Serie di Laurent
Ciao a tutti, ho questa funzione da sviluppare in serie di Laurent centrata in z=0 e convergente in 2i.
$ f(z) = (z^3 + 1) / (z^3 - 1) $
Non ho idea da dove cominciare
$ f(z) = (z^3 + 1) / (z^3 - 1) $
Non ho idea da dove cominciare
Risposte
Ciao! Hai che $$\frac{z^3+1}{z^3-1}=\frac{z^3-1+2}{z^3-1}=1-2\cdot \frac{1}{1-z^3}$$
Ora usa la serie geometrica.
Ora usa la serie geometrica.
"Mephlip":
Ciao! Hai che $$\frac{z^3+1}{z^3-1}=\frac{z^3-1+2}{z^3-1}=1-2\cdot \frac{1}{1-z^3}$$
Ora usa la serie geometrica.
Ciao, ho provato a fare come mi hai detto. Ma ho dei problemi nelle ipotesi di convergenza, nel senso se vado a sostituire 2i in z^3 mi da delle condizioni non vere.
$ |w| < 1 ; |z^3| < 1 $
Dobbiamo avere la serie convergente in z = 2i
$ | (2i) ^ 3 | < 1; |-8i| < 1 ; |8| < 1 $
Che non è vero.
Forse devo raccogliere lo z^3. In questo modo avrò:
$ 1 + 1/z^3 * 2 / ( 1- 1/ z^3) $
E sviluppo la serie geometrica di $ 1/ z^3 $
Può essere corretto?
$ 1 + 1/z^3 * 2 / ( 1- 1/ z^3) $
E sviluppo la serie geometrica di $ 1/ z^3 $
Può essere corretto?
Ciao Marcelcip3,
Sì. Infatti la soluzione proposta da Mephlip (che peraltro è quella che inizialmente avevo pensato anch'io) converge per $|z^3| < 1 $, mentre a te serve qualcosa che converga per $|z^3|> 1 $...
"Marcelcip3":
Può essere corretto?
Sì. Infatti la soluzione proposta da Mephlip (che peraltro è quella che inizialmente avevo pensato anch'io) converge per $|z^3| < 1 $, mentre a te serve qualcosa che converga per $|z^3|> 1 $...
"Marcelcip3":Sì hai ragione, ho completamente perso la condizione che converga in $2i$, scusa.
Ciao, ho provato a fare come mi hai detto. Ma ho dei problemi nelle ipotesi di convergenza, nel senso se vado a sostituire 2i in z^3 mi da delle condizioni non vere.
"Marcelcip3":
Ciao a tutti, ho questa funzione da sviluppare in serie di Laurent centrata in z=0 e convergente in 2i.
$ f(z) = (z^3 + 1) / (z^3 - 1) $
Non ho idea da dove cominciare
Anche se e' da molto tempo che non guardo questi esercizi...
$ f(z) = (z^3 + 1) / (z^3 - 1) $
$ = (1+1/z^3) / (1-1/z^3) $
$ = (1+1/z^3) (1+1/z^3+1/z^6+1/z^9+...) $
$ = 1+2/z^3+2/z^6+2/z^9+... $
Riassumendo, comunque tu proceda dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:
$ f(z) = (z^3 + 1) / (z^3 - 1) ={(1 - 2 \sum_{n = 0}^{+\infty} z^{3n} \text{ per } |z| < 1),(1 + 2 \sum_{n = 0}^{+\infty} z^{- 3n - 3} \text{ per } |z| > 1):} $
$ f(z) = (z^3 + 1) / (z^3 - 1) ={(1 - 2 \sum_{n = 0}^{+\infty} z^{3n} \text{ per } |z| < 1),(1 + 2 \sum_{n = 0}^{+\infty} z^{- 3n - 3} \text{ per } |z| > 1):} $
Si, esatto. E' il risulato che ho trovato anche io, grazie a tutti 
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