Dimensione di sottospzi

[angelad97]

Sia V il sottospazio diR4 generato da{(1,2,−2,0),(0,0,−3,1)}e sia W = {(x1,x2,x3,x4) ∈ R4|−x2 + 2x3 = 0}. Determinare la dimensione e una base per: V ∩W,V + W.

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[cooper1]

Procediamo con ordine.
Somma:
estrai una base dal sistema di equazioni di W. Considera poi l'unione di V e la base che ha estratto a questo punto ciò che ottieni è un sistema di generatori per la somma. Allora adesso estrai una base. La dimensione di un sottospazio è la cardinalità di una qualsiasi sua base. facendo i conti:
una base di W è data dall'insieme dei vettori: $ ( 1 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 ) , ( 0 \ \ 1 \ \ 1 \ \ 0 ), ( 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 1 ) $
il sistema di generatori per la somma diventa allora:

$ ( ( 1 , 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , -2 , -3 ),( 0 , 0 , 1 , 0 , 1 ) ) $

il rango di questa matrice è 4 quindi una base della somma è data dall'insieme formato dai vettori che formano le prime quattro colonne della matrice, ovvero: $ ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 2 , -2 , 0 ) $ perciò la dimensione della somma è 4.
dalla formula di Grassmann otteniamo che l'intersezione deve avere dimensione 1 (non è necessario perchè tanto estrarremo una base, ma almeno ho un controllo in più).
intersezione:
estraiamo le equazioni cartesiane dal sistema di generatori di V, poi estraiamo una base per l'intersezione dal sistema omogeneo trovato unendo le equazioni di V e quella di W.
per trovare le equazioni di V, accostiamo i due vettori e aggiungiamo una colonna. la matrice dei coefficienti deve avere rango uguale a quella completa. facendo il tutto e riducendo con Gauss abbiamo la matrice:
$ ( ( 1 , 0 , x_1 ),( 0 , 3 , 2x_1+x_3 ),( 0 , 0 , 2x_1-x_2 ),( 0 , 0 , 2x_1+x_3+3x_4 ) ) $
perchè la completa abbia rango 2 deve essere che:
$ { ( 2x_1-x_2=0 ),( 2x_1+x_3+3x_4=0 ):} $

consideriamo quindi il sistema seguente:
$ { ( 2x_1-x_2=0 ),( 2x_1+x_3+3x_4=0 ), (x_3=x_2):} $
una base di questo sistema è: $ (1,2,2,4) $ che è la base dell'intersezione che quindi ha dimensione 1, come correttamente avevamo già trovato.
spero sia tutto chiaro, in caso contrario chiedi pure!

[garnak.olegovitc1]

"angelad97":Sia V il sottospazio diR4 generato da{(1,2,−2,0),(0,0,−3,1)}e sia W = {(x1,x2,x3,x4) ∈ R4|−x2 + 2x3 = 0}. Determinare la dimensione e una base per: V ∩W,V + W.

come pensi di volere procedere? Devi avere in mente una mezza idea... li scrivi entrambi come sottospazi generatI, o tramite le cartesiane, e magari procedere, a seconda della scelta, o nella soluzioni di un sistema lineare o semplicemente vedere subito quali generatori formano una base e sfruttare un famoso teorema... puoi fare tutto tramite matrici anche...! Insomma vi sono una marea di approcci, devi almeno presentare uno tuo e noi correggiamo questo!