[Geometria differenziale] Teorema di Clairaut

[marco.ceccarelli]

Buonasera,

non riesco proprio a capire come applicare il teorema di Clairaut[nota][/nota] in quest'esercizio.

Si consideri la superficie $f$ (ellissoide di rotazione): $x^2/a^2+y^2/a^2+z^2/c^2=1$, ottenuto ruotando l'ellisse di equazione $x^2/a^2+z^2/c^2=1$ intorno all'asse $z$. Sia $gamma_1=f nn {z=0}$ la geodetica ottenuta come intersezione di $f$ con il piano $xy$. Sia $x=((a),(0),(0))$ un punto di $gamma_1$, e sia $alpha$ la geodetica di $f$ uscente da $x$, orientata nel verso delle $z$ crescenti, e che forma un angolo di $pi/3$ con $gamma_1$. Determinare il valore minimo che può assumere la distanza di $alpha(t)$ dall'asse $z$, e inoltre il valore massimo che può assumere la quota di $alpha(t)$ (ovvero, la sua terza coordinata).

Grazie.

[coffee2]

Ciao! Considera che nel punto $x$, e quindi identicamente lungo $\alpha$, vale $\mu=a\cos(\pi/3)>0$. Per il teorema vale $\rho=\frac{\mu}{\cos\theta}$: la distanza dall'asse $z$ è minima quando la tangente alla geodetica è orizzontale ($\cos\theta=1$).

[marco.ceccarelli]

Grazie per la risposta, vediamo se ho capito. Consideriamo la curva geodetica $alpha$. Per il teorema di Clairaut, $mu=rhocostheta=text(costante)$. Nel punto $x$, si ha $rho=a,theta=pi/3 rarr mu=acos(pi/3)=a/2$. In generale, $rho=mu/costheta=a/(2costheta) rarr min rho=rho|_(theta=0)=a/2$. E per la quota massima? Grazie.

[marco.ceccarelli]

Scusa tanto se non ho ancora capito, ma come determino la quota massima? E' uno degli esercizi tipici di esame, grazie 1000!

[coffee2]

Dall'equazione dell'ellissoide puoi trovare $z^2$ quando conosci $x^2+y^2$, che per definizione è $\rho^2$

[marco.ceccarelli]

Grazie per la risposta.

$x^2+y^2:=rho^2=a^2/(4cos^2theta) rarr z=csqrt(1-(x^2+y^2)/a^2)=csqrt(1-1/(4cos^2theta)) rarr maxz=z|_(theta=kpi,k in ZZ)=sqrt3/2 c$

Ultima cosa. Se avessi avuto la superficie di rotazione $z^2=1/(x^2+y^2)$ ed avessi considerato la curva geodetica uscente da un punto qualsiasi del parallelo $z=1$ orientata verso le $z$ crescenti e formante l'angolo $theta=pi/6$ con il parallelo, la quota massima si sarebbe determinata allo stesso modo? Cioè, consideriamo ad esempio il punto $((1),(0),(1))$. Allora $rho=1,costheta=sqrt3/2 rarr mu:=rho costheta=sqrt3/2$. In generale, $rho=mu/costheta=sqrt3/(2costheta)$.

$x^2+y^2:=rho^2=3/(4cos^2theta) rarr z=1/sqrt(x^2+y^2)=2/sqrt3 costheta rarr maxz=z|_(theta=kpi,k in ZZ)=2/sqrt3$

Grazie ancora!

[coffee2]

Sì mi sembra tutto corretto Prego!