Analisi superiore

Dato $ z=|z|e^(i\theta) $, sia $ f(z)=\sqrtz=|z|^(1/2)e^(i\theta/2)$. Sui miei appunti è riportato che affinchè la funzione $ f(z) $ ritorni al valore che assume in $ z=|z| $ sono richiesti due giri intorno all'origine del piano complesso. Studiando le proprietà dei numeri complessi, però, so che $ 0\le\theta<2\pi $. Come posso, quindi, eseguire due giri? Avevo pensato di definire il dominio di $ \sqrtz $ come $ 0\le\theta/2<2pi $ da cui $ 0\le\theta<4pi $ ma non so se è corretto

Salve a tutti, ieri all'università ho provato l'esame scritto di Metodi matematici e non sono riuscito a svolgere un esercizio sulle serie di funzioni; ho anche chiesto ad altri che hanno fatto l'esame con me e nessuno è riuscito a rispondermi. Spero che qualcuno di voi sappia aiutarmi Calcolare il dominio di convergenza della seguente serie di funzioni: $\sum_{n=1}^oo n^2 * sen(2^(1-nx))$

Salve a tutti, non mi è chiaro perché, se considero degli operatori illimitati, diciamo $ hatA $ e $ hatB $ , allora mi risulta problematico calcolare $ [hatA, hatB] $ e invece posso sempre scrivere $ [e^(ihatA), e^(ihatB)] $ . Grazie in anticipo

Buongiorno, volevo chiedere se qualcuno sapesse indicarmi della letteratura riguardante la normalizzazione delle funzioni. Riporto in particolare la formula della normalizzazione all'ordine 1 di una funzione f. $f_n = \frac{f}{sqrt(f^2+norm(grad(f))^2)}$ Grazie mille Saluti [xdom="j18eos"]Sposto.[/xdom]

Salve ho il seguente integrale : $ int_(-oo )^(+oo ) (sen6xcos3x)/((6x-pi)^2(3x-pi)) dx $ Se applico le formule di Werner mi riconducono a due seni : $ 1/2int_(-oo )^(+oo ) (sen9x+sen3x)/((6x-pi)^2(3x-pi)) dx $ Ottengo così la funzione $ f(z)=(e^(j9z)+e^(j3z))/((6z-pi)^2(3z-pi)) $ E mi accorgo che i residui sono due, in particolare $ R[pi/3]=lim_(z -> pi/3) (e^(j9z)+e^(j3z))/(3(6z-pi)^2) $ L'altro residuo invece è da calcolare in $ pi/6 $ , ma non riesco a capire se il polo sia semplice o doppio, poiché anche il numeratore si annulla.

Buongiorno, sto trovando difficoltà nel risolvere questo logaritmo: $int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2+4} dx$. Si tratta di un integrale del tipo $I = \int_0^\infty f(x) \log^n(x) dx$ che, dalle dispense del professore che sto seguendo, si dice poter essere risolto con due diversi contorni: 1. Il semicerchio indentando la singolarità in $0$ e facendo un taglio in $\frac{3\pi}{2}$ 2. oppure con il contorno a "buco della serratura" tagliando ad esempio nel semiasse positivo dei reali. Sto cercando di risolverlo in ...

Non riesco a risolvere il seguente integrale: $ int_(-oo)^(+oo) e^(-abs(t)/T)u(t) * e^(-abs(t-tau)/T)u(t-tau) dt $ dove \(\displaystyle u(t) \) è la funzione gradino... in particolare non capisco come gestire il valore assoluto. C'è un modo veloce di svolgerlo? Grazie in anticipo

Salve a tutti, ho iniziato a studiare i problemi ai limiti e già sono sorti i dubbi sulle prime dimostrazioni. In allegato le foto del libro : $ X $ è il sottospazio reale di $ L^2(a,b) $ dato da $ X={yin C^2[a,b]: alpha_1 y(a)+beta _1y^{\prime}(a)=alpha_2 y(b)+beta _1y^{\prime}(b)=0} $ I miei dubbi sono: -Come mai ad un certo punto dice che la soluzione $ y_1 $ si può determinare grazie al sistema $ { ( Ly=0 ),( y(a)=-beta _1\ \ \ \ y^{\prime}(a)=alpha _1) :} $ , medesima cosa per la soluzione $ y_2 $ -Come fa ad ...

Ciao a tutti, ho la necessità di effettuare un mapping, tramite una trasformazione conforme, di un dominio P definito su xy da un rettangolo [0,1:0,6] il cui bordo in [0,1] è la funzione : (1-cos(pi*x)) in un dominio V :[0,1:0,1]. Devo trovare la trasformazione che mi permette di passare da P a V e viceversa. Qualcuno può per favore darmi una mano? Anche solo uno spunto da cui partire, da diversi giorni sto cercando tra testi e altro, per riuscire a capire come fare e da dove partire... ...

$ d sqrt(\bar F*F)/dx $Avendo una funzione di variabile reale ma a valori complessi $ F(x): R-> C$, voglio eseguire la derivata del modulo di tale funzione, cioè $d||F||/dx$, vorrei sapere se vale la regola di derivazione del valore assoluto per cui $d|g|/dx=(|g|/g)*dg/dx$ e se non vale questa regola se esiste qualche altra regola utile ? Per esempio è lecito operare così: $d||F||/dx$=$d sqrt(\bar F*F)/dx = (1/(2*sqrt(\bar F*F)))*(d\bar F/dx*F+\bar F*dF/dx)$

Buonasera, non riesco a svolgere questo integrale con i residui. Sono partita complessificando la funzione: $f(z) =\int_{-\infty}^{\infty} (\sin(z))/((z-1)(z^2+4)) dz$ Ho calcolato le singolarità: $(z-1)(z^2+4) = 0$ ossia quando $z=1$ oppure quando $z=\pm 2i$ Ho riscritto dunque la funzione come segue: $f(z) = \frac{\sin(z)}{(z-1)(z-2i)(z+2i)} dz$ Tutti e tre i poli sono dei poli semplici e in particolare $z=1$ è una singolarità sul cammino di integrazione pertanto dobbiamo ricorrere a un cammino indentato ossia a un contorno ...

Buongiorno ho un problema con la spiegazione dello spettro continuo per operatori lineari data dal mio professore: Lui ha detto che $\sigma_c(\hat{A}) = \{\lambda \in \mathbb{C} \quad 1) \ Ker (\hat{A} - \lambda \hat{I}) = \{ \underline{0} \}, \quad 2) \ R(\hat{A} - \lambda \hat{I}) \text{è denso in H)} \}$ dove $1)$ e $2)$ sono le due condizioni che devono essere rispettate per avere lo spettro continuo mentre con $H$ si indica lo spazio di Hilbert e con $R$ si indica lo spettro risolvente che in questo caso ha detto esistere, ma non essere limitato. Innanzitutto potete darmi una definizione di ...

Salve, non riesco a calcolare la trasformata di Fourier di questa funzione, ho scritto il coseno in forma esponenziale: = con il coseno scritto con l'esponenziale sarebbe semplice calcolare X ma con la t a moltiplicare PHI non riesco a risolvere

Avrei un paio di domande (alla fine) riguardo questa dimostrazione Per ogni \( A \subseteq \mathbb{N} \) esiste uno spazio metrico compatto \(X\), una misura di Borel \( \mu \) su \(X\), una trasformazione continua che preserva la misura \(T:X \to X \), un punto \(x \in X \) che è generico per \( \mu \) lungo una successione \((I_k)_{k \in \mathbb{N} } \) di intervalli la cui lunghezza si riduce all'infinito (whose length dents to infinity), e un insieme aperto-chiuso \(E \subseteq X \) tale ...

Ciao a tutti, ho alcuni dubbi sugli sviluppi in serie di Fourier. A lezione hanno introdotto le serie di Fourier come polinomi trigonometrici aventi come coefficienti ck $ c_k=1/(2pi)int_(0)^(2pi) f(x)*e^(-ikx) dx $ e i polinomi trigonometrici hanno la forma $ sum_(k = \-n)^n c_k *e^(ikx) $, che usando la formula di eulero diventa $ sum_(k = \-n)^n c_k *e^(ikx)= sum_(k = \-n)^n c_k*(cos(kx)+i*sin(kx)) $. Su tutti i libri che ho trovato, però, la $ i $ non compare nelle formule per le serie di Fourier e non riesco a capire come mai.

Propongo questo interessante esercizio d'esame -Metodi matematici -prof. Bramanti ( Polimi ) Chi vuole cimentarsi ... Ecco il testo : * Classificare le singolarità della seguente funzione e calcolare il residuo in ogni punto di singolarità non essenziale : $ f(z) = ( cos(pi/2 *z)*cos ( pi/z))/( (e^(z^2-1)-1)*(z+3)^2) $

Avrei una domanda in relazione alla seguente domanda: Sia \( G \) un gruppo abeliano compatto, \(m_G \) la misura di Haar su \(G\) e \(T: G \to G \) un omomorfismo suriettivo e continuo. Dimostra che \(T\) è ergodico se e solo se l'identità \( \chi(T^n g) = \chi (g) \), per qualche \( n > 0 \) e qualche carattere \( \chi \in \widehat{G} \) implica che \( \chi \) è il carattere banale, i.e. \( \chi(g) =1 \) per ogni \(g \in G \). Una direzione è facile, mentre per l'altra la soluzione dice ...

Salve a tutti, non riesco a capire come calcolare il valore di questo integrale lungo $gamma(t)=3e^(it)$ con $tin[0,2pi)$ $int(coshz +e^(piz)/(z+i)^11)dz$ Le risposte sono: a)$-(pi^11i)/(19958400)$ b)$(pi^11i)/(19958400)$ c)$(pi^11i)/(1814400)$ d)$-(pi^11i)/(1814400)$ La risposta corretta è la d Ho provato a sviluppare il $cosh$ e l'esponenziale in serie di Laurent in $z=-i$ ma arrivo ad avere una somma di due serie che non mi porta da nessuna parte, anche perchè non sono riuscito a ...

Sia $(X,mu)$ uno spazio di misura $sigma$ finito e sia ${f_n} sube L(mu)^p$ con $1<p<infty$ t.c $||f_n||<=M<infty$ e $f_n->f_0$ puntualmente $mu$ quasi ovunque. Dimostrare che $f_n->f_0$ debolmente in $L(mu)^p$ la tesi da dimostrare sarebbe che $<f_n,x^*)> -> <f_0,x^*>$ o equivalentemente $<f_n-f_0,x^*> ->0$ su suggerimento del docente ho dimostrato i seguenti punti che dovrebbero portarmi immediatamente alla tesi: i) ogni successione ...

Non capisco come risolvere l' "esercizio extra" nelle soluzioni di un esercizio: Dimostra che l'ergodicitià non è preservata sotto il prodotto diretto trovando una coppia di sistemi ergodici \( (X,B_X, \mu, T) \) e \( (Y, A_Y, \nu, S) \) tale che \( T \times S \) non è ergodico rispetto alla misura prodotto \( \mu \times \nu \). Soluzioni: Sia \( X=Y= \mathbb{T} \) il toro, \(B_X,B_Y \) la \(\sigma\)-algebra di Borel, \( \mu=\nu=m_{\mathbb{T}} \) la misura di Lebesgue sul toro. Poniamo ...