Trasformata di fourier
Ciao a tutti sto avendo problemi con questi esercizi sulla trasformata di fourier, potete aiutarmi?
1. $f:R\rightarrow R$ la cui trasformata è $f*=\frac{3}{sqrt(2pi)(5+i\omega)}$. Si calcolino i seguenti integrali:
$\int_{-infty}^{infty}f(x)dx, \int_{-infty}^{infty}xf(x)dx, \int_{-infty}^{infty}x^2f(x)dx$
Su questo non ho avuto idee, non sono nemmeno riuscire ad calcolare l'antitrasformata, probabilmente c'è una seconda via.
2. Si dimostri che se $v(x,y)=(x^2-y^2)f(r)$ con $r=sqrt(x^2+y^2)$ è armonica in $R^2$ allora f è costante.
Sono passato in coordinate polari e ho imposto il laplaciano uguale a zero. Ho cosi trovato una semplice equazione differenziale ma la f risultante non mi viene necessariamente costante.
Grazie!
1. $f:R\rightarrow R$ la cui trasformata è $f*=\frac{3}{sqrt(2pi)(5+i\omega)}$. Si calcolino i seguenti integrali:
$\int_{-infty}^{infty}f(x)dx, \int_{-infty}^{infty}xf(x)dx, \int_{-infty}^{infty}x^2f(x)dx$
Su questo non ho avuto idee, non sono nemmeno riuscire ad calcolare l'antitrasformata, probabilmente c'è una seconda via.
2. Si dimostri che se $v(x,y)=(x^2-y^2)f(r)$ con $r=sqrt(x^2+y^2)$ è armonica in $R^2$ allora f è costante.
Sono passato in coordinate polari e ho imposto il laplaciano uguale a zero. Ho cosi trovato una semplice equazione differenziale ma la f risultante non mi viene necessariamente costante.
Grazie!
Risposte
Ciao Galager,
Per la 1. mi risulta $f(x) = 3 e^{5x} H(- x) $, per cui si ha:
$\int_{-infty}^{+infty} f(x) \text{d}x = \int_{-infty}^{+infty} 3 e^{5x} H(- x) \text{d}x = \int_{-infty}^{0} 3 e^{5x} \text{d}x = 3/5 $
$\int_{-infty}^{+infty} x f(x) \text{d}x = \int_{-infty}^{+infty} 3x e^{5x} H(- x) \text{d}x = \int_{-infty}^{0} 3x e^{5x} \text{d}x = ... = - 3/25 $
$\int_{-infty}^{+infty} x^2 f(x) \text{d}x = \int_{-infty}^{+infty} 3x^2 e^{5x} H(- x) \text{d}x = \int_{-infty}^{0} 3x^2 e^{5x} \text{d}x = ... = 6/125 $
(dove ci sono i puntini occorre procedere con una integrazione per parti per abbassare il grado di $x$).
Per la 1. mi risulta $f(x) = 3 e^{5x} H(- x) $, per cui si ha:
$\int_{-infty}^{+infty} f(x) \text{d}x = \int_{-infty}^{+infty} 3 e^{5x} H(- x) \text{d}x = \int_{-infty}^{0} 3 e^{5x} \text{d}x = 3/5 $
$\int_{-infty}^{+infty} x f(x) \text{d}x = \int_{-infty}^{+infty} 3x e^{5x} H(- x) \text{d}x = \int_{-infty}^{0} 3x e^{5x} \text{d}x = ... = - 3/25 $
$\int_{-infty}^{+infty} x^2 f(x) \text{d}x = \int_{-infty}^{+infty} 3x^2 e^{5x} H(- x) \text{d}x = \int_{-infty}^{0} 3x^2 e^{5x} \text{d}x = ... = 6/125 $
(dove ci sono i puntini occorre procedere con una integrazione per parti per abbassare il grado di $x$).
H è la funzione di Heaviside? Non la abbiamo trattata ma cercando sembra essere la funzione caratteristica della semiretta $(0,infty)$. Non mi è chiaro come sei riuscito a ricavare la f
Quella di $1/(a+ip)$ è una antitrasformata notevole. Se vuoi vederlo esplicitamente puoi valutare l'integrale $\int dp e^(ipx)1/(a+ip)$ usando il teorema dei resuidi.
[ot]
Per quel genere di integrali io trovo utilissimo usare che $\int_0^\infty dx x^n e^{-\alpha x}=\frac{\Gamma (n+1)}{\alpha^{n+1}}$[/ot]
[ot]
"pilloeffe":
(dove ci sono i puntini occorre procedere con una integrazione per parti per abbassare il grado di $x$).
Per quel genere di integrali io trovo utilissimo usare che $\int_0^\infty dx x^n e^{-\alpha x}=\frac{\Gamma (n+1)}{\alpha^{n+1}}$[/ot]
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