Analisi superiore

Non capisco come risolvere l' "esercizio extra" nelle soluzioni di un esercizio: Dimostra che l'ergodicitià non è preservata sotto il prodotto diretto trovando una coppia di sistemi ergodici \( (X,B_X, \mu, T) \) e \( (Y, A_Y, \nu, S) \) tale che \( T \times S \) non è ergodico rispetto alla misura prodotto \( \mu \times \nu \). Soluzioni: Sia \( X=Y= \mathbb{T} \) il toro, \(B_X,B_Y \) la \(\sigma\)-algebra di Borel, \( \mu=\nu=m_{\mathbb{T}} \) la misura di Lebesgue sul toro. Poniamo ...

Ciao. Sia \( X \) un insieme non vuoto e sia \( \mathscr M \) una \( \sigma \)-algebra su \( X \). Sia \( f\colon X\to \mathbb R \) una funzione di insiemi. Dico che \( f \) è misurabile se è \( (\mathscr M,\mathscr B(\mathbb R)) \)-misurabile, dove \( \mathscr B(\mathbb R) \) è la \( \sigma \)-algebra dei boreliani su \( \mathbb R \). In altre parole, \( f \) è misurabile se per ogni \( F\in \mathscr B(\mathbb R) \), si ha \( f^{-1}(F)\in \mathscr M \). È vero che \( f \) è misurabile se e ...

Ciao, ho da rispondere al seguente quesito: "Data $f_n(x) = \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4)$ dire se $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x) dx = \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x)$" Come ho pensato di risponedere. Valuto dapprima la convergenza puntuale della successione di funzioni: risulta $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4) = 0, \forall x \in (0, \infty)$ Pensando di applicare il Teorema della convergenza dominata, trovo una maggiorante sommabile in x $\in (1, \infty)$. Ragiono così: $|\frac(n^{3/2}x)\(3 + x^4n^4)| < |\frac(n^{3/2}x)\(x^4n^4)| <\frac(1)\(x^3n^{5/2}) < \frac(1)\(x^3) \in L^1(1, \infty)$ Non riesco a ricavare una maggiorante sommabile nell'intervallo $(0, 1)$. Qualche suggerimento? Se tale ...

Buonasera a tutti, Sto provando calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo : $f(x)=sen t*chi[-pi,pi]$ Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier : $F(ω)=int_-oo^oo sen t*chi[-pi,pi]e^(−iωt) dt =int_-pi^pi sen t*e^(−iωt) $ Applicando la definizone del $sent $ di Eulero e risolvendo gli integrali : $F(ω)=1/(2i)*int_-pi^pi e^(it*(i-omega)) dt + 1/(2i)*int_-pi^pi e^(-it*(i-omega)) dt$ trovo la seguente espressione : $(e^(ipi*(1-omega))*e^(-ipi*(1-omega)))/omega^2$ Detto risultato assomiglia alla definizione di Eulero del coseno ma non so come manipolare ulteriormente. Magari ho commesso qualche errore di ...

Ciao a tutti. Ho da risolvere... "Data $f \in L^1((R^n) \cap L^2((R^n)$. Provare che la Trasformata di Fourier della $f$ (che qui denoto con $\bar(f)$) è tale che $\bar(f) \in L^p(R^n)$, $\forall p \in [2; \infty]$." Ho cominciato a pensare alle cose più disparate, del tipo... Innanzitutto è facile verificare che se $f \in L^1((R^n) \cap L^2((R^n)$ evidentemente sta in ogni $L^{p'}$ con $p' \in [1; 2]$. Così mi sono messo a pensare a risultati di dualità.. ed in effetti il Duale di L^{p'} è L^p con ...

Buongiorno a tutti, Sto provando determinare la Trasformata di Fourier della funzione $f$ sapendo che $f$ è soluzione dell'equazione differenziale : $f''(t)-f(t)=e^-(|t-1|)$ Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier e la definizione della trasformata della derivata : $F[f''](t)=-omega^2*f(omega)$ con $F[f](t)=f(omega)$ $F[e^-(|t-1|)](t)=2/(iomega)*(1-e)$ Risolvo quindi l'equazione per $f(omega)$ e mi risulta : $f(omega)=(-2*(1-e))/(iomega*(omega<br /> +2))$ Volevo chiedere conferma del procedimento ...

Buonasera a tutti, Sto provando calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo : $f(x)= (1-|x|)$ Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier : $F(omega)=int_-oo^(+oo)(1-|x|)e^(-iomegat)dt=\int_-1^0(1+x)e^(-iomegat)dt+\int_0^1(1-x)e^(-iomegat)dt$ Risolvendo gli integrali mi risulta :$F(omega)=e^(iomega)/(iomega)*(1+x)-(2x)/(iomega)+e^(-iomega)/(iomega)*(x-1)$ Ora sapendo che la Trasformata in oggetto dovrebbe restituirmi $(sinc(x))^2$, ho commesso qualche errore di calcolo che non riesco ad individuare. Qualcuno potrebbe indicami l'errore commesso ed eventualmente il passaggio corretto da ...

Buonasera a tutti, Sto provando a dimostrare la convergenza in Lp delle 2 seguenti funzioni tramite approssimazione della convoluzione. $f(x)=(1-|x|)+$ e $ g(x)=chi[1,2]$ con $chi$ funzione identità. Dato che $f(x)$ appartiene a $L'$ e che $int f(x)<+oo$ ho che $f$*$g -> f$ norma Lp. Basta dimostrare la convergenza di $f(x)$ ? Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere mostrandomi i passaggi eventualmente se il ...

Buonasera a tutti, Sto provando a dimostrare la convergenza in $Lp]0,1[$ e la convergenza in $Lp[1,+oo[$ della funzione $1/(sqrt(log(1+x))$. Ora determino la funzione $|f(x)|^p=1/(|(log(1+x)|^p$ e impongo 3 diversi casi : $x->0$ mi da convergenza per ogni $p$ $x->1$ mi da convergenza per ogni $p>2$ $x->+oo$ mi da convergenza per ogni $p>2$ Non sono convinto del risultato ottenuto e temo di aver tralasciato qualcosa. ...

Buongiorno, Dovrei calcolare la seguente approssimazione tramite convoluzione $f$*$g$ : $f(x)=g(x)= (1-|x|)+$ Purtroppo non mi è chiaro come procedere e sono in enorme difficolta su questa tipologia di esercizi infatti non riesco a terminare la risoluzione dell'integrale di convoluzione. Ringrazio chi mi saprà dare indicazioni su come procedere. Grazie e buona giornata .

Sto provando a risolvere il seguente esercizio: Siano $-\infty \leq a < b \leq +\infty$ e $1 \leq p \leq +\infty$ e sia $f \in L^p(a,b) \cap \L^{p'}(a,b)$, dove $p'$ è l'esponente coniugato di $p$ (ovvero $1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$) Supponiamo che per ogni $\varphi \in C_c^\infty (a,b)$ si ha che $$ \int_a^b f(x)\varphi(x) dx = 0. $$ Devo dimostrare che $f = 0$ quasi ovunque su $(a,b)$ Seguendo le indicazioni, ho mostrato che $f \in L^2(a,b)$, tramite la disuguaglianza di ...

Salve a tutti, sto avendo qualche problema nella comprensione del teorema spettrale, soprattutto nella sua applicazione per trovare lo spettro di un operatore a dimensioni infinite, dato un certo dominio. In particolare, non mi è chiarissimo come trovare il risolvente e come procedere con l'analisi spettrale poi. Potreste indicarmi qualche dispensa/video/libro dove posso trovare qualche delucidazione in più? Grazie a tutti in anticipo.

Voglio dimostrare che per $\alpha \in (0,1)$ e $f \in L^2(S^1) $ tale che \[ \sum_{ 2^j \leq \left| n \right| < 2^{j+1}} \left| n \right|^{\alpha} \left| c_n \right| \leq C \] uniformemente in $j$ e $c_n$ sono i coefficienti della trasformata di fourier $f$ allora $f$ è $\alpha$-Holder. Pensavo di fare così \[ \left| f(x) - f(y) \right| \leq \lim_{N \to \infty} \sum_{ \left| n \right| < N} \left| e^{2 \pi inx} - e^{2\pi iny} ...

Buongiorno, sono nuovo nel forum. Ho cercato un po' nelle sezioni ma non ho trovato nulla a riguardo. Sto risolvendo un problema a potenziale e mi sono imbattuto in una serie numerica abbastanza particolare e vorrei capire se è possibile calcolarne la somma. La serie è convergente. $\sum_{n=1}^\infty\frac{r^{n}cos(n\theta)}{n n!}$ con $r \in RR^{+}-{0}$ Questa serie l'ho ottenuta ricavando la funzione esponenziale integrale definita da Abramowitz & Stegun per variabile complessa rimanipolandola un po' per risolvere un ...

Buonasera a tutti, Sto provando calcolare la z-trasformata corrispondente al campionamento del segnale causale , con passo $tau>0$ del segnale causale : $(sen t)^2$. Parto considerando il campionamento del segnale come : $uk=[sen(kt)^2]= [1/(2i)e^(iktau)-1/(2i)e^(-iktau)]^2$ e dopo qualche calcolo ottengo $uk=1/(2i)(e^(itau))^(2k)-1/(2i)(e^(itau))^(2k)+1/2(e^(itau)e^(-itau))^k$ Applico la definizione di Z-trasformata e riscalo con $q=+-e^(itau)$ e ottengo : $1/(2i)(ze^(2itau))/(ze^(2itau) - 1) - 1/(2i)(ze^(-2itau))/(ze^(-2itau) - 1) +1/2(ze^(sqrtitau))/(ze^(sqrtitau) - 1) $ Da qui non riesco a procedere oltre. Tempo di aver utilizzato male il riscalamento o ...

Buonasera a tutti, Sto provando a risolvere il seguente integrale di funzioni olomorfe utilizzando il metodo dei residui lungo cammino chiuso. L'integrale nel dettaglio è il seguente : $\int_{0;2pi} cos(x^2) dx $ Noto che $cos x^2=Re(e^(ix^2))$ , quindi dovrei integrare $e^(iz^2)$ lungo una frontiera che non riesco a definire, mi verrebbe da presumere sia $Er={|z|<R,0<Arg(z)<pi/4}$ ma non so come procedere oltre. Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere ? Grazie mille del supporto ! PS : Dovrei ...

Buonasera a tutti, Sto provando a risolvere il seguente integrale di funzioni olomorfe utilizzando il metodo dei residui lungo cammino chiuso. L'integrale nel dettaglio è il seguente : $int_{0;2pi}1/(2+cos t+sen t) dt$ Noto che $cost=1/2*(z+z^-1)$ e $sent=1/(2i)*(z+z^-1)$ con $z=e^(it)$ con $dt=-i/z dz$ quindi sostituendo trovo l'integrale : $-int_{|z|=1} i/(z^2*(1+i)+4zi+1+i) dz$ però mi blocco nel calcolo dei punti di singolarità, in pratica non riesco a risolvere l'equazione di secondo grado complessa. Qualcuno potrebbe ...

buongiorno, sto affrontando un corso che tratta i seguenti argomenti Spazi di Hilbert. Perpendicolarità, e basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz e duale dgli spazi di Hilbert. Basi ortonormali in L2(-\pi,\pi). Polinomi trigonometrici e serie di Fourier sul toro. Teoria L2: disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval e Plancherel. Convergenza puntuale. Disuguaglianza isoperimetrica in R2. Differenziazione di Lebesgue: differenziazione di funzioni monotone, funzioni a ...

Ciao a tutti, ho da provare che la successione di funzioni $f_n(x) = \frac(1 - e^{-nx})\(x^{3/2}(n + e^{-nx^2}))$ con $x \in (0, \infty)$ è sommabile. Sostanzialmente dovrei fare vedere che la norma in $L^1((0, \infty))$ sia limitata. Non devo calcolare la norma, devo solo provare che non vada all'infinito. In altri esercizi simili, sono riuscito a maggiorare e poi a risolvere l'integrale (ex. in un alto esercizio avevo al numeratore $xsin(nx)$ e dunque l' ho posto minore di $x$). qui non riesco a trovare ...

Salve a tutti, mi è sorto un dubbio sulle funzioni sommabili. Dire che una funzione è di $ L_1(a,b) $ significa che essa è sommabile in $ (a,b) $ . Dire invece che è di $ L_(1loc)(a,b) $ significa che è sommabile in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $ (a,b) $ , giusto? Quindi se dico che la funzione è di $ L_1(R) $ , allora $ L_(1loc)(R) $ significa che la funzione è sommabile in tutto il campo dei numeri reali R, esclusi gli estremi ...