Basi e dimensioni

[KatieP]

Perché se si dispone di 3 vettori qualsiasi di R^3, per concludere che essi costituiscano una base è sufficiente verificare solo che siano linearmente indipendenti e non è invece necessario provare che sono anche generatori?

[Shocker1]

Siano $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e $v_1, ..., v_n$ un insieme di vettori linearmente indipendenti, se i vettori non generassero $V$ allora $\exists w \notin Span(v_1, ..., v_n)$, ma quindi ${v_1, ..., v_n, w}$ è un insieme di $n+1$ vettori linearmente indipendenti, contro l'ipotesi che $V$ abbia dimensione $n$.

[KatieP]

Grazie mille! Allora in generale, per trovare una base di uno spazio vettoriale di dimensione n, mi basta trovare n vettori linearmente indipendenti. Mi sorge però un dubbio..perché allora si definisce una base un sistema di vettori linearmente indipendente e si specifica anche che debbano essere generatori? Forse perché in quest'ultima definizione non è specificato che i vettori debbano essere tanti quanti la dimensione?

[Shocker1]

"nereide":Grazie mille! Allora in generale, per trovare una base di uno spazio vettoriale di dimensione n, mi basta trovare n vettori linearmente indipendenti. Mi sorge però un dubbio..perché allora si definisce una base un sistema di vettori linearmente indipendente e si specifica anche che debbano essere generatori? Forse perché in quest'ultima definizione non è specificato che i vettori debbano essere tanti quanti la dimensione?

La definizione di base precede quella di dimensione, non puoi introdurre la definizione di dimensione di uno spazio vettoriale senza aver prima definito cos'è una base.

[KatieP]

Perfetto, grazie mille. E poi un'altra domanda: avrei potuto, per verificare che si tratta di una base, procedere in un altro modo? Cioè disporre tutti i vettori come colonne di una matrice e affiancarvi un generico vettore (x,y,z) di R^3. Riducendo a gradini e verificando che si ottengano esattamente 3 pivot, uno per ogni vettore assegnato, e che nessuno cada nella colonna del vettore (x,y,z), avrei provato non solo che sono indipendenti ma anche generatori. È sbagliato come procedimento? È più lungo e meno efficace ma avrei bisogno di capire se in linea teorica è lecito.

[Shocker1]

"nereide":Perfetto, grazie mille. E poi un'altra domanda: avrei potuto, per verificare che si tratta di una base, procedere in un altro modo? Cioè disporre tutti i vettori come colonne di una matrice e affiancarvi un generico vettore (x,y,z) di R^3. Riducendo a gradini e verificando che si ottengano esattamente 3 pivot, uno per ogni vettore assegnato, e che nessuno cada nella colonna del vettore (x,y,z), avrei provato non solo che sono indipendenti ma anche generatori. È sbagliato come procedimento? È più lungo e meno efficace ma avrei bisogno di capire se in linea teorica è lecito.

Teoricamente va bene ma praticamente non ne cavi nulla.