Esercizi valori assoluti

[niccoset]

Gli esercizi sono i seguenti:
Dimostrare che $ AA x,y,z in RR $ si ha

1) $ ||x|-|y||<=|x-y| $

sugg: Usare la disuguaglianza triangolare e l' osservazione $ |x|=|x-y+y|<=|x+y|+|y| $

2) $ ||x|-|y+z||<=||x|-|y||+|z| $

Potreste spiegarmi come devo posso procedere quando ho da fare questo tipo di dimostrazioni.

[Nietzsche610]

Edit: vedi sotto.

[dissonance]

"Gabriele.Sciaguato":

$||x-y+y|-|y||<=||x-y|+|y|-|y||$

Non ho capito questo passaggio. Puoi dimostrarlo nel dettaglio, per favore?

Segnalo inoltre che la disuguaglianza si chiama di Schwarz (Schwartz è un altro, più recente), e non c'entra in questo contesto perché qua non fai neanche un prodotto. Queste sono tutte conseguenze della disuguaglianza triangolare e della definizione di valore assoluto, nient'altro.

[Quinzio]

"niccoset":Gli esercizi sono i seguenti:
Dimostrare che $ AA x,y,z in RR $ si ha

1) $ ||x|-|y||<=|x-y| $

Beh, intanto si nota che scambiando x con y, la 1) rimane valida:
$ ||y|-|x||<=|y-x| $

$ |-(|x|-|y|)|<=|-(x-y)| $

$ ||x|-|y||<=|x-y| $
Quindi posso levare uno dei due moduli
$ |x|-|y|<=|x-y| $
Se uso e sostituisco la variabile $k=x-y$
$ |y+k|-|y|<=|k| $
ottengo
$ |y+k|<=|y|+|k| $
cioè la disuguaglianza triangolare.

sugg: Usare la disuguaglianza triangolare e l' osservazione $ |x|=|x-y+y|<=|x+y|+|y| $

2) $ ||x|-|y+z||<=||x|-|y||+|z| $

Potreste spiegarmi come devo posso procedere quando ho da fare questo tipo di dimostrazioni.

[Nietzsche610]

"dissonance":[quote="Gabriele.Sciaguato"]

$||x-y+y|-|y||<=||x-y|+|y|-|y||$

Non ho capito questo passaggio. Puoi dimostrarlo nel dettaglio, per favore? [/quote]

$|x|=|x-y+y|$. Posto $x-y:=a$ risulta $|x|=|a+y|$.
Per la disugualianza triangolare segue: $|x|=|a+y|<=|a|+|y|$.

Le quantità $|a+y|$ e $|a|+|y|$ sono sicuramente maggiori o uguali di zero.
Posto $|a+y|:=A$ e $|a|+|y|:=B$, abbiamo che $B>=A>=0$.

Da questa relazione, sottraendo membro a membro $|y|$, si ottiene:

$B>=A->B-|y|>=A-|y|$

E qui mi rendo conto di aver sbagliato; infatti se $|y|>B$, allora $|B-|y||<=|A-|y||$. Grazie dissonance .

"dissonance":
Segnalo inoltre che la disuguaglianza si chiama di Schwarz (Schwartz è un altro, più recente), e non c'entra in questo contesto perché qua non fai neanche un prodotto. Queste sono tutte conseguenze della disuguaglianza triangolare e della definizione di valore assoluto, nient'altro.

Sì, t a parte, stavo cercando di generalizzare, intendendo che per le disuguaglianze con i moduli si usa anche Schwarz, nel caso in cui ci sia un prodotto ovviamente.
Edito la prima risposta per non creare confusione .

[Quinzio]

"niccoset":
2) $ ||x|-|y+z||<=||x|-|y||+|z| $

Per la 2) si potrebbe procedere nel modo seguente.

Dato che
$ ||x|-|y||<=||x|-|y|| $
analizziamo la funzione
$f(x,y)=||x|-|y||$
che può essere scritta come
$f(x,y)=\alpha x + \beta y$
dove $\alpha, \beta\in {-1,+1}$.
Se nella funzione inserisco la variabile $z$, al massimo vado ad aumentare la $f$ di un $|z|$
Quindi si può scrivere
$ ||x|-|y+z||-||x|-|y|| <= |z|$
ovvero
$ ||x|-|y+z||<=||x|-|y||+|z| $ .

Detto ciò, non so se è una dimostrazione accettabile...

[niccoset]

Grazie a tutti. Anche se credo che prima di fare questo tipo di esercizi debba ripassare un pò di teotria sui valori assoluti.