Aiuto studio funzione $f(x):=|x|e^(-1/x)$
Ciao a tutti, ho dei dubbi sullo studio di questa funzione: $f(x):=|x|e^(-1/x)$..
Io ho pensato a questo svolgimento:Dato che c'è un valore assoluto, ci saranno potenzialmente comportamenti diversi per $x>=0. x<0$ quindi:
$f(x):={(xe^(-1/x), if x>=0),(-xe^(1/x), if x<0):}$ qua ho un dubbio:
il fatto che studio separatamente quando x è negativo e quando positivo va ad influenzare non solo l'argomento del mio valore assoluto ma anche le altre x? secondo me si, perchè se do per scontato che la mia x è maggiore di zero, tanto vale scrivere che è positiva da per tutto, nella funzione. Mi spiego meglio: ero indeciso tra queste 2 forme:
$f(x):={(xe^(-1/x), if x>=0),(-xe^(1/x), if x<0):}$ e tra
$f(x):={(xe^(-1/x), if x>=0),(-xe^(-1/x), if x<0):}$
Per quello che riguarda $x>=0$:
Dominio: $x$ è sempre positivo tranne per $x=0$, $e^(-1/x) = 1/(e^(1/x))$ sempre maggiore di zero (perchè al momento studio gli $x>=0$), quindi $D: x>0$. Ora studio i limiti:
$lim_(x\to+\infty)xe^(-1/x) = +\infty*e^(-1/(+\infty)) = +\infty*e^(-0)= +\infty$
$lim_(x\to0^+)xe^(-1/x) = 0^+ *e^(-\infty) =0*0 = 0$
siccome la funzione è sempre positiva e in $x=0$ non e' definita: non ha intersezione coll'asse X.
Ora vorrei studiare la sua derivata: $d/dx xe^(-1/x)$, è una composizione di funzioni, quindi: $d/dx xe^(-1/x) = e^(-1/x)+x(1/x^2)e^(-1/x) = e^(-1/x)*(1+1/x)$... Ora studio quando è maggiore di zero:
$e^(-1/x)*(1+1/x) = {(e^(-1/x) => \text(Tendente a 0 ma sempre positiva)),(1+1/x => \text (sempre positiva: somma di 2 positivi)):} => \text(sempre positiva => sempre crescente per x positivo)$
Fin qua tutto ok, mentre impostavo questa domanda ho risolto alcuni errori che ho fatto e che non ero riuscito a trovare prima
...
Nella seconda parte: ovvero quando x è negativo:
$lim_(x\to-\infty)-xe^(1/x) = +\infty*e^(1/(-\infty)) = +\infty$
$lim_(x\to-\0^-)-xe^(1/x)$ che è una forma indeterminata $0*\infty$ quindi ho deciso di fare così: $t=1/x$
$lim_(x\to-\0^-)-xe^(1/x) = lim_(x\to->\infty)-1/te^t = -e^(-\infty)/-\infty^ = 0$... ma qui casca l'asino, che sono io.
Io ho pensato a questo svolgimento:Dato che c'è un valore assoluto, ci saranno potenzialmente comportamenti diversi per $x>=0. x<0$ quindi:
$f(x):={(xe^(-1/x), if x>=0),(-xe^(1/x), if x<0):}$ qua ho un dubbio:
il fatto che studio separatamente quando x è negativo e quando positivo va ad influenzare non solo l'argomento del mio valore assoluto ma anche le altre x? secondo me si, perchè se do per scontato che la mia x è maggiore di zero, tanto vale scrivere che è positiva da per tutto, nella funzione. Mi spiego meglio: ero indeciso tra queste 2 forme:
$f(x):={(xe^(-1/x), if x>=0),(-xe^(1/x), if x<0):}$ e tra
$f(x):={(xe^(-1/x), if x>=0),(-xe^(-1/x), if x<0):}$
Per quello che riguarda $x>=0$:
Dominio: $x$ è sempre positivo tranne per $x=0$, $e^(-1/x) = 1/(e^(1/x))$ sempre maggiore di zero (perchè al momento studio gli $x>=0$), quindi $D: x>0$. Ora studio i limiti:
$lim_(x\to+\infty)xe^(-1/x) = +\infty*e^(-1/(+\infty)) = +\infty*e^(-0)= +\infty$
$lim_(x\to0^+)xe^(-1/x) = 0^+ *e^(-\infty) =0*0 = 0$
siccome la funzione è sempre positiva e in $x=0$ non e' definita: non ha intersezione coll'asse X.
Ora vorrei studiare la sua derivata: $d/dx xe^(-1/x)$, è una composizione di funzioni, quindi: $d/dx xe^(-1/x) = e^(-1/x)+x(1/x^2)e^(-1/x) = e^(-1/x)*(1+1/x)$... Ora studio quando è maggiore di zero:
$e^(-1/x)*(1+1/x) = {(e^(-1/x) => \text(Tendente a 0 ma sempre positiva)),(1+1/x => \text (sempre positiva: somma di 2 positivi)):} => \text(sempre positiva => sempre crescente per x positivo)$
Fin qua tutto ok, mentre impostavo questa domanda ho risolto alcuni errori che ho fatto e che non ero riuscito a trovare prima
...Nella seconda parte: ovvero quando x è negativo:
$lim_(x\to-\infty)-xe^(1/x) = +\infty*e^(1/(-\infty)) = +\infty$
$lim_(x\to-\0^-)-xe^(1/x)$ che è una forma indeterminata $0*\infty$ quindi ho deciso di fare così: $t=1/x$
$lim_(x\to-\0^-)-xe^(1/x) = lim_(x\to->\infty)-1/te^t = -e^(-\infty)/-\infty^ = 0$... ma qui casca l'asino, che sono io.
Risposte
"BoG":
Nella seconda parte: ovvero quando x è negativo:
$ lim_(x\to-\infty)-xe^(1/x) = +\infty*e^(1/(-\infty)) = +\infty $
$ lim_(x\to-\0^-)-xe^(1/x) $ che è una forma indeterminata $ 0*\infty $ quindi ho deciso di fare così: $ t=1/x $
$ lim_(x\to-\0^-)-xe^(1/x) = lim_(x\to->\infty)-1/te^t = -e^(-\infty)/-\infty^ = 0 $... ma qui casca l'asino, che sono io.
La restrizione di \( f \) all'intervallo \( (-\infty, 0) \) non è quella che hai scritto: infatti
\[ f(x) \left. \right |_{(-\infty, 0)} = -xe^{-\frac{1}{x}} \]
Grazie mille della risposta...
quindi, in parole povere questa funzione doveva essere "scomposta" così:
$f(x):={(xe^(-1/x), if x>=0),(-xe^(-1/x), if x<0):}$
cio' che ho pensato io è stato: dato che x e' sempre minore di zero, allora $-x = -(-x) = +x$ quindi ho riscritto $e^(-1/x)$ in $e^(1/x)$ è un ragionamento sbagliato?
quindi, in parole povere questa funzione doveva essere "scomposta" così:
$f(x):={(xe^(-1/x), if x>=0),(-xe^(-1/x), if x<0):}$
cio' che ho pensato io è stato: dato che x e' sempre minore di zero, allora $-x = -(-x) = +x$ quindi ho riscritto $e^(-1/x)$ in $e^(1/x)$ è un ragionamento sbagliato?
Ti accorgi subito che c'è qualcosa che non va se provi a risolvere il sistema
\[ \cases{ -x = x \\ x < 0} \]
Se noti, la prima uguaglianza è quella che hai imposto.
\[ \cases{ -x = x \\ x < 0} \]
Se noti, la prima uguaglianza è quella che hai imposto.
quello che volevo dire è che per $x<0$ si ha che $e^(-1/x) = e^(-1/-x) = e^(1/x)$, ad esempio: per $x=-5$ si avrebbe: $e^(-1/-5) = e^(1/5) = $ ... Ok! ca22ata!
Grazie mille per avermelo fatto capire!
Grazie mille per avermelo fatto capire!
Il ragionamento corretto è che per \( x < 0 \) risulta \( -x = |x| \). In tal caso avresti
\[ e^{-\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{|x|}} \]
che, come vedi, non è di aiuto.
\[ e^{-\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{|x|}} \]
che, come vedi, non è di aiuto.
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