Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti ragazzi, non mi trovo con questo semplice esercizio. Premetto: \(\displaystyle T \) è la matrice degli autovettori e \(\displaystyle W = T^{-1} \)
La mia matrice è:
\(\displaystyle
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 2 \\
\end{bmatrix}
\)
Devo calcolare \(\displaystyle W \), ergo devo trovare gli autovettori. Facendo i calcoli mi trovo che
\(\displaystyle v_1 = [2 \thinspace \thinspace \thinspace 3]^T \)
\(\displaystyle v_2 = [1 \thinspace \thinspace \thinspace -1]^T \)
e ...
Ciao
Mi viene chiesto di mostrare che la palla chiusa unitaria \(\displaystyle \overline{B(0,1)} \), benché limitata, non è totalmente limitata in \(\displaystyle (l_p, ||\cdot||_p) \).
Notazione: \(\displaystyle (l_p, ||\cdot||_p) \) è lo spazio delle successioni convergenti in norma \(\displaystyle p \), ovvero gli \(\displaystyle x = (x_1, x_2, \ldots ) \) tali che
\(\displaystyle \left( \sum_{i = 1}^{\infty} |x_i|^p \right)^{1/p}< \infty \)
Mi viene anche suggerito di usare la ...
Buonasera a tutti, ho questo esercizio da fare, ma non possiedo le soluzioni, vorrei sapere da qualcuno se la mia risoluzione/procedimento è corretto.
Testo esercizio:
Sia $ L_a $ ( $ ain R $ ) l'endomorfismo di $ R^3 $ soddisfacenti le equazioni
$ L_a(1,a,a^2)=(a,-1,1) , L_a(0,1,a)=(-1,-a,1), L_a(0,a,-1)=(1,-1,a) $
Al variare del parametro reale $ a $ determinare una base di $ imL_a $ .
io ho provato a risolverlo in questo modo:
1) ho preso l'immagine di questi vettori e ho formato la ...
Saluti a tutti,
espongo un problema che per le mie limitate capacità non so se sia possibile o no una soluzione,
ve lo propongo nella speranza di ricevere una indicazione da seguire. Grazie.
In un triangolo assegno ai lati A,B (per la base) e C e per l'altezza h, trovare "x" con i seguenti dati.
A = x + 20
B (la base) = 150
C = x
h = x - 40
Si consideri il seguente sistema lineare al variare del parametro k $ { ( x-2y+kz=1 ),( x+2y-z=1 ),( x-10y+5z=k^2 ):} $
a. Per quale valore di k ammette un'unica soluzione?
b. Nel caso determinato nel punto a, qual è la soluzione?
Io ho calcolato il determinante della matrice incompleta $ ( ( 1 , -2 , k ),( 1 , 2 , -1 ),( 1 , -10 , 5 ) ) $
e mi esce $ 12-12k $
poi ho scritto che per k $ != $ 1, allora il determinante è diverso da zero e questi sono i valori per cui il sistema lineare ammette un'unica soluzione. Poi ho trovato x, y e z con ...
Stabilire, per quali valori del parametro reale $k$, il seguente sistema ammette $oo^1$ soluzioni:
$\{(x+z=0),(2x+y-kz=k),(k^2 x+9z=k+3):}$
E' una matrice quadrata m=3, n=3 mi scrivo la matrice incompleta
$A=((1,0,1),(2,1,-k),(k^2,0,9))$ e mi calcolo il determinante che viene $9-k^2 \Rightarrow k=3$
Quindi:
Caso 1 $k!=3 \Rightarrow rgA=rgC=3$ rango massimo, quindi il sistema è determinato e ammette 1 soluzione giusto?
Caso 2 $k=3 \Rightarrow rgA=2$
Mi scrivo la matrice completa $C$ :
$C=((1,0,1,0),(2,1,-3,3),(9,0,9,6)) $ se prendo il ...
Dati i seguenti vettori A=(4,1,2), B=(7, -8, 0), C=(4, 1, 3) determinare
un nuovo vettore D che risulti combinazione lineare dei tre vettori dati.
Ciao a tutti avrei un problema che non riesco a risolvere, dati $x=(1,-1,k) , y=(1,0,-1)$ devo trovarmi
1-i vettori ortogonali ad $x$ e $y$,
2- i vettori ortogonali a entrambi $x ,y$
3- per quali valori del parametro $k$ i vettori $x$ e $y$ sono ortogonali.
Ma non so proprio come fare.. So che due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è nullo cioè $<x,v> =0$
1-Quindi dato ...
We
La mia prof ha lasciato il seguente esercizio
dire se esiste un endomorfismo di $R^3$ che soddisfa le seguenti condizioni
$Ker(f)={(x,y,z)inR^3:y-z=0}$
$Ker(f)={(x,z,z)inR^3:x,zinRR}$
$B_(Ker(f))={(1,0,0),(0,1,1)}$
$f(0,0,1)=(1,1,1)$
Ora supponiamo che esista e vediamo se le ipotesi vengano rispettate.
Intanto si ha $dim_(RR)Ker(f)=2$ quindi per la relazione dimensionale si avrebbe che $dim_(RR)Im(f)=1$
Notiamo che $ | ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0, 1 , 1) | ne0$
Poniamo $B'_(Ker(f))={(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)}$
dunque i tre vettori che abbiamo sono linearmente ...
Per un programma informatico ho bisogno di trovare una formula che dati due punti noti A(x1,y1) e B(x2,y2)
e le distanze da un terzo punto C incognito, C(?,?) mi trovi tale punto.
con pitagora mi sono trovato le distanze AC, AB e BC e conosco le coordinate dei due punti, ma come faccio a trovare le coordinate del terzo?
Ho provato con un po' di trigonotmetria
cos alpha = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / 2 * AB * AC
sin alpha = radice ((1 - (BC^2 + AC^2 - AB^2)) / -2 * AC * AB^2)
poi pero' non so se ...
Salve a tutti,
dati un triangolo isoscele con base di 100 u e altezza di 50 u, retto in A \hat(C) B e una retta passante per l'origine degli assi (0,0), dopo aver eseguito una rotazione solamente del triangolo di 10 gradi verso il basso in senso orario dall'incentro del triangolo dato, come calcolo la distanza tra il nuovo punto e la retta?
Grazie in anticipo
Durante lo svolgimento del metodo di gauss su una matrice con un parametro per ridurla a scalini, è ammesso moltiplicare quella riga per quel parametro? Tipo $R_3 rarr kR_3$. Perchè io so che fra le operazioni ammissibili rientra moltiplicare una riga per un numero reale diverso da zero, ma nel caso in cui il parametro viene scelto 0?
Salve a tutti, sono nuovo nel forum e spero mi possiate aiutare con un problema..Ho un esercizio che mi dice:
In $RR^3$ per ciascuno dei seguenti sistemi di vettori:
$S_1$ = {(1,0,1),(0,-1,0),(0,1,1),(0,2,-2)}
$S_2$ = {(1,0,2),(0,1,-1),(0,1,-1)}
$S_3$ = {(0,1,1),(-1,1,1)} ...
Stabilire giustificando le risposte:
1-se è linearmente dipendente o indipendente;
2-se è un sistema di generatori di $RR^3$;
3-se è una base di ...
Devo trovare il rango della matrice che vedete qui sotto a sinistra. Allora la trasformo nella sua equivalente in forma a scalini:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 3 , 1 , 2 ),( 4,10,-3,9,5,10 ),( -2,4,6,-18,2,4 ),( -2,-2,3,-7,0,1 ),( 1,2,-1,5,2,8) ) rarr_( (R_2+2R_3),(R_3-R_4),(R_4+2R_5),(R_5-R_1))( ( 1 , 2 , -1 , 3 , 1 , 2 ),( 0,18,9,-27,11,18 ),( 0,6,3,-11,2,3 ),( 0,2,1,3,4,17 ),( 0,0,0,2,1,6) )rarr_( (R_3-3R_4),(R_2-9R_4),(R_4harrR_2))( ( 1 , 2 , -1 , 3 , 1 , 2 ),( 0,2,1,3,4,17 ),( 0,0,0,-20,-10,-48 ),( 0,0,0,-54,-25,-135 ),( 0,0,0,2,1,6) )rarr_(R_3/9)( ( 1 , 2 , -1 , 3 , 1 , 2 ),( 0,2,1,3,4,17 ),( 0,0,0,-20,-10,-48 ),( 0,0,0,-6,-25/9,-15 ),( 0,0,0,2,1,6) )rarr_( (R_3+10R_5),(R_4+3R_5),(R_3harrR_5))( ( 1 , 2 , -1 , 3 , 1 , 2 ),( 0,2,1,3,4,17 ),( 0,0,0,2,1,6 ),( 0,0,0,0,2/9,3 ),( 0,0,0,0,0,12) )$
e il rango sembra essere $5$ e invece secondo la soluzione e anche secondo https://matrixcalc.org/it/ il rango è $4$. Mi spiegate dove sbaglio? Dato che ho controllato la correttezza delle operazioni fino alla quasi noia, mi viene il dubbio che il mio errore sia proprio di metodo.
Salve a tutti! (questo è il mio primo posto nel forum) sto cercando di risolvere un'esercizio di geometria differenziale, in particolare questo:
"Sia $f:\mathbb{P}(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}(\mathbb{R})^2$ definita da $f([x_1,x_2])=[x_1^2,x_1x_2,x_2^2]$, dimostrare che f è un omeomorfismo fra $\mathbb{P}(\mathbb{R})\ e \f(\mathbb{P}(\mathbb{R})$
Il mio problema sta nella definizione di topologia canonica; ho considerato l'atlante $A=\{(U_i,\varphi_i\)}$ ( qui lo definisco per $\mathbb{P}^n$), con aperti
$$U_i=\{ [x_1,\dots,x_{n+1}] \in \mathbb{P}^n \ tali \ che \ x_i ...
Salve a tutti, la traccia mi chiede di trovare le equazioni dei sottospazi di \(\displaystyle R^{2,2} \) e poi calcolare le dimensioni ed una base di \(\displaystyle U, W, (U+W), (U \) $nn$ \(\displaystyle W) \)
\(\displaystyle U = [ \) $((1,-3),(0,1))$,$((0,1),(0,-1))$ \(\displaystyle ] \)
\(\displaystyle W = [ \) $((1,0),(1,0))$,$((-1,0),(-1,0))$,$((0,1),(0,1))$ \(\displaystyle ] \)
Ho svolto in questo modo:
faccio l'esempio solo del primo sottospazio, lo svolgimento è ...
non riesco a risolvere questo esercizio fino in fondo.
Provare che esiste un’unica applicazione lineare F : R3 → R3 con F((1,2,0)) = (−1,5,2),F ((0,1,1)) = (0,2,0), F((0,−1,0)) = (1,−2,−1) e trovarne l’espressione rispetto alla base canonica.
Per quanto riguarda la prima parte dell' esercizio non ci sono problemi,non riesco a svolgere,pero, l'ultimo punto.
Ciao ragazzi, scrivo per chiedervi aiuto riguardo la proiezione ortogonale su un sottospazio,purtroppo non sono riuscito a trovare nulla sul forum. Non riesco in alcun modo a dimostrare che la proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale U è un'operatore simmetrico ed è tale che il determinante della sua matrice rappresentativa,rispetto una base ortonormale,è sempre pari a 1 o 0.
Grazie a tutti.
Buonasera potreste per favore dirmi che cosa significa il simbolo $R$ con una linea al di sopra della $R$? Non riesco proprio a capire che cosa rappresenti questa R con la linea sovrastante
Grazie infinite
Salve a tutti.
Sto svolgendo parecchi esercizi per quanto riguarda la diagonalizzazione delle matrici e spesso riscontro lo stesso problema.
Le matrici, una volta controllate, risultano essere diagonalizzabili. Continuando con i calcoli però, arrivo a trovare una matrice diagonalizzante P con determinante pari a zero, e quindi non invertibile.
Il mio dubbio è:
In questi casi la matrice di partenza A si dice non diagonalizzabile e si chiude là, oppure è impossibile che P risulti non ...
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