Esercizio Analisi Funzionale (spazi normali lineari, insieme precompatto)

[Crii__1]

Salve, mi sono imbattuta in questo esercizio di analisi funzionale e non riesco a risolverlo... qualcuno potrebbe aiutarmi?

Dato \(\displaystyle X=C([-1,1]) \) spazio lineare normato delle funzioni continue \(\displaystyle f:[-1,1]\rightarrowℝ \), dotato di norma \(\displaystyle \parallel \cdotp\parallel\infty\). Dato

A= \(\displaystyle \{f \in C^1([-1,1]) : \mid f(0)\mid + \mid f'(x)\mid \leqslant 10 \ \forall x\in[-1,1] \} \).

A è precompatto in X?

[dissonance]

Ciao Cri, benvenuta, ho approvato i tuoi messaggi ma c'è da fare un po' di pulizia prima che tu possa ricevere risposta. In primis, e questo vale anche per l'altro messaggio, devi SEMPRE dare un tentativo di soluzione, qui non si risolvono esercizi a gratis. Qui poi devi aggiustare la formula, racchiudi tra dollari solo le formule matematiche, non il testo:

Dato \(X=C([-1, 1])\) spazio lineare etc...

[dissonance]

Esatto, le formule sono corrette ora. Cosa hai provato a fare?

[Crii__1]

"dissonance":Esatto, le formule sono corrette ora. Cosa hai provato a fare?

Non mi è chiaro come applicare il concetto di pre-compatto (la definizione che ho è che rappresenta un insieme la cui chiusura è compatta). Penso comunque si debba applicare il teorema di Ascoli-Arzelà.

P.S. Ho notato che NON SEMPRE viene data una prima idea di risoluzione. Altra cosa che ho notato è che fortunatamente vengono usati "altri toni" per esprimere concetti

[dissonance]

Ti sembra che io sia stato sgarbato? Me ne dispiace, ma non cambia la sostanza, c'è un regolamento. A volte passa in cavalleria, hai ragione, ma è come nella vita reale; ad esempio, non si passa col rosso, anche se talvolta qualcuno lo fa.

Comunque, archiviando tutto questo, Ascoli-Arzelà è chiaramente il teorema da applicare. Un insieme \(A\) è precompatto se e solo se ogni successione \(f_n\in A\) ha una estratta convergente, e non importa se il limite appartiene ad \(A\) o no. Quindi, prendi questa successione \(f_n\in A\) e vedi se verifica le ipotesi di Ascoli-Arzelà. Le ipotesi sono due: equilimitatezza ed equicontinuità. Per la prima ti serve sicuramente la formula fondamentale del calcolo integrale \(f(x)=f(0)+\int_0^x f'(y)\, dy\).