Condizioni esistenza integrale reale e complesso

[frapp1]

Buongiorno a tutti,
ho dei dubbi sulle condizioni per cui un integrale esiste.

Per un integrale sull’asse reale, mi sembra di aver capito che per esistere deve soddisfare le due seguenti condizioni:
$ I=int_{-oo}^{+oo}f(x)dx $
1. non avere singolarità sul cammino di integrazione (in questo caso asse reale)
2. f(x) deve andare a 0 più velocemente di 1/x per x che tende a $\pmoo$.
E’ corretto affermare quanto sopra? Inoltre il punto 2 è equivalente a riscriverlo come $ lim_(x -> \pmoo) x*f(x)=0 $ ma non capisco per quali altri valori del limite io potrei comunque considerare il punto 2 soddisfatto (positivi/negativi o altre categorie…)

Passando invece in campo complesso
$ I=oint f(z)dz $
la condizione 1 rimane simile in quanto il cammino di integrazione cambia ma il fatto di non dover incontrare singolarità no. Quello che non mi è più chiaro invece è come e se il punto 2 viene anche richiesto e come dev’essere soddisfatto.


Ringrazio tutti per l’attenzione e il vostro tempo!

[dissonance]

Non è esatto. Intanto, puoi benissimo avere singolarità sul cammino di integrazione, basta che siano integrabili. La funzione
\[f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}}, & x \in (0, 1), \\
0, & x\in\mathbb R\setminus(0, 1),
\end{cases}
\]
è integrabile. Poi, quella condizione all'infinito è sbagliata; la funzione
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{x\log x}, & x\ge 1, \\
0, & x<1,
\end{cases}
\]
non è integrabile, anche se "va a zero più velocemente di \(\frac1 x\)" nel senso che dici tu.

(Aggiungo che esistono esempi di funzioni integrabili che non ammettono neanche limite a \(x\to \infty\). Qui, molti anni fa, avevo scritto qualcosa su questo argomento e c'era anche una immagine. Il testo è ancora lì ma l'immagine si è persa, purtroppo.)

Infine, in campo complesso la differenza principale è che il cammino di integrazione, di solito, è limitato. Quindi non c'è da chiedersi cosa succede all'infinito, perché non c'è un infinito.