Equazione di 4° grado complessa
Salve, mi trovo alle prese con questa equazione nel campo complesso di 4° grado.. qualcuno potrebbe darmi qualche dritta per impostarla ? grazie mille! $ ((z+i)/(z-2))^4=1 $
Risposte
Ciao nl83.2,
La cosa più semplice mi pare sia porre $w := (z+i)/(z-2) $, sicché si ottiene la semplice equazione $w^4 = 1 $ che si può risolvere con la formula di de Moivre, naturalmente escludendo la soluzione $z = 2 $ per ovvi motivi.
In alternativa si può anche osservare che si ha:
$w^4 - 1 = 0 $
$(w^2 - 1)(w^2 + 1) = 0 $
$(w - 1)(w + 1)(w + i)(w - i) = 0 $
$w_0 = 1 \implies \text{Nessuna soluzione} $
$w_1 = - 1 \implies (z+i)/(z-2) = - 1 \implies z + i = - z + 2 \implies z_1 = 1 - 1/2 i $
$w_2 = - i \implies (z+i)/(z-2) = - i \implies z + i = - iz + 2i \implies (1 + i) z = i \implies z_2 = 1/2 + 1/2 i $
$w_3 = i \implies (z+i)/(z-2) = i \implies z + i = iz - 2i \implies (1 - i)z = - 3i \implies z_3 = 3/2 - 3/2 i $
La cosa più semplice mi pare sia porre $w := (z+i)/(z-2) $, sicché si ottiene la semplice equazione $w^4 = 1 $ che si può risolvere con la formula di de Moivre, naturalmente escludendo la soluzione $z = 2 $ per ovvi motivi.
In alternativa si può anche osservare che si ha:
$w^4 - 1 = 0 $
$(w^2 - 1)(w^2 + 1) = 0 $
$(w - 1)(w + 1)(w + i)(w - i) = 0 $
$w_0 = 1 \implies \text{Nessuna soluzione} $
$w_1 = - 1 \implies (z+i)/(z-2) = - 1 \implies z + i = - z + 2 \implies z_1 = 1 - 1/2 i $
$w_2 = - i \implies (z+i)/(z-2) = - i \implies z + i = - iz + 2i \implies (1 + i) z = i \implies z_2 = 1/2 + 1/2 i $
$w_3 = i \implies (z+i)/(z-2) = i \implies z + i = iz - 2i \implies (1 - i)z = - 3i \implies z_3 = 3/2 - 3/2 i $
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