Misura di Borel, funzione di densità, funzione di distribuzione

[3m0o]

Allora purtroppo non ho visto queste cose nel corso base di teoria della misura che ho fatto. Faccio notare solo che queste cose sono di un corso di Teoria dei numeri, e quindi il prof non ha spiegato i concetti legati alla teoria della misura dandoli per assodati, io purtroppo non potevo presenziare a quella lezione e non ho potuto chiedergli chiarimenti. Perché nella dimostrazione del seguente teorema ci sono alcuni punti che non mi sono chiari. La cosa non chiara è: cosa vuol dire per una misura di borel associare una funzione di densità rispetto ad un'altra misura? È unica? Si può quindi associargli una distribuzione? È unica? Mi riferisco al seguente passaggio della dimostrazione

Sia \( \mu_N \) la misura su \( \mathbb{T} \) la cui funzione di densità rispetto alla misura di Lebesgue è \( \phi_N \). In altre parole sia \( \mu_N \) la misura univocamente determinata dalla proprietà che
\[ \int_{\mathbb{T}} g(x) d \mu_N (x) = \int_0^1 g(x) \phi_N(x) dx \]
per ogni funzione continua \( g: \mathbb{T} \to \mathbb{C} \).

Teorema di Herglotz
Una funzione \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{C} \) è definita non negativa se e solo se esiste una misura di Borel finita sul toro \( \mathbb{T} \) tale che
\[ f(n) = \int_{\mathbb{T}} e(nx) d \mu(x) , \forall n \in \mathbb{Z} \]
la misura \( \mu \) è detta misura spettrale associata a \(f\).

dove con \( e(x) = e^{2\pi i x} \) e la definizione di funzione definita non negativa è la seguente, se per ogni \(M \in \mathbb{N} \) e \( \lambda_1, \ldots, \lambda_{M} \in \mathbb{C} \) e \( n_1, \ldots, n_M \in \mathbb{N} \) si ha
\[ \sum_{i,j=1}^{M} \lambda_i \overline{\lambda_j} f(n_i-n_j) \geq 0 \]



Dimostrazione del Teorema di Herglotz

Sia \( \mu \) una misura finita di Borel sul toro, dimostriamo che la funzione definita da \( f(n) = \int_{\mathbb{T}} e(nx) d \mu(x) \) sia definita non negativa. Abbiamo infatti che
\[ \sum_{i,j=1}^{M} \lambda_i \overline{\lambda_j} f(n_i-n_j) = \int_{\mathbb{T}} \left| \sum_{i=1}^{M} \lambda_i e(n_i x) \right|^2 d\mu(x) \geq 0 \]

Per l'altra direzione supponiamo che \(f\) sia definita non negativa allora dimostriamo l'esistenza di una misura di Borel \( \mu \) tale che \( f(n) = \int_{\mathbb{T}} e(nx) d\mu(x) \).

Consideriamo \( \phi_N : \mathbb{T} \to \mathbb{C} \) definita da
\[ \phi_N(x) = \frac{1}{N} \sum_{i,j=1}^{N} f(i-j) \overline{ e( (i-j)x) } = \frac{1}{N} \sum_{i,j=1}^{N} e(-ix) \overline{e(-jx)} f(i-j) \]
dunque siccome \(f\) è definita non negativa questo implica che \( \phi_N \geq 0 \) per ogni \( x \in \mathbb{T} \). Ora arriva la parte che non capisco:

Sia \( \mu_N \) la misura su \( \mathbb{T} \) la cui funzione di densità rispetto alla misura di Lebesgue è \( \phi_N \). In altre parole sia \( \mu_N \) la misura univocamente determinata dalla proprietà che
\[ \int_{\mathbb{T}} g(x) d \mu_N (x) = \int_0^1 g(x) \phi_N(x) dx \]
per ogni funzione continua \( g: \mathbb{T} \to \mathbb{C} \). Abbiamo che
\[ \mu_N(\mathbb{T}) = \int_0^1 \phi_N(x) dx = \int_0^1 \phi_N(x) dx = f(0) \]
pertanto \( || \mu_N || = f(0) \) per ogni \(N \in \mathbb{N} \), dunque per il teorema della selezione di Helly esiste una sottosuccessione \( \mu_{N_k} \) di \( \mu_N \) tale che
\[ \lim_{k \to \infty} \int_{\mathbb{T}} g(x) d \mu_{N_k} (x) = \int_{\mathbb{T}} g(x) d \mu(x) \]
per ogni funzione continua \(g\). In particolare
\[ \lim_{k \to \infty} \int_{\mathbb{T}} e(nx) d \mu_{N_k} (x) = \int_{\mathbb{T}} e(nx) d \mu(x) \]
e un calcolo diretto ci da
\[ \int_{\mathbb{T}} e(nx) d \mu_N(x) = \frac{1}{N} \sum_{i,j = 1}^{N} f(i-j) \int_0^1 e((j-i+n)x) dx \]
poiché l'integrale è zero a meno che \(i-j = n \) otteniamo che se \( \left|n \right| \leq N \) risulta che
\[ \frac{1}{N} \sum_{i,j = 1}^{N} f(i-j) \int_0^1 e((j-i+n)x) dx = (1- \left|n \right|/N) f(n) \]
e
\[ \frac{1}{N} \sum_{i,j = 1}^{N} f(i-j) \int_0^1 e((j-i+n)x) dx = 0 \]
altrimenti. Da cui otteniamo
\[ \lim_{k \to \infty} \int_{\mathbb{T}} e(nx) d \mu_{N_k}(x) = f(n) \]
per ogni \( n \in \mathbb{Z} \).

[dissonance]

Mi sembra che la risposta alla tua domanda stia tutta nel primo box che hai scritto. Non c'è altro da sapere