Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Buongiorno,
volevo chiedere se qualcuno sapesse indicarmi della letteratura riguardante la normalizzazione delle funzioni.
Riporto in particolare la formula della normalizzazione all'ordine 1 di una funzione f.
$f_n = \frac{f}{sqrt(f^2+norm(grad(f))^2)}$
Grazie mille
Saluti
[xdom="j18eos"]Sposto.[/xdom]
Salve ho il seguente integrale :
$ int_(-oo )^(+oo ) (sen6xcos3x)/((6x-pi)^2(3x-pi)) dx $
Se applico le formule di Werner mi riconducono a due seni :
$ 1/2int_(-oo )^(+oo ) (sen9x+sen3x)/((6x-pi)^2(3x-pi)) dx $
Ottengo così la funzione
$ f(z)=(e^(j9z)+e^(j3z))/((6z-pi)^2(3z-pi)) $
E mi accorgo che i residui sono due, in particolare
$ R[pi/3]=lim_(z -> pi/3) (e^(j9z)+e^(j3z))/(3(6z-pi)^2) $
L'altro residuo invece è da calcolare in $ pi/6 $ , ma non riesco a capire se il polo sia semplice o doppio, poiché anche il numeratore si annulla.
Buongiorno, sto trovando difficoltà nel risolvere questo logaritmo: $int_0^\infty \frac{\log(x)}{x^2+4} dx$.
Si tratta di un integrale del tipo $I = \int_0^\infty f(x) \log^n(x) dx$ che, dalle dispense del professore che sto seguendo, si dice poter essere risolto con due diversi contorni:
1. Il semicerchio indentando la singolarità in $0$ e facendo un taglio in $\frac{3\pi}{2}$
2. oppure con il contorno a "buco della serratura" tagliando ad esempio nel semiasse positivo dei reali.
Sto cercando di risolverlo in ...
Non riesco a risolvere il seguente integrale:
$ int_(-oo)^(+oo) e^(-abs(t)/T)u(t) * e^(-abs(t-tau)/T)u(t-tau) dt $
dove \(\displaystyle u(t) \) è la funzione gradino... in particolare non capisco come gestire il valore assoluto. C'è un modo veloce di svolgerlo?
Grazie in anticipo
Salve a tutti, ho iniziato a studiare i problemi ai limiti e già sono sorti i dubbi sulle prime dimostrazioni. In allegato le foto del libro :
$ X $ è il sottospazio reale di $ L^2(a,b) $ dato da
$ X={yin C^2[a,b]: alpha_1 y(a)+beta _1y^{\prime}(a)=alpha_2 y(b)+beta _1y^{\prime}(b)=0} $
I miei dubbi sono:
-Come mai ad un certo punto dice che la soluzione $ y_1 $ si può determinare grazie al sistema
$ { ( Ly=0 ),( y(a)=-beta _1\ \ \ \ y^{\prime}(a)=alpha _1) :} $ , medesima cosa per la soluzione $ y_2 $
-Come fa ad ...
Ciao a tutti,
ho la necessità di effettuare un mapping, tramite una trasformazione conforme, di un dominio P definito su xy da un rettangolo [0,1:0,6] il cui bordo in [0,1] è la funzione : (1-cos(pi*x)) in un dominio V :[0,1:0,1].
Devo trovare la trasformazione che mi permette di passare da P a V e viceversa.
Qualcuno può per favore darmi una mano? Anche solo uno spunto da cui partire, da diversi giorni sto cercando tra testi e altro, per riuscire a capire come fare e da dove partire... ...
$ d sqrt(\bar F*F)/dx $Avendo una funzione di variabile reale ma a valori complessi $ F(x): R-> C$, voglio eseguire la derivata del modulo di tale funzione, cioè $d||F||/dx$, vorrei sapere se vale la regola di derivazione del valore assoluto per cui $d|g|/dx=(|g|/g)*dg/dx$ e se non vale questa regola se esiste qualche altra regola utile ?
Per esempio è lecito operare così:
$d||F||/dx$=$d sqrt(\bar F*F)/dx = (1/(2*sqrt(\bar F*F)))*(d\bar F/dx*F+\bar F*dF/dx)$
Buonasera, non riesco a svolgere questo integrale con i residui.
Sono partita complessificando la funzione:
$f(z) =\int_{-\infty}^{\infty} (\sin(z))/((z-1)(z^2+4)) dz$
Ho calcolato le singolarità:
$(z-1)(z^2+4) = 0$ ossia quando $z=1$ oppure quando $z=\pm 2i$
Ho riscritto dunque la funzione come segue:
$f(z) = \frac{\sin(z)}{(z-1)(z-2i)(z+2i)} dz$
Tutti e tre i poli sono dei poli semplici e in particolare $z=1$ è una singolarità sul cammino di integrazione pertanto dobbiamo ricorrere a un cammino indentato ossia a un contorno ...
Buongiorno ho un problema con la spiegazione dello spettro continuo per operatori lineari data dal mio professore:
Lui ha detto che $\sigma_c(\hat{A}) = \{\lambda \in \mathbb{C} \quad 1) \ Ker (\hat{A} - \lambda \hat{I}) = \{ \underline{0} \}, \quad 2) \ R(\hat{A} - \lambda \hat{I}) \text{è denso in H)} \}$
dove $1)$ e $2)$ sono le due condizioni che devono essere rispettate per avere lo spettro continuo mentre con $H$ si indica lo spazio di Hilbert e con $R$ si indica lo spettro risolvente che in questo caso ha detto esistere, ma non essere limitato. Innanzitutto potete darmi una definizione di ...
Salve, non riesco a calcolare la trasformata di Fourier di questa funzione, ho scritto il coseno in forma esponenziale:
=
con il coseno scritto con l'esponenziale sarebbe semplice calcolare X ma con la t a moltiplicare PHI non riesco a risolvere
Avrei un paio di domande (alla fine) riguardo questa dimostrazione
Per ogni \( A \subseteq \mathbb{N} \) esiste uno spazio metrico compatto \(X\), una misura di Borel \( \mu \) su \(X\), una trasformazione continua che preserva la misura \(T:X \to X \), un punto \(x \in X \) che è generico per \( \mu \) lungo una successione \((I_k)_{k \in \mathbb{N} } \) di intervalli la cui lunghezza si riduce all'infinito (whose length dents to infinity), e un insieme aperto-chiuso \(E \subseteq X \) tale ...
Ciao a tutti,
ho alcuni dubbi sugli sviluppi in serie di Fourier.
A lezione hanno introdotto le serie di Fourier come polinomi trigonometrici aventi come coefficienti ck
$ c_k=1/(2pi)int_(0)^(2pi) f(x)*e^(-ikx) dx $
e i polinomi trigonometrici hanno la forma $ sum_(k = \-n)^n c_k *e^(ikx) $, che usando la formula di eulero diventa
$ sum_(k = \-n)^n c_k *e^(ikx)= sum_(k = \-n)^n c_k*(cos(kx)+i*sin(kx)) $.
Su tutti i libri che ho trovato, però, la $ i $ non compare nelle formule per le serie di Fourier e non riesco a capire come mai.
Propongo questo interessante esercizio d'esame -Metodi matematici -prof. Bramanti ( Polimi )
Chi vuole cimentarsi ...
Ecco il testo :
* Classificare le singolarità della seguente funzione e calcolare il residuo in ogni punto di singolarità non essenziale :
$ f(z) = ( cos(pi/2 *z)*cos ( pi/z))/( (e^(z^2-1)-1)*(z+3)^2) $
Avrei una domanda in relazione alla seguente domanda:
Sia \( G \) un gruppo abeliano compatto, \(m_G \) la misura di Haar su \(G\) e \(T: G \to G \) un omomorfismo suriettivo e continuo. Dimostra che \(T\) è ergodico se e solo se l'identità \( \chi(T^n g) = \chi (g) \), per qualche \( n > 0 \) e qualche carattere \( \chi \in \widehat{G} \) implica che \( \chi \) è il carattere banale, i.e. \( \chi(g) =1 \) per ogni \(g \in G \).
Una direzione è facile, mentre per l'altra la soluzione dice ...
Salve a tutti, non riesco a capire come calcolare il valore di questo integrale lungo $gamma(t)=3e^(it)$ con $tin[0,2pi)$ $int(coshz +e^(piz)/(z+i)^11)dz$
Le risposte sono:
a)$-(pi^11i)/(19958400)$
b)$(pi^11i)/(19958400)$
c)$(pi^11i)/(1814400)$
d)$-(pi^11i)/(1814400)$
La risposta corretta è la d
Ho provato a sviluppare il $cosh$ e l'esponenziale in serie di Laurent in $z=-i$ ma arrivo ad avere una somma di due serie che non mi porta da nessuna parte, anche perchè non sono riuscito a ...
Sia $(X,mu)$ uno spazio di misura $sigma$ finito e sia ${f_n} sube L(mu)^p$ con $1<p<infty$ t.c $||f_n||<=M<infty$ e $f_n->f_0$ puntualmente $mu$ quasi ovunque.
Dimostrare che $f_n->f_0$ debolmente in $L(mu)^p$
la tesi da dimostrare sarebbe che $<f_n,x^*)> -> <f_0,x^*>$ o equivalentemente $<f_n-f_0,x^*> ->0$
su suggerimento del docente ho dimostrato i seguenti punti che dovrebbero portarmi immediatamente alla tesi:
i) ogni successione ...
Non capisco come risolvere l' "esercizio extra" nelle soluzioni di un esercizio:
Dimostra che l'ergodicitià non è preservata sotto il prodotto diretto trovando una coppia di sistemi ergodici \( (X,B_X, \mu, T) \) e \( (Y, A_Y, \nu, S) \) tale che \( T \times S \) non è ergodico rispetto alla misura prodotto \( \mu \times \nu \).
Soluzioni:
Sia \( X=Y= \mathbb{T} \) il toro, \(B_X,B_Y \) la \(\sigma\)-algebra di Borel, \( \mu=\nu=m_{\mathbb{T}} \) la misura di Lebesgue sul toro. Poniamo ...
Ciao. Sia \( X \) un insieme non vuoto e sia \( \mathscr M \) una \( \sigma \)-algebra su \( X \). Sia \( f\colon X\to \mathbb R \) una funzione di insiemi. Dico che \( f \) è misurabile se è \( (\mathscr M,\mathscr B(\mathbb R)) \)-misurabile, dove \( \mathscr B(\mathbb R) \) è la \( \sigma \)-algebra dei boreliani su \( \mathbb R \). In altre parole, \( f \) è misurabile se per ogni \( F\in \mathscr B(\mathbb R) \), si ha \( f^{-1}(F)\in \mathscr M \).
È vero che \( f \) è misurabile se e ...
Ciao,
ho da rispondere al seguente quesito:
"Data $f_n(x) = \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4)$ dire se
$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x) dx = \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$"
Come ho pensato di risponedere.
Valuto dapprima la convergenza puntuale della successione di funzioni: risulta
$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4) = 0, \forall x \in (0, \infty)$
Pensando di applicare il Teorema della convergenza dominata, trovo una maggiorante sommabile in x $\in (1, \infty)$. Ragiono così:
$|\frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4)| < |\frac(n^{3/2}x)\(x^4n^4)| <\frac(1)\(x^3n^{5/2}) < \frac(1)\(x^3) \in L^1(1, \infty)$
Non riesco a ricavare una maggiorante sommabile nell'intervallo $(0, 1)$. Qualche suggerimento? Se tale ...
Buonasera a tutti,
Sto provando calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo : $f(x)=sen t*chi[-pi,pi]$
Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier :
$F(ω)=int_-oo^oo sen t*chi[-pi,pi]e^(−iωt) dt =int_-pi^pi sen t*e^(−iωt) $
Applicando la definizone del $sent $ di Eulero e risolvendo gli integrali :
$F(ω)=1/(2i)*int_-pi^pi e^(it*(i-omega)) dt + 1/(2i)*int_-pi^pi e^(-it*(i-omega)) dt$
trovo la seguente espressione :
$(e^(ipi*(1-omega))*e^(-ipi*(1-omega)))/omega^2$
Detto risultato assomiglia alla definizione di Eulero del coseno ma non so come manipolare ulteriormente.
Magari ho commesso qualche errore di ...
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