Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Ciao a tutti.
Ho da risolvere...
"Data $f \in L^1((R^n) \cap L^2((R^n)$. Provare che la Trasformata di Fourier della $f$ (che qui denoto con $\bar(f)$) è tale che $\bar(f) \in L^p(R^n)$, $\forall p \in [2; \infty]$."
Ho cominciato a pensare alle cose più disparate, del tipo...
Innanzitutto è facile verificare che se $f \in L^1((R^n) \cap L^2((R^n)$ evidentemente sta in ogni $L^{p'}$ con $p' \in [1; 2]$. Così mi sono messo a pensare a risultati di dualità.. ed in effetti il Duale di L^{p'} è L^p con ...
Buongiorno a tutti,
Sto provando determinare la Trasformata di Fourier della funzione $f$ sapendo che $f$ è soluzione dell'equazione differenziale : $f''(t)-f(t)=e^-(|t-1|)$
Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier e la definizione della trasformata della derivata :
$F[f''](t)=-omega^2*f(omega)$ con $F[f](t)=f(omega)$
$F[e^-(|t-1|)](t)=2/(iomega)*(1-e)$
Risolvo quindi l'equazione per $f(omega)$ e mi risulta : $f(omega)=(-2*(1-e))/(iomega*(omega<br />
+2))$
Volevo chiedere conferma del procedimento ...
Buonasera a tutti,
Sto provando calcolare la trasformata di Fourier della funzione triangolo : $f(x)= (1-|x|)$
Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier :
$F(omega)=int_-oo^(+oo)(1-|x|)e^(-iomegat)dt=\int_-1^0(1+x)e^(-iomegat)dt+\int_0^1(1-x)e^(-iomegat)dt$
Risolvendo gli integrali mi risulta :$F(omega)=e^(iomega)/(iomega)*(1+x)-(2x)/(iomega)+e^(-iomega)/(iomega)*(x-1)$
Ora sapendo che la Trasformata in oggetto dovrebbe restituirmi $(sinc(x))^2$, ho commesso qualche errore di calcolo che non riesco ad individuare. Qualcuno potrebbe indicami l'errore commesso ed eventualmente il passaggio corretto da ...
Buonasera a tutti,
Sto provando a dimostrare la convergenza in Lp delle 2 seguenti funzioni tramite approssimazione della convoluzione.
$f(x)=(1-|x|)+$ e $ g(x)=chi[1,2]$ con $chi$ funzione identità.
Dato che $f(x)$ appartiene a $L'$ e che $int f(x)<+oo$ ho che $f$*$g -> f$ norma Lp.
Basta dimostrare la convergenza di $f(x)$ ?
Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere mostrandomi i passaggi eventualmente se il ...
Buonasera a tutti,
Sto provando a dimostrare la convergenza in $Lp]0,1[$ e la convergenza in $Lp[1,+oo[$ della funzione $1/(sqrt(log(1+x))$.
Ora determino la funzione $|f(x)|^p=1/(|(log(1+x)|^p$ e impongo 3 diversi casi :
$x->0$ mi da convergenza per ogni $p$
$x->1$ mi da convergenza per ogni $p>2$
$x->+oo$ mi da convergenza per ogni $p>2$
Non sono convinto del risultato ottenuto e temo di aver tralasciato qualcosa. ...
Buongiorno,
Dovrei calcolare la seguente approssimazione tramite convoluzione $f$*$g$ : $f(x)=g(x)= (1-|x|)+$
Purtroppo non mi è chiaro come procedere e sono in enorme difficolta su questa tipologia di esercizi infatti non riesco a terminare la risoluzione dell'integrale di convoluzione.
Ringrazio chi mi saprà dare indicazioni su come procedere.
Grazie e buona giornata .
Sto provando a risolvere il seguente esercizio:
Siano $-\infty \leq a < b \leq +\infty$ e $1 \leq p \leq +\infty$ e sia $f \in L^p(a,b) \cap \L^{p'}(a,b)$, dove $p'$ è l'esponente coniugato di $p$ (ovvero $1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$)
Supponiamo che per ogni $\varphi \in C_c^\infty (a,b)$ si ha che
$$ \int_a^b f(x)\varphi(x) dx = 0. $$
Devo dimostrare che $f = 0$ quasi ovunque su $(a,b)$
Seguendo le indicazioni, ho mostrato che $f \in L^2(a,b)$, tramite la disuguaglianza di ...
Salve a tutti, sto avendo qualche problema nella comprensione del teorema spettrale, soprattutto nella sua applicazione per trovare lo spettro di un operatore a dimensioni infinite, dato un certo dominio. In particolare, non mi è chiarissimo come trovare il risolvente e come procedere con l'analisi spettrale poi. Potreste indicarmi qualche dispensa/video/libro dove posso trovare qualche delucidazione in più? Grazie a tutti in anticipo.
Voglio dimostrare che per $\alpha \in (0,1)$ e $f \in L^2(S^1) $ tale che \[ \sum_{ 2^j \leq \left| n \right| < 2^{j+1}} \left| n \right|^{\alpha} \left| c_n \right| \leq C \]
uniformemente in $j$ e $c_n$ sono i coefficienti della trasformata di fourier $f$ allora $f$ è $\alpha$-Holder.
Pensavo di fare così
\[ \left| f(x) - f(y) \right| \leq \lim_{N \to \infty} \sum_{ \left| n \right| < N} \left| e^{2 \pi inx} - e^{2\pi iny} ...
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Studente Anonimo
3 apr 2022, 17:20
Buongiorno, sono nuovo nel forum. Ho cercato un po' nelle sezioni ma non ho trovato nulla a riguardo. Sto risolvendo un problema a potenziale e mi sono imbattuto in una serie numerica abbastanza particolare e vorrei capire se è possibile calcolarne la somma. La serie è convergente.
$\sum_{n=1}^\infty\frac{r^{n}cos(n\theta)}{n n!}$
con
$r \in RR^{+}-{0}$
Questa serie l'ho ottenuta ricavando la funzione esponenziale integrale definita da Abramowitz & Stegun per variabile complessa rimanipolandola un po' per risolvere un ...
Buonasera a tutti,
Sto provando calcolare la z-trasformata corrispondente al campionamento del segnale causale , con passo $tau>0$ del segnale causale : $(sen t)^2$.
Parto considerando il campionamento del segnale come : $uk=[sen(kt)^2]= [1/(2i)e^(iktau)-1/(2i)e^(-iktau)]^2$ e dopo qualche calcolo ottengo $uk=1/(2i)(e^(itau))^(2k)-1/(2i)(e^(itau))^(2k)+1/2(e^(itau)e^(-itau))^k$
Applico la definizione di Z-trasformata e riscalo con $q=+-e^(itau)$ e ottengo :
$1/(2i)(ze^(2itau))/(ze^(2itau) - 1) - 1/(2i)(ze^(-2itau))/(ze^(-2itau) - 1) +1/2(ze^(sqrtitau))/(ze^(sqrtitau) - 1) $
Da qui non riesco a procedere oltre. Tempo di aver utilizzato male il riscalamento o ...
Buonasera a tutti,
Sto provando a risolvere il seguente integrale di funzioni olomorfe utilizzando il metodo dei residui lungo cammino chiuso. L'integrale nel dettaglio è il seguente :
$\int_{0;2pi} cos(x^2) dx $
Noto che $cos x^2=Re(e^(ix^2))$ , quindi dovrei integrare $e^(iz^2)$ lungo una frontiera che non riesco a definire, mi verrebbe da presumere sia $Er={|z|<R,0<Arg(z)<pi/4}$ ma non so come procedere oltre.
Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere ?
Grazie mille del supporto !
PS : Dovrei ...
Buonasera a tutti,
Sto provando a risolvere il seguente integrale di funzioni olomorfe utilizzando il metodo dei residui lungo cammino chiuso. L'integrale nel dettaglio è il seguente :
$int_{0;2pi}1/(2+cos t+sen t) dt$
Noto che $cost=1/2*(z+z^-1)$ e $sent=1/(2i)*(z+z^-1)$ con $z=e^(it)$ con $dt=-i/z dz$ quindi sostituendo trovo l'integrale :
$-int_{|z|=1} i/(z^2*(1+i)+4zi+1+i) dz$
però mi blocco nel calcolo dei punti di singolarità, in pratica non riesco a risolvere l'equazione di secondo grado complessa.
Qualcuno potrebbe ...
buongiorno, sto affrontando un corso che tratta i seguenti argomenti
Spazi di Hilbert. Perpendicolarità, e basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz e duale dgli spazi di Hilbert. Basi ortonormali in L2(-\pi,\pi). Polinomi trigonometrici e serie di Fourier sul toro. Teoria L2: disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval e Plancherel. Convergenza puntuale. Disuguaglianza isoperimetrica in R2.
Differenziazione di Lebesgue: differenziazione di funzioni monotone, funzioni a ...
Ciao a tutti,
ho da provare che la successione di funzioni
$f_n(x) = \frac(1 - e^{-nx})\(x^{3/2}(n + e^{-nx^2}))$
con $x \in (0, \infty)$ è sommabile.
Sostanzialmente dovrei fare vedere che la norma in $L^1((0, \infty))$ sia limitata. Non devo calcolare la norma, devo solo provare che non vada all'infinito.
In altri esercizi simili, sono riuscito a maggiorare e poi a risolvere l'integrale (ex. in un alto esercizio avevo al numeratore $xsin(nx)$ e dunque l' ho posto minore di $x$). qui non riesco a trovare ...
Salve a tutti, mi è sorto un dubbio sulle funzioni sommabili. Dire che una funzione è di $ L_1(a,b) $ significa che essa è sommabile in $ (a,b) $ . Dire invece che è di $ L_(1loc)(a,b) $ significa che è sommabile in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $ (a,b) $ , giusto?
Quindi se dico che la funzione è di $ L_1(R) $ , allora $ L_(1loc)(R) $ significa che la funzione è sommabile in tutto il campo dei numeri reali R, esclusi gli estremi ...
È noto che una contrazione su uno spazio metrico completo ha un punto fisso. Il perché di questo fatto è chiaro (al di là della dimostrazione, basta fare dei disegni per convincersi che dev'essere così). Sto cercando formarmi un po' di intuizione su un corollario di questo risultato.
Sia \( X \) uno spazio metrico completo. Sia \( C \) una palla chiusa in \( X \) di centro un qualche \( c\in X \) e raggio un qualche \( \epsilon > 0 \). È vero che se \( T\colon X\to X \) è una contrazione di ...
Salve a tutti, oggi ho iniziato a studiare le distribuzioni e mi sono imbattutto nella trasformata di Fourier di 1. Da quello che ho capito e se sbaglio non esistate a correggermi, se un funzionale, in questo caso 1, è continuo sullo spazio $ L $ , spazio dove le funzioni test, sono funzioni a decrescenza rapida, allora sarà possibile scaricare la trasformata di Fourier sulla funzione test.
Nel mio caso non capisco come arriva al risultato, infatti, assumendo che ...
Salve sto iniziando a studiare le serie di Fourier e già sono iniziati a sorgermi i primi dubbi, in particolare sulla conv. puntuale.
L'esercizio è, Prolungare per periodicità la seguente funzione:
$ f={ ( x \ \ \ \ se \ \ \ -pi<x<pi ),( 0 \ \ \ \ se \ \ \ x=+-pi ):} $
Dal disegno ottengo una serie di rette y=x e dei salti in tutti gli estremi della funzione periodica.
Quello che non capisco però è appunto come calcola i limiti per la conv. puntuale.
Prima di tutto vede se il segnale è regolarizzato e quindi calcola :
$ f(pi^-)=lim_(x -> pi^-) x=pi $ e ...
Ciao a tutti,
Nella sezione di un esercizio di elaborazione digitale dei segnali, data la seguente equazione alle differenze:
$y(n) = x(n) + y(n-1) + y(n-2)$
si richiede di determinare le condizioni iniziali $y(n-1)$ e $y(n-2)$ tali che $y(0) = y(1) = 1$ quando $x(n) = \delta(n)$, essendo $\delta(n)$ l'impulso unitario per $n = 0$.
Banalmente, direi che se
\(\begin{aligned}
y(0) & = x(0) + y(-1) + y(-2)\\
1 &= 1 + y(-1) + y(-2)
\end{aligned}
\)
la somma ...
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