Definizione di Norma

[fede161]

Non mi è ben chiaro perchè la norma viene definita con il SUP.. Ovvero:

Data la funzione $u$, perchè viene data la seguente definizione?

\( ||u|| = sup |u(x)| \)

Cioè, per quale motivo la norma corrisponde all'estremo superiore?

[vict85]

Quella è una particolare norma sullo spazio delle funzioni, ma non l'unica. La risposta alla tua domanda direi che comunque risiede nella semplicità con cui quella norma può essere usata.

[fede161]

Ok ma allora perchè invece del SUP non viene usato l' INF ? Può esistere una definizione di norma con l'INF ?

[vict85]

Non varrebbe la disuguaglianza triangolare. Se per esempio consideri le rette \(f(x) = -x+1\) e \(g(x) = x\) in \([0,1]\) si ha che \(f(x) + g(x) = 1\) quindi \(\inf\lvert f + g \rvert = 1\), ma \(\inf\lvert f \rvert + \inf\lvert g \rvert = 0 + 0 = 0\).

Al contrario con \(\sup\) tutto funziona.

[gabriella127]

Inoltre mi sembra, dal un punto di vista intuitivo-sostanziale, che si vorrebbe che una norma dica qualcosa sull'oggetto in questione, come la norma di un vettore indica la sua lunghezza o la norma di un operatore è una sorta di 'coefficiente di dilatazione', la norma del sup per una funzione indica quanto grande diventa una funzione in valore assoluto. In una ipotetica norma dell'inf tutte le funzioni che assumono valore 0 avrebbero la stessa norma, diventerebbe una specie di notte in cui tutti i gatti sono bigi, ad esempio la funzione identicamente nulla, $ sinx $ e $ e^x $ avrebbero tutte e tre norma 0, e sono tre funzioni parecchio diverse tra di loro...

[vict85]

Senza considerare che se la norma è ben definita allora ci dovrebbe essere un solo elemento con norma \(0\)... Quindi si tratta di una seconda proprietà delle norme che \(\inf\lvert\cdot\rvert\) non possiede.

[fede161]

Grazie mille a tutti e due per la risposta completa ed esaustiva... molto gentili !