Ricerca autovettori da autovalori
Ciao a tutti! Sto avendo difficoltà a risolvere un problema riguardante gli autovalori e gli autovettori di una matrice. Vi propongo l'esercizio e la mia (parziale soluzione).
Si consideri la matrice quadrata di ordine 3, $A=((1,-1,1),(1,-1,1),(1,-1,1))$
Si determino gli autovalori di A.
Si determino gli autovettori di A e si stabilisca, se esiste, una base di $R^3$ costituita da autovettori di A.
Il calcolo degli autovalori dovrei averlo capito, per prima cosa imposto e risolvo l'equazione:
$A - \lambda * Id = A=((1-\lambda,-1,1),(1,-1-\lambda,1),(1,-1,1-\lambda))$
Successivamente calcolo il determinante della matrice così ottenuta:
$det(A - \lambda * Id) = ... = \lambda^2-\lambda^3=\lambda^2(1-\lambda)$
Gli autovalori sono quindi:
$\lambda=1$ con molteplicità 1
$\lambda=0$ con molteplicità 2
È corretto?
Ora dovrei iniziare il calcolo degli autovettori, inizio con quello associato a $\lambda=0$:
$A - \lambda * Id = A=((1,-1,1),(1,-1,1),(1,-1,1))$
Riduco la matrice utilizzando il metodo di Gauss, sottraggo alla seconda e alla terza riga la prima e ottengo:
$A - \lambda * Id = A=((1,-1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
Da cui ricavo il sistema:
$x-y+z=0 \to y=x+z \to (x, x+z, z)$
Tutto corretto? Qui mi perdo, credo di dover sostituire dei numeri al posto di x e z, inoltre credo di doverlo fare due volte a casa della molteplicità. Quindi provo (ma non so bene perché) a sostituire prima 1 al posto di x e poi 1 al posto di z. Così ottengo:
$(1,1,0)$ e $(-1,0,1)$
Ha senso? Mi spiegate il perché?
Poi dovrei procedere con il secondo autovalore, sostituendo $\lambda=1$:
$A - \lambda * Id = A=((0,-1,1),(1,-2,1),(1,-1,0))$
Il problema è che non riesco a ridurre molto questa matrice, al limite posso sommare la prima alla terza riga, e poi sottrarre alla prima così ottenuta la seconda, in questo modo otterrei:
$A - \lambda * Id = A=((0,0,0),(1,-2,1),(1,-1,0))$
Mi potete chiarire i dubbi? Grazie!
Si consideri la matrice quadrata di ordine 3, $A=((1,-1,1),(1,-1,1),(1,-1,1))$
Si determino gli autovalori di A.
Si determino gli autovettori di A e si stabilisca, se esiste, una base di $R^3$ costituita da autovettori di A.
Il calcolo degli autovalori dovrei averlo capito, per prima cosa imposto e risolvo l'equazione:
$A - \lambda * Id = A=((1-\lambda,-1,1),(1,-1-\lambda,1),(1,-1,1-\lambda))$
Successivamente calcolo il determinante della matrice così ottenuta:
$det(A - \lambda * Id) = ... = \lambda^2-\lambda^3=\lambda^2(1-\lambda)$
Gli autovalori sono quindi:
$\lambda=1$ con molteplicità 1
$\lambda=0$ con molteplicità 2
È corretto?
Ora dovrei iniziare il calcolo degli autovettori, inizio con quello associato a $\lambda=0$:
$A - \lambda * Id = A=((1,-1,1),(1,-1,1),(1,-1,1))$
Riduco la matrice utilizzando il metodo di Gauss, sottraggo alla seconda e alla terza riga la prima e ottengo:
$A - \lambda * Id = A=((1,-1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
Da cui ricavo il sistema:
$x-y+z=0 \to y=x+z \to (x, x+z, z)$
Tutto corretto? Qui mi perdo, credo di dover sostituire dei numeri al posto di x e z, inoltre credo di doverlo fare due volte a casa della molteplicità. Quindi provo (ma non so bene perché) a sostituire prima 1 al posto di x e poi 1 al posto di z. Così ottengo:
$(1,1,0)$ e $(-1,0,1)$
Ha senso? Mi spiegate il perché?
Poi dovrei procedere con il secondo autovalore, sostituendo $\lambda=1$:
$A - \lambda * Id = A=((0,-1,1),(1,-2,1),(1,-1,0))$
Il problema è che non riesco a ridurre molto questa matrice, al limite posso sommare la prima alla terza riga, e poi sottrarre alla prima così ottenuta la seconda, in questo modo otterrei:
$A - \lambda * Id = A=((0,0,0),(1,-2,1),(1,-1,0))$
Mi potete chiarire i dubbi? Grazie!
Risposte
una volta ottenuto $(x,x+z,z)^T$ tu sai che questo vettore in poche parole genera il $Ker(f)$
dunque una sua base sarà $B={(1,1,0)^T,(0,1,1)^T}$
Puoi verificare facilmente che sono indipendenti e che formano quel vettore.
Per la matrice, non c'è nemmeno tutto questo bisogno di ridurla.
Se fai il prodotto righe per colonne ti esce il seguente sistema
${(z-y=0),(x-2y+z=0),(x-y=0):}=>{(x=y),(z=y):}$
dunque il vettore sarà $(y,y,y)^T$ e una base per $Ker(f-id_(v))$ sarà $C={(1,1,1)^T}$
Puoi constatare facilmente che sono tre vettori indipendenti
$|(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)|=>|(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)|=1$ poiché triangolare superiore
Dunque posta come base $D=BcupC$ la matrice $A'$ sarà
dunque una sua base sarà $B={(1,1,0)^T,(0,1,1)^T}$
Puoi verificare facilmente che sono indipendenti e che formano quel vettore.
Per la matrice, non c'è nemmeno tutto questo bisogno di ridurla.
Se fai il prodotto righe per colonne ti esce il seguente sistema
${(z-y=0),(x-2y+z=0),(x-y=0):}=>{(x=y),(z=y):}$
dunque il vettore sarà $(y,y,y)^T$ e una base per $Ker(f-id_(v))$ sarà $C={(1,1,1)^T}$
Puoi constatare facilmente che sono tre vettori indipendenti
$|(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)|=>|(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)|=1$ poiché triangolare superiore
Dunque posta come base $D=BcupC$ la matrice $A'$ sarà
$A'=((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
"anto_zoolander":
una volta ottenuto $(x,x+z,z)^T$ tu sai che questo vettore in poche parole genera il $Ker(f)$
dunque una sua base sarà $B={(1,1,0)^T,(0,1,1)^T}$
Puoi verificare facilmente che sono indipendenti e che formano quel vettore.
Quindi io posso mettere i numeri che voglio?
$B={(3,3,0)^T,(0,1525,1525)^T}$
Sono comunque valori corretti, giusto?
"anto_zoolander":
Per la matrice, non c'è nemmeno tutto questo bisogno di ridurla.
Se fai il prodotto righe per colonne ti esce il seguente sistema
${(z-y=0),(x-2y+z=0),(x-y=0):}=>{(x=y),(z=y):}$
dunque il vettore sarà $(y,y,y)^T$ e una base per $Ker(f-id_(v))$ sarà $C={(1,1,1)^T}$
Non so perché ma ero convinto di dover trasformare la matrice in un sistema composto da una sola equazione.
"anto_zoolander":
Puoi constatare facilmente che sono tre vettori indipendenti
$|(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)|=>|(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)|=1$ poiché triangolare superiore
Dunque posta come base $D=BcupC$ la matrice $A'$ sarà
$A'=((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
Questo dovrebbe rispondere alla domanda finale? La matrice non dovrebbe essere questa?
$|(1,1,0),(1,1,1),(0,1,1)|$
1) si. Perché se fai la combinazione lineare $a(1,1,0)+b(0,1,1)$ puoi anche porre $a=37k$ l'importante è che quei vettori siano indipendenti
3) quella matrice è quella che ho usato per farti vedere che i vettori della base fossero indipendenti.
La matrice A' è quella 'diagonalizzata'. Praticamente se fai le immagini dei vettori della base di autovettori ti verrà ovviamente il vettore per l'autovalore. E quindi per esempio se $lambda$ è autovalore e $e_1$ è autovettore
$f(e_1)=lambdae_1$ quindi quando vai a costruire la matrice associata cosa ottieni?
3) quella matrice è quella che ho usato per farti vedere che i vettori della base fossero indipendenti.
La matrice A' è quella 'diagonalizzata'. Praticamente se fai le immagini dei vettori della base di autovettori ti verrà ovviamente il vettore per l'autovalore. E quindi per esempio se $lambda$ è autovalore e $e_1$ è autovettore
$f(e_1)=lambdae_1$ quindi quando vai a costruire la matrice associata cosa ottieni?
"anto_zoolander":
3) quella matrice è quella che ho usato per farti vedere che i vettori della base fossero indipendenti.
La matrice A' è quella 'diagonalizzata'. Praticamente se fai le immagini dei vettori della base di autovettori ti verrà ovviamente il vettore per l'autovalore. E quindi per esempio se $lambda$ è autovalore e $e_1$ è autovettore
$f(e_1)=lambdae_1$ quindi quando vai a costruire la matrice associata cosa ottieni?
Perdonami, proprio non riesco a capire cosa intenti. Come hai ottenuto quella matrice?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo