p_2 rarr w(1,1,1) $ Calcolare il coseno dovrebbe essere semplice: $ cos(hat(vw))=(u\cdot v)/(|| v|||| w|| )=3/sqrt(15) $ A questo punto calcolo l'equazione della retta, e so che i due piani sono incidenti (proprio con l'angolo sopra ...

Vorrei proporvi il seguente esercizio, che ho svolto fino ad un certo punto, non riuscendo però a concluderlo: Si consideri la curva \(\displaystyle \mathcal{C}=\{[X,Y,Z] \in \mathbb{P^2(C)} \; : \; X^4-Y^4+Z^4=0\}\ \) e sia \(\displaystyle P=[0,i,1] \). Calcolare \(\displaystyle l(nP) \) per \(\displaystyle n \geq 0 \). Si verifica subito che \(\displaystyle \mathcal{C} \) è una curva non-singolare e, usando la formula del genere, \(\displaystyle g=g(\mathcal{C})= \frac{(4-1)(4-2)}{2}=3 ...

Salve a tutti, la prima parte di un esercizio ha questa come consegna: Sia $ R_3[x] $ lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nella variabile x, di grado minore o uguale a 3. 1) Si mostri che $ U ={p(x)in R_3[x]|p(1)=p(-1)=0} $ è un sottospazio vettoriale di $ R_3[x] $ La soluzione era questa: Per mostrare che U è un sottospazio dobbiamo mostrare che $ lambda p(x)+mu q(x)in U $ per ogni scelta di $ p(x), q(x)in U $ e per ogni $ lambda, mu in R $(fin qui ok). Ciò è immediato, ...

Salve a tutti volevo sapere soltanto perché i sistemi sovradeterminati(ovvero che hanno più incognite delle equazioni) non ammettono soluzione?

Salve a tutti, mi sto scervellando per un esercizio che non riesco proprio a capire come svolgerlo, cioè non so trovare il coefficiente angolare, non so da dove ci devo arrivare per trovarlo. Questo è il testo: Siano r ed s le rette di equazione, $y=3$ e $x =5$. Sia inoltre t la retta di equazione $y=mx+q$ passante per il punto $P=(-1/2,3)$ e tale che $m >0$. Per quale $m>0$, l'area del trapezio delimitato dalle rette, ...

Ciao a tutti ragazzi, sono nuovo nel forum e volevo chiedervi la verifica di un esercizio di algebra lineare. L'esercizio è il seguente: Data l'applicazione lineare $f:R^3 -> R^2$ tale che $f(x,y,z) = (x-2y, y-x)$, determinare una base di Ker f e una base di Im f e stabilire se f è iniettiva o suriettiva. Riduco a gradini la matrice $[[1,-2,0],[-1,1,0]]$, sommando $a_2$ con $a_1$, ottenendo la matrice $[[1,-2,0],[0,-1,0]]$, che moltiplico per il vettore colonna ed imponendo il ...

Buonasera ragazzi, mi sono imbattuto in questo esercizio (molto semplice) che mi sta creando qualche problema. Il testo è il seguente: Dati i sottospazi vettoriali di $R^4$: $W_1={(x,y,z,t) in R^4 : x=z}$ e $W_2=L((2,1,2,0),(1,1,1,1),(3,2,3,1))$. Calcolare la dimensione di $W_1 nn W_2$ Io l'ho svolto in questo modo: Ho intanto trovato il sottospazio vettoriale $W_1=L((1,0,1,0))$, successivamente mi sono calcolato la dimensione del sottospazio $W_1+W_2$ calcolando il rango della seguente ...

Salve a tutti, sto facendo degli esercizi di geometria e algebra degli esami precedenti del mio professore senza però esserci i risultati e volevo sapere se come sto procedendo è giusto. Es.1 Nel primo mi chiede di stabilire se B={x^2 - 5x+3; x; 2x^2 - 9x+7} è una base di R2[x]. Per prima cosa ho considerato B rispetto la base {x^2;x;1} e ho trovato B={(1,-5,3);(0,1,0);(2,-9,7)}, dopo di che ho considerato la matrice associata A, dove i vettori di B le colonne di A e ho trovato che il ...

Salve, non riesco a capire una cosa di questo esercizio: La matrice associata rispetto alle basi canoniche perché non è: \[ A= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ -3 & 1/3 & -1/5 \end{bmatrix} \]

Ciao a tutti sono nuova nel forum, volevo chiedervi una mano con questo esercizio di geometria analitica nel piano. Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxyz sono dati il punto A(1,0,3) e la retta r: $\{(x+2y = 1),(y-z=0)):}$ . 1. Scrivere la retta s passante per A e parallela a r. 2. Calcolare la distanza s tra r e s. 3. Scrivere il piano $\alpha$ contenente r e s. 4. Scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza ...

Salve, dopo svariati ricerche su internet e sul forum ho deciso di scrivere e chiedervi un aiutino, in prossimità dell'esame di algebra lineare. Vi posto un esercizio sul quale non riesco a muovermi e non so come risolverlo: La distanza fra le rette affini (1,2,−1)+$langle$(1,0,1)$rangle$ e $langle$(1,1,1)$rangle$ `e: A) \sqrt{2} B) \sqrt{2} / 2 C) 0 D)\sqrt{2} /3 E) N.A più che la soluzione mi servirebbe capire come muovermi difronte a un esercizio del ...

Salve ragazzi. Ho un dubbio che riguarda l'applicazione del teorema di Rouché-Capelli. Data la matrice M, con b vettore termini noti, devo trovare quando ho infinte soluzioni, una soluzione e quando non ho mai soluzioni. \[ M= \begin{bmatrix} 0 & k \\ 2k & 2 \\ -k & -1 \end{bmatrix} \] \[ b= \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix} \] Ho trovato che per k^2 !=0 ho Rk(A)=2 mentre per k!=0 ho Rk(A|b)=2. Quindi posso affermare che per k!=0 ho una soluzione, ...

Buonasera. Devo determinare per quale valore di t due vettori sono linearmente dipendenti e quando non lo sono. Dati i due vettori u={1,1,t) v={2,t,1} vado a calcolare il determinante, trovando t=2. Quindi posso dedurre che per t=2 sono linearmente dipendenti. Ora sostituisco il parametro con il valore del determinante quindi 2 e ricalcolo i determinanti per ogni minore 2x2, trovando quindi 0 e -3. Siccome ho trovato un determinante diverso da 0 allora posso affermare che il rango massimo e' ...

Salve Ho un dubbio riguardante la composizione di applicazioni lineari ; solitamente negli esercizi ho la richiesta tipo : Data $f: RR^4 \rightarrow RR^3 $ e $j: RR^3 \rightarrow RR^4$ Studiare $ \varphi = f \circ j : RR^3 \rightarrow RR^3 $ ; la richiesta di Studiare $ \varphi = f \circ j : RR^3 \rightarrow RR^3 $ è una richiesta " obbligata " da qualche regola o potevamo trovare, chessò $ \varphi = f \circ j : RR^4 \rightarrow RR^3 $ oppure $ \varphi = f \circ j : RR^4 \rightarrow RR^4 $ o altro .. ? grazie per le delucidazioni e scusate la domanda banale

Una n-pla $(v_1, ... , v_n)$ di vettori dello spazio vettoriale $V$ è linearmente dipendente se e soltanto se: [1]$dim L(v_1, ... , v_n) < n$ [2] uno dei vettori $v_i$ non e combinazione lineare dei restanti [3] uno dei vettori $v_i$ è nullo [4] i vettori $v_i$ non sono tutti distinti Qualcuno sa darmi una spiegazione sulla risposta corretta? Grazie

Ciao! Ho bisogno di un aiuto su una diagonallizzazione come da titolo credo banale. $ ( ( 6 , 0 ),( 8 , 6 ) ) $ Mi si chiede di trovare autovalori autospazi e diagonalizzabilità. $ A-lambda I= ( ( 6-lambda , 0 ),( 8 , 6-lambda ) ) $ $ det(A-lambda I)= (6-lambda)^2 $ $ lambda_0= 6 $ $ m_a(6)= m_(g)(6)=1 $ Quindi dato che la molteplicità geometrica più la molteplicità algebrica è uguale all'ordine della matrice (2) la matrice dovrebbe essere diagonalizzabile. l'autospazio per $lambda_0=6$ è $ ( ( 0 ),( 1 ) ) $ Bene a questo punto non so più che ...

ciao e grazie a te che stai per leggere la mia domanda ti prego aiutami Nello spazio euclideo E3 con un fissato riferimento ortonormale sono assegnate due rette $r$ e $s$. 1) in quali casi è unico il piano passante per $r$ e parallelo ad $s$? 2) per le rette rappresentate dai sistemi $\{(x+z-1=0),(y = 0):}$ , $\{(x=y),(z = 1):}$ rispettivamente $r$ e $s$ qual'è l'equazione del piano ? 3)cosa costituiscono le rette di ...

Ciao a tutti! Ho dei dubbi sul seguente esercizio: Nello spazio $V = Mat(2,R)$ delle matrici reali quadrate di ordine 2 si consideri la base: $ B = { ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ),( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ),( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) )} $ Sia $ F:Vrarr V $ l'operatore rappresentato rispetto alla base $B$ dalla matrice $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 0 ),( -2 , 0, 0 , 2 ) ) $ Determinare matrici che costituiscano una base di $ker(F)$ L'ho risolto come segue: ho trasformato la matrice rappresentativa rispetto alla base $B$ nella matrice rappresentativa rispetto ...