Misurabilità e integrabilità di serie.
Ciao, è uno dei primi esercizi di Teoria della Misura che faccio di questo tipo quindi avrei bisogno di qualche indiaczione.
(1) Poiché \([-1, 1]\) ha misura (immagino che si stia lavorando con la misura di Lebesgue ereditata da \(\mathbb R\)) finita, allora mi basta vedere la convergenza quasi ovunque e le altre due vengono gratis. Se \(x \ge 0\), la serie è a termini positivi e si comporta come \(\sum_{n = 1}^\infty \frac{x^n}{\pi n}\). Quindi, diverge per \(x = 1\), mentre converge per \(x \in [0, 1[\). Vediamo il caso in cui \(x \le 0\): la serie ha termini a segno alterno, e per il criterio di Leibniz converge. Pertanto: converge quasi ovunque in \([-1, 1]\).
(2) Discuto l'integrabilità prima. Qui considero un caso preliminare: \[\int_{[0, L]} s \mathrm{d}\mu \quad\text{dove } L \in [0, 1].\] Posso applicare il Teorema di Beppo-Levi, e quindi avrei \[\int_{[0, L]} s \mathrm d \mu = \sum_{n = 1}^\infty \int_0^L \frac{t^n}{2n\arctan(3n^2)}\mathrm d t = \sum_{n=1}^\infty \frac{L^{n+1}}{2n(n+1)\arctan(3n^2)}\] e questa serie converge in ogni caso, perché si comporta come \(\sum_{n=1}^\infty \frac{L^{n+1}}{\pi n^2}\). Fatto questo, mi sembra che il Teorema di convergenza dominata permetta di concludere \(s\) sia integrabile in tutto \([-1, 1]\).
Ora la misurabilità. Il massimo che riesco a dire è questo: valendo in \([0,1]\) \[s(x) = \sup_{m \in \mathbb N} \sum_{n=1}^m \frac{x^n}{2n \arctan(3n^2)}\] ho che \(s\) è misurabile se è ristretto a \([0, 1]\). Ma altrove?
Esercizio. Considerare la serie di funzioni \[s(x) := \sum_{n = 1}^\infty \frac{x^n}{2n \arctan (3n^2)} \quad\text{dove } x \in [-1, 1] .\] (1) Discutere convergenza quasi ovunque, quasi uniforme e in misura della serie
(2) Per gli \(x \in [-1, 1]\) per cui \(s(x)\) è definita, valutare misurabilità e integrabilità alla Lebesgue di \(s\) in \([-1, 1]\) oppure in suoi sotto-intervalli.
(1) Poiché \([-1, 1]\) ha misura (immagino che si stia lavorando con la misura di Lebesgue ereditata da \(\mathbb R\)) finita, allora mi basta vedere la convergenza quasi ovunque e le altre due vengono gratis. Se \(x \ge 0\), la serie è a termini positivi e si comporta come \(\sum_{n = 1}^\infty \frac{x^n}{\pi n}\). Quindi, diverge per \(x = 1\), mentre converge per \(x \in [0, 1[\). Vediamo il caso in cui \(x \le 0\): la serie ha termini a segno alterno, e per il criterio di Leibniz converge. Pertanto: converge quasi ovunque in \([-1, 1]\).
(2) Discuto l'integrabilità prima. Qui considero un caso preliminare: \[\int_{[0, L]} s \mathrm{d}\mu \quad\text{dove } L \in [0, 1].\] Posso applicare il Teorema di Beppo-Levi, e quindi avrei \[\int_{[0, L]} s \mathrm d \mu = \sum_{n = 1}^\infty \int_0^L \frac{t^n}{2n\arctan(3n^2)}\mathrm d t = \sum_{n=1}^\infty \frac{L^{n+1}}{2n(n+1)\arctan(3n^2)}\] e questa serie converge in ogni caso, perché si comporta come \(\sum_{n=1}^\infty \frac{L^{n+1}}{\pi n^2}\). Fatto questo, mi sembra che il Teorema di convergenza dominata permetta di concludere \(s\) sia integrabile in tutto \([-1, 1]\).
Ora la misurabilità. Il massimo che riesco a dire è questo: valendo in \([0,1]\) \[s(x) = \sup_{m \in \mathbb N} \sum_{n=1}^m \frac{x^n}{2n \arctan(3n^2)}\] ho che \(s\) è misurabile se è ristretto a \([0, 1]\). Ma altrove?
Risposte
Ah grazie. Era un piccolo risultato che mi ero dimenticato, quello dei \(\displaystyle\liminf_{n \to \infty}\) e \(\displaystyle\limsup_{n \to \infty}\) di successioni di funzioni misurabili.
Non ha molto senso chiedersi se una funzione sia misurabile DOPO avere discusso l'integrabilità. Se una funzione non è misurabile non ha senso neanche parlare di "integrale". Infatti all'atto pratico "tutte" le funzioni sono misurabili. Per costruire funzioni non misurabili devi necessariamente usare l'assioma della scelta.
Comunque, il tuo svolgimento va bene, ma non si capisce qual è la tua conclusione riguardo l'integrabilità. La funzione \(s=s(x)\) è integrabile o no? Su quali intervalli?
Comunque, il tuo svolgimento va bene, ma non si capisce qual è la tua conclusione riguardo l'integrabilità. La funzione \(s=s(x)\) è integrabile o no? Su quali intervalli?
"dissonance":
Non ha molto senso chiedersi se una funzione sia misurabile DOPO avere discusso l'integrabilità. [...]
In realtà era una cosa pratica. Mi è uscita male. Era la parte che non mi veniva inizialmente e quindi l'ho lasciata per ultima. Anche quando ho modificato il primo post poco dopo, con una soluzione parziale, l'ho lasciata in coda.
"dissonance":
Comunque, il tuo svolgimento va bene, ma non si capisce qual è la tua conclusione riguardo l'integrabilità.
Hai ragione sono stato particolarmente laconico. Studiando \(\int_{[0, L]} s \mathrm d \mu\), mi sono garantito l'integrabilità in tutti gli intervalli, contenuti in \([0, 1]\). In realtà penso che lo sia in tutto \([-1, 1]\). Voglio dire: ho
\[\left\lvert \sum_{n=1}^m \frac{x^n}{2n \arctan(3n^2)} \right\rvert \le \sum_{n=1}^\infty \frac{{\lvert x \rvert}^n}{2n \arctan(3n^2)}\] dove il secondo pezzo è integrabile in \([-1, 1]\) perché integrato fa \(2 \int_{[0,1]} s \mathrm d\mu\) che è finito. Quindi per il teorema della convergenza dominata avrei che \(s\) è integrabile in tutto \([-1, 1]\).
Perché il membro destro sarebbe integrabile? Dici che \(\int_0^1 sd\mu\) è finito, ma dove lo hai dimostrato? Penso che quanto dici sia vero, ma manca un pezzo nella dimostrazione. Infatti, integrando il membro destro di quella disuguaglianza ti viene fuori una serie numerica. É convergente?
Sono fusissimo... (E Analisi non è mai stata il mio forte...)
"dissonance":
Perché il membro destro sarebbe integrabile? Dici che \(\int_0^1 sd\mu\) è finito, ma dove lo hai dimostrato?
"kaspar":
[...] Qui considero un caso preliminare: \[\int_{[0, L]} s \mathrm{d}\mu \quad\text{dove } L \in [0, 1].\] Posso applicare il Teorema di Beppo-Levi, e quindi avrei \[\int_{[0, L]} s \mathrm d \mu = \sum_{n = 1}^\infty \int_0^L \frac{t^n}{2n\arctan(3n^2)}\mathrm d t = \sum_{n=1}^\infty \frac{L^{n+1}}{2n(n+1)\arctan(3n^2)}\] e questa serie converge in ogni caso, perché si comporta come \(\sum_{n=1}^\infty \frac{L^{n+1}}{\pi n^2}\). [...]
Esatto, hai fatto tutto. Mi confonde un po' il tuo svolgimento perché non capisco la necessità di questo parametro \(L\). Non potevi fare tutto direttamente con \(L=1\)? Avresti fatto prima. La funzione \(s\) appartiene a \(L^1([0, 1])\).
"dissonance":In generale non mi viene immediata la soluzione, vado per approssimazioni successive alla soluzione. Quello che scrivo è il percorso che faccio nella mia testa. Sì, dovrei rileggere e ripresentare il materiale.
Mi confonde un po' il tuo svolgimento perché non capisco la necessità di questo parametro \(L\).
Io avrei svolto così. Come hai detto, la funzione \(s\) è ben definita come limite puntuale della serie in quasi tutti i punti. Chiaramente è una funzione misurabile, perché limite puntuale di funzioni misurabili, quindi per stabilire se essa è integrabile bisogna stabilire se
\[
\int_{-1}^1 \lvert s(x)\rvert\, dx,\infty.\]
E questo è vero, perché
\[
\int_{-1}^1 \lvert s(x)\rvert\, dx\le \int_{-1}^1 \sum_{n=1}^\infty \frac{\lvert x\rvert^n}{2n \arctan(3n^2)} \, dx\le \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2n(n+1) \arctan(3n^2)} <\infty.\]
Qui ho usato implicitamente il teorema di Beppo Levi per commutare la serie e l'integrale.
\[
\int_{-1}^1 \lvert s(x)\rvert\, dx,\infty.\]
E questo è vero, perché
\[
\int_{-1}^1 \lvert s(x)\rvert\, dx\le \int_{-1}^1 \sum_{n=1}^\infty \frac{\lvert x\rvert^n}{2n \arctan(3n^2)} \, dx\le \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{2n(n+1) \arctan(3n^2)} <\infty.\]
Qui ho usato implicitamente il teorema di Beppo Levi per commutare la serie e l'integrale.
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