Applicazione lineare con polinomi

[angelad97]

sia R2[x] lo spazio costituito dai polinomi di grado al più 2 e dal polinomio nullo. sia L: R2[x] -> R2[x] l'applicazione lineare tale che L(p(x))= xp'(x)-p(x), dove p' è la derivata del polinomio p(x).Trovare la matrice che rappresenta L rispetto alla base canonica R2[x] e dire se L è iniettiva o suriettiva.

Ragazzi vi prego è urgente,non so proprio che cosa fare!!

[anto_zoolander]

Mezza idea tua? Ne basta mezza.

[angelad97]

R2[x]=${a+bx+cx^2}$
Trovo $L(p(x))=bx+2cx^2-a-bx-cx^2$
ma poi come faccio a trovare la matrice?

[sandroroma]

Sia $p(x)=ax^2+bx+c $ e quindi $xp'(x)-p(x)=x(2ax+b)-ax^2-bx-c=ax^2-c$
Usiamo ora l'isomorfismo che permette di sostituire ad ogni polinomio il vettore dei suoi coefficienti.
Più precisamente si ha :
$ax^2+bx+c ->(a,b,c)^t$
Nel nostro caso si ha quindi la relazione:
$L(a,b,c)^t=(a,0,-c)^t$
Ne segue cha la matrice richiesta è:
\begin{bmatrix}1&0&0\\ 0&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}
N.B. I simboli con "^" vanno letti come vettori scritti in verticale.