[Teoria della Misura] Esercizio misurabilità, integrabilità e limite di integrale.
Ciao. Ho questo esercizietto, che può essere cretino ma ho avuto dei problemi.
(a) Ho qualche perplessità sulla misurabilità. Di \(v\) so che è integrabile: devo assumere che l'integrazione si faccia solo su funzioni misurabili?
Secondo me no. Ma se così fosse, avrei facilmente che le \(f_n\) sono misurabili. Lascio in sospeso questa cosa, e vado oltre...
L'integrabilità mi sembra più immediata: \[\left\lvert f_n(x) \right\rvert \le (n+3) \left\lvert v(x) \right\rvert .\] Qui, la parte a destra è integrabile, e quindi lo è pure \(f_n\).
(b) \(f_n(0) = f_n(1) = 0\) e per \(x \in ]0, 1[\) si ha \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\). Quindi \(f_n\) va verso la funzione constante a \(0\) ovunque in \([0, 1]\).
\(u_n\) assume come valore massimo \[u_n \left(\frac{1}{n+1} \right) = (n+3) \frac{1}{n+1}\left(1- \frac{1}{n+1}\right)^n\] e converge puntualmente a \(0\). Non ci va però uniformente perché \[\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [0, 1]} \left\lvert u_n (x) \right\rvert = \frac1e.\]
(c) Pensavo di usare il Teorema della convergenza dominata, ma per l'appunto mi serve una funzione integrabile che "domini". Azzardo una disuguaglianza più forte: \[\left\lvert f_n(x) \right\rvert \le \left\lvert v(x) \right\rvert \quad\text{definitivamente.}\] (\(u_n (x) \le 1\) defintivamente, perché tande a \(0\)...) Se le cose vanno bene, allora \[\lim_{n \to \infty} \int_{[0, 1]} f_n(x) \mathrm d x = \int_{[0, 1]} \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right) \mathrm d x = 0 .\]
Esercizio 1. Per \(n \in \mathbb N\) e \(x \in [0, 1]\), si consideri la funzione \(u_n : [0, 1] \to \mathbb R\), \(u_n (x) := (n + 3)x(1-x)^n\). Inoltre, sia \(v : [0, 1] \to \mathbb R\) una funzione integrabile secondo Lebesgue in \([0, 1]\).
(a) Discutere la misurabilità e l’integrabilità secondo Lebesgue in \([0, 1]\) della funzione prodotto \(f_n = u_nv\), con \(x \in [0, 1]\) e \(n \in \mathbb N\).
(b) Discutere la convergenza quasi ovunque della successione \(\{f_n\}\) e la convergenza uniforme della successione \(\{u_n\}\) in \([0, 1]\).
(c) Calcolare \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{[0, 1]} f_n(x) \mathrm d x\), motivando per bene la risposta data.
(a) Ho qualche perplessità sulla misurabilità. Di \(v\) so che è integrabile: devo assumere che l'integrazione si faccia solo su funzioni misurabili?
Secondo me no. Ma se così fosse, avrei facilmente che le \(f_n\) sono misurabili. Lascio in sospeso questa cosa, e vado oltre...L'integrabilità mi sembra più immediata: \[\left\lvert f_n(x) \right\rvert \le (n+3) \left\lvert v(x) \right\rvert .\] Qui, la parte a destra è integrabile, e quindi lo è pure \(f_n\).
(b) \(f_n(0) = f_n(1) = 0\) e per \(x \in ]0, 1[\) si ha \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\). Quindi \(f_n\) va verso la funzione constante a \(0\) ovunque in \([0, 1]\).
\(u_n\) assume come valore massimo \[u_n \left(\frac{1}{n+1} \right) = (n+3) \frac{1}{n+1}\left(1- \frac{1}{n+1}\right)^n\] e converge puntualmente a \(0\). Non ci va però uniformente perché \[\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [0, 1]} \left\lvert u_n (x) \right\rvert = \frac1e.\]
(c) Pensavo di usare il Teorema della convergenza dominata, ma per l'appunto mi serve una funzione integrabile che "domini". Azzardo una disuguaglianza più forte: \[\left\lvert f_n(x) \right\rvert \le \left\lvert v(x) \right\rvert \quad\text{definitivamente.}\] (\(u_n (x) \le 1\) defintivamente, perché tande a \(0\)...) Se le cose vanno bene, allora \[\lim_{n \to \infty} \int_{[0, 1]} f_n(x) \mathrm d x = \int_{[0, 1]} \left( \lim_{n \to \infty} f_n(x) \right) \mathrm d x = 0 .\]
Risposte
[tt][/tt]Come sarebbe definita l'integrazione di una funzione non misurabile??
Se $\forall x\in[0,1], \quad u_n(x)\to0$, cioè $u_n$ converge a zero puntualmente, implica che $\exists N \in \mathbf{N} \ \ t.c. \ \ u_n(x) \le 1\quad \forall x\in[0,1], \forall n>N$ ???
Se $\forall x\in[0,1], \quad u_n(x)\to0$, cioè $u_n$ converge a zero puntualmente, implica che $\exists N \in \mathbf{N} \ \ t.c. \ \ u_n(x) \le 1\quad \forall x\in[0,1], \forall n>N$ ???
"Wilde":Su questo aspetto sono state dedicate zero parole, quindi non so. Fuori dalle funzioni misurabili possono succedere cose strane, a volte è possibile integrarle a volte no? Quindi, mi chiedo se dire integrabile, assuma automaticamente la misurabilità.
Come sarebbe definita l'integrazione di una funzione non misurabile??
"Wilde":Hai ragione. Ma penso che si possa sistemare. Da sopra so che \(f_n\) va verso \(0\) puntualmente quasi ovunque in \([0, 1]\), intervallo che ha misura di Lebesgue finita. Quindi, per il teorema di Severini-Egorov, la convergenza quasi ovunque implica quella quasi uniforme. [Edit: no...]
Se $\forall x\in[0,1], \quad u_n(x)\to0$, cioè $u_n$ converge a zero puntualmente, implica che $\exists N \in \mathbf{N} \ \ t.c. \ \ u_n(x) \le 1\quad \forall x\in[0,1], \forall n>N$ ???
Quando parla di funzione integrabile e calcoli l'integrale penserai automaticamente a delle definizioni, altrimenti è come non dicessi nulla. Le definizioni che utilizzi hanno come prerequisito che la funzione sia misurabile??
Personalmente si, quindi quando parlo di funzioni integrabili, per come ho definito l'integrale e la nozione di integrabilità, lavoro con funzioni misurabili.
Per quanto riguarda il secondo punto non sono sicuro che usando la convergenza quasi uniforme si possa poi usare il teorema della convergenza dominata, almeno non mi sembra ovvio, dovresti mostrarmi i passaggi per convincermi.
Invece si può vedere che la successione per i calcoli svolti da te, si dovrebbe poter comunque maggiorare definitivamente con la funzione costante $1$, la motivazione però non segue dalla convergenza puntuale a $0$, ma piuttosto dal limite che hai svolto nel punto precedente.
Personalmente si, quindi quando parlo di funzioni integrabili, per come ho definito l'integrale e la nozione di integrabilità, lavoro con funzioni misurabili.
Per quanto riguarda il secondo punto non sono sicuro che usando la convergenza quasi uniforme si possa poi usare il teorema della convergenza dominata, almeno non mi sembra ovvio, dovresti mostrarmi i passaggi per convincermi.
Invece si può vedere che la successione per i calcoli svolti da te, si dovrebbe poter comunque maggiorare definitivamente con la funzione costante $1$, la motivazione però non segue dalla convergenza puntuale a $0$, ma piuttosto dal limite che hai svolto nel punto precedente.
"Wilde":
Invece si può vedere che la successione per i calcoli svolti da te, si dovrebbe poter comunque maggiorare definitivamente con la funzione costante 1, la motivazione però non segue dalla convergenza puntuale a 0, ma piuttosto dal limite che hai svolto nel punto precedente.
Ma che scemo. Grazie.
Comunque non mi sembra affatto un esercizio cretino. Perché dici queste cose? Stai facendo degli esercizi fondamentali, non cretini
Non sono un buon motivatore, mi limito infatti a rispondere ai dubbi matematici solitamente.
Comunque condivido il parere di dissonance, nessuno è nato imparato e tutti siamo passati per esercizi di questo tipo. E' sporcandosi le mani che si capiscono e interiorizzano i concetti.
Per di più sei sveglio!!
Comunque condivido il parere di dissonance, nessuno è nato imparato e tutti siamo passati per esercizi di questo tipo. E' sporcandosi le mani che si capiscono e interiorizzano i concetti.
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