Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Perché il nucleo di una funzione lineare si studia attraverso il sistema omogeneo AX= 0 dove A è la matrice associata alla funzione nelle basi ordinate fissate per dominio e codominio? Il libro mi dice che il sistema e la condizione di appartenenza al nucleo sono scritture algebriche equivalenti, ma non riesco capire perché
Ciao a tutti
Ho un problema di geometria... Per introdurlo, devo fare un picco preambolo fisico, ovvero:
In un problema di fisica, mi è stato chiesto di calcolare l'energia magnetica $ U_m $ immagazzinata in un solenoide toroidale
Dunque, so che per calcolare $ U_m=int_V umdV dx $ in cui
$ um=\frac{B^2}{2\mu} $ dunque.. ecco cosa ottengo
$ \frac{B^2}{2\mu}int \pir^2 dl $ conosco ovviamente B, $ \mu $ e r è il raggio della sezione del toro
quindi procedo così
$ \frac{B^2}{2\mu) \pir^2 int_(0)^(2\pi) Rd\phi $ (R è ...
Buongiorno a tutti!
Ho un problema con un esercizio di geometria analitica, il cui testo è:
"Si consideri la circonferenza $ K $ : $ x^2+y^2-1=0 $ e la retta $ r:x=2 $ . Sia $ H $ un punto di $ r $, $ h $ la polare di
$ H $ rispetto a $ K $, $ P $ la proiezione ortogonale di $ O=(0,0) $ su $ h $ .
Determinare il luogo geometrico descritto da $ P $ al ...
è vero che i due sottospazi $W={A\in M_(2,2)(R):3a_(11)-a_(12)=0}$ e $U={p(t)\in R_3[t]:p(0)=0,p'(0)=p''(0)}$
hanno la stessa dimensione?
Vediamo di trovare $W$ e $U$
$W=((a_(11),a_(21)),(3a_(11),a_(22)))$
La dimensione di $W$ è data dal calcolo del rango.
Se il $Rg(W)=2->dim(W)=0$
Il determinante di $W$ è: $det(W)=a_(11)a_(22)-3a_(11)a_(21)$
Se tale determinante è uguale a zero allora il ranfo è 1 altrimenti è 2.
$p(t)=at^3+bt^2+ct+d$
$p(0)=d=0$
$p'(0)=c$
$p''(0)=2b$
quindi $c=2b$
Qui mi ...
magari la risposta è ovvia ma siccome non l'ho visto scritto da nessuna parte vorrei sincerarmi di alcune cose... parto da un esempio generico ma i miei problemi arrivano pensando a R3
Suppongo uno spazio vettoriale di dimensione 2 generato da una base B=(v1,v2).
In primis, se ho capito bene questi due vettori non devono avere per forza due componenti,cioè tipo v1=(a,b), potrebbero anche averne molte di più, magari v1=(a,b,c,d,), giusto?
Detto ciò, un qualunque altro vettore v di questo ...
Buonasera a tutti volevo proporvi questo esercizio di geometria che non sono riuscito a risolvere completamente:
"Sia data la base di $ R^3 $ formata dai vettori $ v^1 =(1,2,3), v^2=(2,0,2) , v^3=(0,2,3) $ . Sia $ f $ l'endomorfismo di $ R^3 $ il cui nucleo è generato da v1 e v2 e tale che $ f(v^3)=v^2 $ .
Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base formata da v1,v2 e v3.
Determinare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica."
Sono riuscito ...
Sia P4 = {a + bx + c$x^2$ + d$x^3$ + e$x^4$,∈R}
lo spazio costituito dai polinomi di grado al più 4 e dal polinomio nullo. Si dimostri che il sottoinsieme di P4 costituito dai polinomi che si annullano in −1 `e un sottospazio, determinarne la dimensione e una base.
Potreste mostrarmi il procedimento da seguire???
Ciao. la traccia mi dice che la retta definita dalle equazioni 3x-y-3=0 e 4x-z-3=0 è l'asse di un fascio proprio di piani. Poi mi da un altro piano tt: 5x+y-2z-3=0 e mi chiede di determinare un piano appartenente al fascio che sia parallelo al piano dato tt, e un piano appartenente al fascio che sia ortogonale al piano dato tt. Poi mi chiede qual è il luogo dei punti descritto dall'intersezione tra tt e il piano parallelo che dovevo trovare. Grazie mille in anticipo
Ciao ragazzi sono alle prese con i primi esercizi di algebra lineare e ho trovato subito difficoltà. Li riporto:
1)Stabilire se esistono applicazioni lineari da R2 a R4 tali che:
L(1,2)=(0,0,1,0) L(3,0)=(2,0,1,0) L(2,1)=(1,1,0,1)
2)si consideri l'applicazione lineare f: R3->R3 tale che:
L(e2)=e3 L(e2+e3)=3e1 L(e1+e3)=e2
Ove C={e1,e2,e3} indica la base canonica di R3. Determinare una base di Im(3L)
Grazie in anticipo
Buongiorno,
Sto provando a risolvere questo esercizio di geometria, devo trovare un piano che passa per il punto P ( -1,-2,2) ed è ortogonale all'equazione del piano $ beta (-y+2z=6) $ .
Ma non ho proprio idea da dove partire, so solo che quando due piani sono ortogonali i parametri direttori sono dati dal prodotto vettoriale dei loro vettori normali.
Grazie per l'aiuto.
Buonasera ragazzi! Avrei dei dubbi su questa tipologia di esercizi relativi ad autovalori e autovettori, come potrei venirne a capo?
Data una matrice A quadrata di ordine n, supponendo che X sia un autovettore di A associato all'autovalore 3, mostrare che X è autovettore di $A^2$ e determinare l'autovalore.
Data una matrice A quadrata di ordine n, supponendo che X sia autovettore di A associato all'autovalore 5, mostrare che X è autovettore di A + $I_n$ e ...
Salve gente!
Ho dei dubbi riguardo un paio di esercizi di algebra.
Il primo esercizio mi chiede di trovare una base ortonormale per lo spazio $ V=span{(0,2,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,1,2)} $ ora, la base ortonormale si trova utilizzando Gram-Schimdt, ma prima devo estrarre una base dallo span?
L'altro esercizio invece mi chiede se lo spazio vettoriale $ V=span{(0,1,1),(1,1,0),(0,1,0)} $ è somma diretta dei sottospazi $ V1=span{(1,1,0)} $ e $ V2=span{(0,1,0),(0,0,1)} $ allora, so che uno spazio vettoriale è somma diretta di due sottospazi se:
...
Ciao! Non so bene come svolgere un esercizio nel quale mi si chiede di trovare un piano passante per un punto e perpendicolare a due piani. Dice: nello spazio euclideo tridimensionale trovare l'equazione cartesiana di un piano passante per P(-1,3,1) e perpendicolare ai piani di equazione 2x-y+z=3 e x+y=6. In particolare faccio fatica a capire come possa esistere un piano perpendicolare a due piani a meno che questi non siano tra loro paralleli. Pensavo di trovare i coefficienti (a,b,c) e ...
Ciao a tutti! Riporto il testo dell'esercizio in questione.
Sia $V$ lo spazio vettoriale delle matrici 2x2 al variare del parametro reale $h$, si consideri l'applicazione lineare $ Phi_h : V rarr V $ tale che $ Phi_h(A) = AB_h - B_h A $ dove $ B_h $ è uguale a:
$ ( ( 2 , 2h ),( -4 , 2 ) ) $
La richiesta dell'esercizio è: trovare una matrice rappresentativa per $ Phi_h $.
Di seguito posto il mio procedimento
Considero A come una matrice 2x2 generica a valori in ...
Buonasera!
Ho questo problema:
Si determini un’equazione dell’iperbole equilatera $I$ avente la retta $a_1 : x + y = 0$ come asintoto, la retta $d : 3x - y -4 = 0$ come diametro, e tale che l’origine e $P(1,1)$ siano punti coniugati rispetto a $I$. Si determinino inoltre gli assi di $I$.
Ho determinate facilmente l'altro asintoto $a_2$ e il centro, sapendo che $a_1$ deve essere perpendicolare ad ...
Salve ragazzi,
sto preparando l'esame di Algebra e Geometria (sono alla facoltà di Ingegneria) ho un piccolo dubbio riguardo ai sistemi di generatori.
In pratica dal nostro professore un sistema di generatori ci è stato definito come un particolare Sistema di vettori la cui chiusura lineare genera tutto lo spazio vettoriale in cui il sistema è definito.
Adesso, però, in un esercizio, mi viene dato un sistema di 4 vettori definito in R^3, che è il seguente:
S = {(1,0,1) , (0,-1,0) , (0,1,1) , ...
Sia L : R3 −→ R2 tale che L(1,0,0) = (3,1) e {(0,2,1),(1,0,−1)}∈ KerL . Trovare la matrice che rappresenta L rispetto alla base canonica e dire se L `e iniettiva o suriettiva.
Aiutoo
Salve a tutti. Sono un assiduo visitatore del forum e devo innanzitutto ringraziarvi per l'aiuto dato inconsciamente al mio percorso di studi. Dopo questa piccola premessa, chiedo per la prima volta aiuto in maniera diretta: non conosco e non riesco a trovare da nessuna parte una definizione o un esempio di "Matrice Diagonalizzante Unitaria". Ho già consultato il vostro forum, effettuato ricerche su internet e su manuali cartacei (anche in altre lingue), ma non sono proprio riuscito a trovare ...
Salve volevo porvi questo esercizio che non riesco a risolvere .
"Utilizzare il metodo di Gauss-Seidel con tolleranza e^(-6) per ottenere una approssimazione della soluzione del sistema lineare Ax=b dove A è la matrice di Hilbert di ordine 10, b è il vettore dei termini noti costruito supponendo che la soluzione del sistema sia il vettore avente tutte le componenti uguali a 1.
Confrontare la soluzione ottenuta con il metodi di Gauss-Seidel con la soluzioni reale fornendo l'errore in norma ...
Buongiorno a tutti,
qualcuno potrebbe darmi una mano a risolvere alcune parti del seguente esercizio?
Per ogni $hinRR$ si consideri la matrice $A_h$ = $ ( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , h ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
1) Determinare tutti gli autovalori di $A_h$, verificando che siano indipendenti da $hinRR$ e trovare i valori di $hinRR$ per cui $A_h$ risulta diagonalizzabile.
2) Posto $h=0$ determinare una base per ogni autospazio di $A_0$ e ...
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