Calcolo del limite per il residuo di una funzione

[cipriettimarcello]

Devo calcolare il seguente limite per trovare il residuo della mia f(z):

$ f(z) = (sen (z)) / (z^3 * (z-pi)^2 ) $

Ho trovato le singolarità, una di questa è z=0 che è un polo del secondo ordine per f(z).
Quando vado a calcolare il residuo della f in 0, dovrei avere una cosa del genere.

$ R(f(z), 0) = lim per z->o (d/dz)[(sen (z)) / (z * (z-pi)^2 )] $

Posso considerare che sen (z) / z è un limite notevole, nonostante sia all'interno di una derivata prima? Non ricordo le proprietà

[pilloeffe]

Ciao Marcelcip3,

Con la funzione $f(z) = (sin(z))/(z^3 \cdot (z-\pi)^2 $ mi risulta

$\text{Res}[f(z), 0] = 2/\pi^3 $

Forse in questo caso potrebbe essere più conveniente procedere con lo sviluppo in serie di Laurent ricordando che il residuo è il coefficiente di $z^{-1} $...

[cipriettimarcello]

Grazie per il consiglio, solitamente calcoliamo i residui con il limite. Ho provato a svilupparlo come da te consigliato ma non ci sono riuscito .
Per questo ho chiesto se era possibile usare il limite notevole all'interno della derivata.

[pilloeffe]

"Marcelcip3":Ho provato a svilupparlo come da te consigliato ma non ci sono riuscito .

Beh, si ha:

$sin(z) = z - z^3/6 + O(z^4) $

$1/(z - \pi)^2 = 1/(\pi - z)^2 = (1/\pi)^2 \cdot 1/(1 - z/\pi)^2 = 1/\pi^2 + (2z)/\pi^3 + (3z^2)/\pi^4 + O(z^3) $

per $|z/\pi| < 1 \iff |z| < \pi $; pertanto moltiplicando i due sviluppi in serie e poi dividendo per $z^3$ si ha:

$ f(z) = (sin(z))/(z^3 \cdot (z-\pi)^2) = 1/(\pi^2 z^2) + 2/(\pi^3 z) - (\pi^2 - 18)/(6\pi^4) + O(z) $

per $|z| < \pi $. Quindi si ha proprio $ \text{Res}[f(z), 0] = 2/\pi^3 $