Volume di un toro a sezione quadrata

[vitunurpo]

Ciao a tutti
Ho un problema di geometria... Per introdurlo, devo fare un picco preambolo fisico, ovvero:

In un problema di fisica, mi è stato chiesto di calcolare l'energia magnetica $ U_m $ immagazzinata in un solenoide toroidale

Dunque, so che per calcolare $ U_m=int_V umdV dx $ in cui
$ um=\frac{B^2}{2\mu} $ dunque.. ecco cosa ottengo

$ \frac{B^2}{2\mu}int \pir^2 dl $ conosco ovviamente B, $ \mu $ e r è il raggio della sezione del toro

quindi procedo così
$ \frac{B^2}{2\mu) \pir^2 int_(0)^(2\pi) Rd\phi $ (R è il raggio che va dall'asse del solenoide toroidale a metà della ''ciambella'' )
quindi trovo $ \frac{B^2}{2\mu) \pir^2 R2\pi $

Nel caso di un toro a sezione quadrata come faccio?

Ovvero... considero sempre

$ U_m=\frac{B^2}{2\mu}intdV $ ma come risolvo l'integrale?
Potreste aiutarmi?
so che dovrei ottenere qualcosa come $ \pir^2l $ con l il lato della sezione quadrata e r il raggio che va dall'asse del solido fino a metà della sezione.

Grazie mille )

[Antimius]

Ti conviene usare il teorema di Guldino, per cui il volume di un solido di rotazione è dato da: $$V = \alpha \cdot A \cdot R$$
dove $\alpha$ è l'angolo di rotazione, $A$ è l'area della sezione piana e $R$ è la distanza del baricentro di una sezione piana dall'asse di rotazione.
Perciò, in questo caso, poiché $\alpha = 2\pi$ (fai un giro completo per ottenere tutto il toro) e il baricentro coincide con il centro del quadrato, hai che $$V= 2 \pi l^2 R$$

P.S.: questo è un problema più proprio di analisi

[vitunurpo]

Chiedo scusa per aver sbagliato la sezione... dato che si cerca un volume, pensavo che geometria andasse bene come sezione
Non conosco il teorema che citi... andrò a cercarlo

Comunque grazie mille per la risposta, molto gentile!

[Antimius]

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