Analisi matematica di base

Buonsalve. Sono un pò di giorni che sbatto nella separazione delle variabili della nota equazione di Schrodinger in 1D: $i \barh d/dt \psi(x,t) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 \psi(x,t) + V(x) \psi(x,t)$ con V (potenziale) nullo si ha: $i \barh d/dt \psi(x,t) = - \barh/(2m) d^2/dx^2 \psi(x,t)$ (1) sugli appunti dice: ''per riscalamento' si ottiene: $i d/dt \psi(x,t) = - d^2/dx^2 \psi(x,t)$ ha tolto le costanti, questo s'intende per riscalamento? detto questo, vorrei trovare le soluzioni stazionarie mediante separazione delle variabili $\psi(x,t) = T(t) X(x)$ Propongo la mia risoluzione, per (1) , sostituiamo ...

Devo dimostrare la seguente affermazione: "Ogni insieme di R^n misurabile con misura positiva ammette un sottoinsieme non misurabile". Ho cercato di dimostrare l'affermazione equivalente: se tutti i sottoinsiemi di un insieme misurabile sono misurabili allora l'insieme ha misura nulla, ma non sono riuscito a venirne a capo. Avete suggerimenti?

Let \(\mathcal{M}\) a \(\sigma\)-algebra in \(\mathbb{R}^n\) containing the \(\sigma\)-algebra \(\mathcal{B}_n\) of Borel subsets of \(\mathbb{R}^n\). We say that a set \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) is locally in \(\mathcal{M}\) if for every \(x \in A\) there is a nbhd \(U\) of \(x\) in \(\mathbb{R}^n\) such that \(A \cap U \in \mathcal{M}\). Prove that \(A\) is in \(\mathcal{M}\) iff \(A\) is locally in \(\mathcal{M}\). Come spesso accade, la parte difficile è quella ...

Dire se le serie convergono totalmente sugli insieme indicati: 1) $ sum_(k = 0)^∞ (senx)^k $ in $[0, pi/4]$ 2) $ sum_(k = 0)^∞ ke^(kx) $ in $[-2,-1]$ 3) $ sum_(k = 0)^∞ x/k^2*e^(kx)/(1+e^(kx)) $ in $[1,3]$ Allora innanzitutto, la convergenza totale si ha quando la serie della norma infinito è convergente e quindi devo vedere se la serie dei sup converga o meno, giusto?. Inizio col primo: 1: Il seno nell'intervallo $[0,pi/4]$ è una funzione crescente e quindi il sup della funzione coincide col ...

Come da titolo che vuol dire: Studiare la convergenza (semplice ed assoluta) della serie: $ sum_(n=1)^(+oo) sqrt(4n+1) *sen(1/n) $ la convergenza semplice lo studiata ragionando così: prima vedo $ an>=0 $ quindi $ sqrt(4n+1)>=0 $ $ AA n>=1/4 $ $ sen(1/n)>=0 $ $ AA n>=1 $ infatti per $ nrarr +oo $ il seno tende a zero positivamente ora dato che $ an>=0 $ $ AA n>=1 $ e dato che la nostra serie parte da 1 allora la serie è sempre positiva poi: aplico criterio ...

Come da titolo come studio questa la convergenza della serie? Quale criterio uso? $ sum_(n =0)^(+oo) (sin(1/n) - arctan(1/n)) $

Salve a tutti, ho un dubbio riguardo le coordinate sferiche: \begin{cases} x=psin\vartheta cos\phi \\ y=psin\vartheta sin\phi \\ z=pcos\vartheta \end{cases} Ovviamente per la coordinate cartesiana $ z $ non ho avuto complicazioni , i problemi arrivano quando vado a fare $ p sin \vartheta $ , vi chiedo perchè questa è l'espressione , se lo è , della proiezione di $p$ sul piano $xy$ , ovvero $p^{\prime}$ ..

Salve a tutti, ho questa tipologia di esercitazione ma non so di che si tratta: $ F(y)=int_0^1e^(x^2y)dx $ che, come possibile risposta ha: $ F'(1)=sum_(n ) ^oo ???$ . Di cosa si tratta? che argomentazioni teoriche devo affrontare? Grazie mille.

Devo studiare il carattere della seguente serie con il parametro t: $\sum_{n=0}^infty e^(n^2/2)/(n!)*t^n$ Uso il criterio del rapporto: $lim_[n->infty] e^((n+1)^2/2)/((n+1)!)*t^(n+1)* (n!)/e^(n^2/2)*t^n=lim_[n->infty] e^((2n+1)/2)*t/(n+1)=t*infty$ Dunque la serie diverge? E deve essere $t>0$ per applicare questo criterio perché deve trattarsi di una successione di termini positivi? $t$ non può essere negativo o uguale a 0?

ciao, devo dimostrare che il semipiano K={(x1,x2)in R2: x2 >0} è aperto. aiuto?????

Non mi è ben chiaro perchè la norma viene definita con il SUP.. Ovvero: Data la funzione $u$, perchè viene data la seguente definizione? \( ||u|| = sup |u(x)| \) Cioè, per quale motivo la norma corrisponde all'estremo superiore?

Ciao a tutti! Scrivo per chiedere aiuto con la risoluzione di un limite apparentemente molto facile ma di cui proprio non riesco a venir a capo! lim (x-->1) (x^2 -1) / lnx Con L'Hopital è facilmente risolvibile e dovrebbe dare 2, il problema è che dovrebbe essere risolvibile anche senza, solo che ho provato a far tutte le trasformazioni che mi son passate per la testa ma nulla.. (mi scuso anche per il modo in cui è scritta l'espressione ma avevo paura di scriverla in modo scorretto) Grazie in ...

Gli esercizi sono i seguenti: Dimostrare che $ AA x,y,z in RR $ si ha 1) $ ||x|-|y||<=|x-y| $ sugg: Usare la disuguaglianza triangolare e l' osservazione $ |x|=|x-y+y|<=|x+y|+|y| $ 2) $ ||x|-|y+z||<=||x|-|y||+|z| $ Potreste spiegarmi come devo posso procedere quando ho da fare questo tipo di dimostrazioni.

Ciao, sto svolgendo il seguente integrale: $\int(1+(sinx)^2)^3*sin(2x)dx$. Prima ho provato per parti ma... non sembrava funzionare un gran che. Poi ho provato con il metodo della sostituzione: $t = 1+(sinx)^2=>dt = 2sinxcosx dx => dx = dt/(2sinxcosx) $ qua mi si sono illuminati gli occhi, quel $sin(2x)$ mi sembrava famigliare, infatti scomponendo ottengo: $sin(2x)=2sinxcosx$ che guarda caso è $=dt$ quindi posso riscrivere il tutto con $t = 1+(sinx)^2$ e $sin(2x)=dt$ottenendo: $intt^3 dt = t^4 /4 +c = 1/4(1+sin^2x)^4 +c$... ma su wolfram racconta una ...

Ciao a tutti, ho dei dubbi sullo studio di questa funzione: $f(x):=|x|e^(-1/x)$.. Io ho pensato a questo svolgimento:Dato che c'è un valore assoluto, ci saranno potenzialmente comportamenti diversi per $x>=0. x<0$ quindi: $f(x):={(xe^(-1/x), if x>=0),(-xe^(1/x), if x<0):}$ qua ho un dubbio: il fatto che studio separatamente quando x è negativo e quando positivo va ad influenzare non solo l'argomento del mio valore assoluto ma anche le altre x? secondo me si, perchè se do per scontato che la mia x è maggiore di zero, tanto ...

ciao a tutti, volevo chiedere conferma riguardo il mio tentativo di dimostrazione utilizzo il seguente fatto (semplice generalizzazione della permanenza del segno) $a_n to L>M Rightarrow exists N in bbbN : a_n>M$ $forall n>N$ e analogamente $a_n to L<M Rightarrow exists N in bbbN : a_n<M$ $forall n>N$ Prova Preso $epsilon=L-M>0$ esiste $N in bbbN$ tale che $a_n in (L-L+M,L+L-M)=(M,2L-M)$ $forall n>N$ cioè $a_n>M$$forall n>N$. Analogamente l'altra scegliendo $epsilon=M-L$. uso la prima per dimostrare (*) ...

Ho un po' di confusione. Da quanto ho capito bene o male si comportano come le serie di potenze in campo reale. Io ho questa serie: $\sum_{n=0}^\infty 4^n(z+3)^(4n)$ dove ci devo trovare il centro, il raggio di convergenza e la somma della serie. Dunque per il raggio oserei dire che sia $3^4$ siccome nella formula generica $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_o)^n$, $z_0$ è il centro. E di conseguenza, visto che ho un esponente alla 4n, direi appunto che il raggio è $3^4$ Per quanto riguarda il ...

Salve, leggo il forum da un po' ma non ho mai scritto prima d'ora. Ho qualche difficoltà a capire come si calcolano gli integrali con il metodo dei residui quando ci sono singolarità lungo il cammino di integrazione. L'idea che mi sembra venga fuori è quella di costruire un cammino intorno alle singolarità e fare tendere il raggio dell'intorno che contiene la singolarità a zero. Calcolarne quindi il valore attraverso i lemmi del grande e del piccolo cerchio e di jordan. A livello ...

Salve ragazzi! Sto seguendo un corso di analisi e stiamo parlando un po' degli spazi di Lebesgue. Il prof ci ha detto che il duale di $L^1(\Omega)$ è più "grande" di $L^{\inf}(\Omega)$, e sono curioso di sapere cosa potremmo dire in più. A presto!

Salve a tutti, non riesco a calcolare l' argomento di questo numero complesso $ z= 5+10i $ $ sin phi = sqrt(5)/5$ ; $cos phi sqrt(4/5)$