Esercizio su Z-Trasformazione
Ciao, sto preparando l'esame di Metodi Matematici e mi sono imbattuto in un esercizio sulla Z-Trasformazione e sto avendo alcune difficoltà nel trasformare e antitrasformare alcuni elementi.
L'esercizio è questo:
$ { ( y(n+2)+y(n+1)+y(n)=3cos^4(npi/2) ),( (y(0)=2,y(1)-3)):} $
Ho trasformato il primo membro e mi trovo
$ Y(z^2+z+1)-2z^2+3z-2z $
Come il libro, quindi corretto.
Il problema che ho è con la trasformazione del secondo membro, ovvero $ 3cos^4(npi/2) $
Il libro da come risultato $ 3z^2/(z^2-1) $ , usando la proprietà di riscalamento suppongo, visto che la cita in altri esercizi (senza purtroppo mai mostrarla...
) e l'ho vista usata anche in questo altro thread, all'ultimo post, qui sul forum: https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=214113
Purtroppo però non sono riuscito a capirla...
Comunque, per non rimanere bloccato sono comunque andato avanti usando il risultato del libro e decomponendo in fratti semplici trovo
$ 3/2*z/(z+1)+1/2*z/(z-1)-(2z)/(z^2+z+1) $
Che è corretto.
Ora devo antitrasformare. Con il secondo termine ci sono, ma non riesco ad antitrasformare il primo $ (3/2*z/(z+1)) $ e l'ultimo termine $ (-(2z)/(z^2+z+1)) $
Spero che qualcuno possa aiutarmi
L'esercizio è questo:
$ { ( y(n+2)+y(n+1)+y(n)=3cos^4(npi/2) ),( (y(0)=2,y(1)-3)):} $
Ho trasformato il primo membro e mi trovo
$ Y(z^2+z+1)-2z^2+3z-2z $
Come il libro, quindi corretto.
Il problema che ho è con la trasformazione del secondo membro, ovvero $ 3cos^4(npi/2) $
Il libro da come risultato $ 3z^2/(z^2-1) $ , usando la proprietà di riscalamento suppongo, visto che la cita in altri esercizi (senza purtroppo mai mostrarla...
) e l'ho vista usata anche in questo altro thread, all'ultimo post, qui sul forum: https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=214113Purtroppo però non sono riuscito a capirla...
Comunque, per non rimanere bloccato sono comunque andato avanti usando il risultato del libro e decomponendo in fratti semplici trovo
$ 3/2*z/(z+1)+1/2*z/(z-1)-(2z)/(z^2+z+1) $
Che è corretto.
Ora devo antitrasformare. Con il secondo termine ci sono, ma non riesco ad antitrasformare il primo $ (3/2*z/(z+1)) $ e l'ultimo termine $ (-(2z)/(z^2+z+1)) $
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Risposte
Ciao MarkS3,
ci sono un po' di cose che non mi tornano... Assumendo che sia $y(1) = - 3 $ da ciò che hai scritto si ottiene:
$ Y(z) (z^2+z+1)-2z^2+3z-2z = (3z^2)/(z^2 - 1) $
$ Y(z) (z^2+z+1) = (3z^2)/(z^2 - 1) + 2z^2 - z $
$ Y(z) = (3z^2)/((z^2 - 1)(z^2+z+1)) + (2z^2 - z)/(z^2+z+1) $
A questo punto, scomponendo in fratti semplici solo la prima frazione si ha:
$ (3z^2)/((z^2 - 1)(z^2+z+1)) = A/(z - 1) + B/(z + 1) + (Cz + D)/(z^2+z+1) $
Dopo un po' di calcoli trovo $ A = 1/2 $, $B = - 3/2 $, $C = 1 $ e $D = 2$, per cui mi risulta:
$ Y(z) = (1/2)/(z - 1) - (3/2)/(z + 1) + (z + 2)/(z^2+z+1) + (2z^2 - z)/(z^2+z+1) = (1/2)/(z - 1) - (3/2)/(z + 1) + (2z^2 + 2)/(z^2+z+1) $
ci sono un po' di cose che non mi tornano... Assumendo che sia $y(1) = - 3 $ da ciò che hai scritto si ottiene:
$ Y(z) (z^2+z+1)-2z^2+3z-2z = (3z^2)/(z^2 - 1) $
$ Y(z) (z^2+z+1) = (3z^2)/(z^2 - 1) + 2z^2 - z $
$ Y(z) = (3z^2)/((z^2 - 1)(z^2+z+1)) + (2z^2 - z)/(z^2+z+1) $
A questo punto, scomponendo in fratti semplici solo la prima frazione si ha:
$ (3z^2)/((z^2 - 1)(z^2+z+1)) = A/(z - 1) + B/(z + 1) + (Cz + D)/(z^2+z+1) $
Dopo un po' di calcoli trovo $ A = 1/2 $, $B = - 3/2 $, $C = 1 $ e $D = 2$, per cui mi risulta:
$ Y(z) = (1/2)/(z - 1) - (3/2)/(z + 1) + (z + 2)/(z^2+z+1) + (2z^2 - z)/(z^2+z+1) = (1/2)/(z - 1) - (3/2)/(z + 1) + (2z^2 + 2)/(z^2+z+1) $
"pilloeffe":
Ciao MarkS3,
ci sono un po' di cose che non mi tornano... Assumendo che sia $y(1) = - 3 $ da ciò che hai scritto si ottiene:
$ Y(z) (z^2+z+1)-2z^2+3z-2z = (3z^2)/(z^2 - 1) $
$ Y(z) (z^2+z+1) = (3z^2)/(z^2 - 1) + 2z^2 - z $
$ Y(z) = (3z^2)/((z^2 - 1)(z^2+z+1)) + (2z^2 - z)/(z^2+z+1) $
A questo punto, scomponendo in fratti semplici solo la prima frazione si ha:
$ (3z^2)/((z^2 - 1)(z^2+z+1)) = A/(z - 1) + B/(z + 1) + (Cz + D)/(z^2+z+1) $
Dopo un po' di calcoli trovo $ A = 1/2 $, $B = - 3/2 $, $C = 1 $ e $D = 2$, per cui mi risulta:
$ Y(z) = (1/2)/(z - 1) - (3/2)/(z + 1) + (z + 2)/(z^2+z+1) + (2z^2 - z)/(z^2+z+1) = (1/2)/(z - 1) - (3/2)/(z + 1) + (2z^2 + 2)/(z^2+z+1) $
Innanzitutto grazie per la risposta!
Ma perchè hai scomposto solo la prima frazione?
Io dopo aver trovato $ Y(z) = (3z^2)/((z^2 - 1)(z^2+z+1)) + (2z^2 - z)/(z^2+z+1) $ ho portato tutto in un'unica frazione e trovo:
$ (2z^4-z^3+z^2+z)/((z-1)(z+1)(z^2+z+1)) $
A questo punto, tenendo da parte un fattore z, scompongo in fratti semplici e ottengo
$ z(A/(z-1)+B/(z+1)+(Cz+D)/(z^2+z+1)) $
Andando a fare tutti i calcoli mi trovo
$ A=1/2, B=3/2, C=0, D=-2 $
Ho controllato e ti confermo che $ y(1)=-3 $ , mi trovo con te sulla $ Y(z) $ ricavata solo non capisco perchè hai fatto la scomposizione in fratti semplici solo della prima frazione
"MarkS3":
solo non capisco perchè hai fatto la scomposizione in fratti semplici solo della prima frazione
Beh, perché è più semplice e comodo così: tutti i coefficienti saranno da porre pari a $0$ tranne quello di $z^2$ e so già dall'inizio che a denominatore di uno dei fratti dopo la scomposizione comparirà lo stesso denominatore dell'ultima frazione che non ho scomposto, quindi poi sommarle sarà semplice...
Un'osservazione: non usare il pulsante "CITA, ma il pulsante "RISPONDI per rispondere ai post. Infatti, raramente è necessario citare completamente la risposta di colui che ti ha risposto, si appesantisce inutilmente la lettura del thread: casomai si cita solo una parte del post, come ho fatto io in questo mio post.
Ok, ti ringrazio 
Mi rimangono però i dubbi sulla Z-trasformata di $ 3cos^4(npi/2) $ , il libro da come risultato $ (3z^2)/(z^2-1) $ però non capisco come ci arriva. Come scritto nel primo post suppongo usi la proprietà del riscalamento, che cita in altri esercizi ma purtroppo non mostra mai... Ho visto un altro thread con un quesito simile al mio ma non sono comunque riuscito a capire il concetto](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Altro problema che ho è con due Z trasformate inverse finali:
$ Z^(-1)[3/2*z/(z+1)]=3/2(-1)^n $
e
$ Z^(-1)[-(2z)/(z^2+z+1)]=4/sqrt3*sin(n(2pi)/3) $
Per l'ultima, usando le tabelle dei valori di seno e coseno sono riuscito a ricavarmi il risultato (diciamo andando per tentativi e cercando i valori di seno e coseno per cui ottenevo la trasformata...), però non credo sia il metodo corretto ed è sicuramente molto scomodo.
Mi rimangono però i dubbi sulla Z-trasformata di $ 3cos^4(npi/2) $ , il libro da come risultato $ (3z^2)/(z^2-1) $ però non capisco come ci arriva. Come scritto nel primo post suppongo usi la proprietà del riscalamento, che cita in altri esercizi ma purtroppo non mostra mai... Ho visto un altro thread con un quesito simile al mio ma non sono comunque riuscito a capire il concetto
Altro problema che ho è con due Z trasformate inverse finali:
$ Z^(-1)[3/2*z/(z+1)]=3/2(-1)^n $
e
$ Z^(-1)[-(2z)/(z^2+z+1)]=4/sqrt3*sin(n(2pi)/3) $
Per l'ultima, usando le tabelle dei valori di seno e coseno sono riuscito a ricavarmi il risultato (diciamo andando per tentativi e cercando i valori di seno e coseno per cui ottenevo la trasformata...), però non credo sia il metodo corretto ed è sicuramente molto scomodo.
"MarkS3":
Mi rimangono però i dubbi sulla Z-trasformata di $ 3cos^4(npi/2) $ , il libro da come risultato $ (3z^2)/(z^2-1) $ però non capisco come ci arriva.
Quando non capisci, fai come i vecchi antichi: prendi una penna e fai conti a mano.
Esplicita quella successione e usa la definizione... Che ci vuole?
Sempre che tu la ricordi, la definizione. Altrimenti, valla a riprendere.
"MarkS3":
Ho visto un altro thread con un quesito simile al mio ma non sono comunque riuscito a capire il concetto
Strano che tu non sia riuscito a capire il concetto, soprattutto dopo aver visto quel thread con l'intervento di Quinzio al quale peraltro ti avrei rimandato casomai non l'avessi già visto...
Comunque, omettendo per comodità il $3$ che tanto non cambia le cose, il concetto è abbastanza semplice, infatti come è noto si ha:
$ Z{u[n]}(z) = 1/(1 - z^{-1}) $
La sequenza $cos^4(n \pi/2)$, ovvero più semplicemente $1,0,1,0,1,0,... $, si può anche ottenere proprio prendendo il classico gradino $u[n] $ di cui alla formula precedente ed operando un'espansione temporale con scala $k = 2$, cioè si ha:
$ Z{cos^4 (n \pi /2 )}(z) = Z{u_{(2)}[n]}(z) = Z{u[n]}(z^2) = 1/(1 - (z^2)^{-1}) = 1/(1 - z^{-2}) = z^2/(z^2 - 1) $
Vabbé pillo, ma anche con la definizione che ci vuole?
Oppure, hai una successione $(3,0,3,0,3,0,...,3,0,...)$ periodica di periodo $T=2$ e per questo tipo di successioni c'è una formula che dà direttamente la trasformata. Usala.
Oppure, hai una successione $(3,0,3,0,3,0,...,3,0,...)$ periodica di periodo $T=2$ e per questo tipo di successioni c'è una formula che dà direttamente la trasformata. Usala.
Ok... credo di esserci.
Ma posso "sfruttare" questo ragionamento ad esempio anche per antitrasformare $ Z^(-1)[3/2*z/(z+1)] $ ?
Cioè posso (lasciando momentaneamente da parte $ 3/2 $ ):
$ z/(z+1)=1/(1+z^(-1))=sum_(n =0) (-z^-1)^n $
Che quindi sarebbe $ (-1)^n $
E' corretto come ragionamento oppure ho scritto una cavolata?
Ma posso "sfruttare" questo ragionamento ad esempio anche per antitrasformare $ Z^(-1)[3/2*z/(z+1)] $ ?
Cioè posso (lasciando momentaneamente da parte $ 3/2 $ ):
$ z/(z+1)=1/(1+z^(-1))=sum_(n =0) (-z^-1)^n $
Che quindi sarebbe $ (-1)^n $
E' corretto come ragionamento oppure ho scritto una cavolata?
"MarkS3":
E' corretto come ragionamento oppure ho scritto una cavolata?
Sì, è corretto.
Grazie!
E invece per l'altra antitrasformata?
$ Z^(-1)[-(2z)/(z^2+z+1)]=4/sqrt3*sin(n(2pi)/3) $
Io qui, praticamente andando per tentativi e cercando i valori di seno e coseno che mi davano quest'espressione sono riuscito a ricavarmi l'antitrasformata.
Però ovviamente non credo sia questo il metodo giusto...
Come posso arrivare al risultato?
E invece per l'altra antitrasformata?
$ Z^(-1)[-(2z)/(z^2+z+1)]=4/sqrt3*sin(n(2pi)/3) $
Io qui, praticamente andando per tentativi e cercando i valori di seno e coseno che mi davano quest'espressione sono riuscito a ricavarmi l'antitrasformata.
Però ovviamente non credo sia questo il metodo giusto...
Come posso arrivare al risultato?
Scusa, MarkS3, ma per quale esame stai studiando?
Metodi Matematici
"MarkS3":
Metodi Matematici
E sai perché si chiama "metodi"?
Che cos'è un "metodo"?
Scusa la divagazione, ma mi sembra una questione di un certo interesse.
"gugo82":
Scusa, MarkS3, ma per quale esame stai studiando?
Ti vedo un po' distratto ultimamente, l'aveva già scritto nell'OP...
"MarkS3":
Ciao, sto preparando l'esame di Metodi Matematici [...]
"MarkS3":
Però ovviamente non credo sia questo il metodo giusto...
A proposito dei "metodi" menzionati da gugo82, cosa devi fare tipicamente quando hai una frazione? Scomporre in fratti semplici... Omettendo il $- 2$, da $z^2 + z + 1 = 0 $ si ottengono le due soluzioni complesse coniugate $z_1 = -1/2 + (i sqrt(3))/2 = e^{i (2 \pi)/3} $ e $z_2 = - 1/2 - (i sqrt(3))/2 = e^{- i (2 \pi)/3} $, quindi si ha:
$ (\bar{Y}(z))/z = 1/(z^2 + z + 1) = 1/((z - z_1)(z - z_2)) \implies \bar{Y}(z) = a_1 z/(z - z_1) + a_2 z/(z - z_2) = $ $ = a_1/(1 - z_1/z) + a_2/(1 - z_2/z) = a_1 \sum_{n = 0}^{+\infty} z_1^n/z^n + a_2 \sum_{n = 0}^{+\infty} z_2^n/z^n $
ove $a_1 $ e $ a_2 $ sono opportune costanti da determinare.
Dunque si ottiene:
$\bar{y}(n) = a_1 z_1^n + a_2 z_2^n $
A questo punto dovresti essere in grado di concludere...
"pilloeffe":
[quote="gugo82"]Scusa, MarkS3, ma per quale esame stai studiando?
Ti vedo un po' distratto ultimamente, l'aveva già scritto nell'OP...
"MarkS3":[/quote]
Ciao, sto preparando l'esame di Metodi Matematici [...]
No, era voluta.
Volevo che MarkS3 ponesse la dovuta attenzione al nome del corso, visto che pare non averlo compreso appieno: parla di "andare a tentativi" mentre studia "metodi"!
"gugo82":
parla di "andare a tentativi" mentre studia "metodi"!
In effetti qui non posso darti torto: "andare a tentativi" per un esame come Metodi Matematici proprio non si può sentire...
Attendo un commento da parte di MarkS3 sulla questione che sollevavo qui:
E sai perché si chiama "metodi"?
Che cos'è un "metodo"?
Scusa la divagazione, ma mi sembra una questione di un certo interesse.[/quote]
in modo da capire se ti è chiaro perché parlare di "andare a tentativi" mentre studi "metodi" è abbastanza improprio.
"gugo82":
[quote="MarkS3"]Metodi Matematici
E sai perché si chiama "metodi"?
Che cos'è un "metodo"?
Scusa la divagazione, ma mi sembra una questione di un certo interesse.[/quote]
in modo da capire se ti è chiaro perché parlare di "andare a tentativi" mentre studi "metodi" è abbastanza improprio.
Ragazzi so bene che "andare a tentativi" non è il "metodo" giusto... 
La mia era stata solo una prova stupida, anzi forse è stato inutile sia farla che scriverlo.
So che comunque ci deve essere una logica dietro la risoluzione e la mia difficoltà è proprio capire la logica.
Ho studiato la teoria però sto riscontrando alcune difficoltà ad applicarla agli esercizi, un po' anche per mancanza mia. In ogni caso in questi giorni cercherò di rivederla per bene.
La mia era stata solo una prova stupida, anzi forse è stato inutile sia farla che scriverlo.
So che comunque ci deve essere una logica dietro la risoluzione e la mia difficoltà è proprio capire la logica.
Ho studiato la teoria però sto riscontrando alcune difficoltà ad applicarla agli esercizi, un po' anche per mancanza mia. In ogni caso in questi giorni cercherò di rivederla per bene.
"gugo82":
[quote="MarkS3"]Metodi Matematici
E sai perché si chiama "metodi"?
Che cos'è un "metodo"?
Scusa la divagazione, ma mi sembra una questione di un certo interesse.[/quote]
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